أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 23, 2007, 01:28:26 صباحاً
رب يسر..... رب أعن
الحمد لله رب العالمين والصلاة والسلام على خاتم المرسلين وعلى آله وصحبه أجمعين... أما بعد:،
الحلقة الأولى
ليكن لدينا المعادلتان
ونريد بالطبع تحديد x ; y .... ولكن قبل ذلك دعونا نتساءل: ما المهم في هذه المعادلة؟؟؟
هل هي الحروف؟؟ (أقصد: رموز المتغيرات)؟
بالطبع لا.. فيمكننا تغييرها بكل بساطة، وبدلا من x و y يمكننا أن نضع a و b أو الحرفان
أو حتى: أحمد وعبد الله!!
مرة ثانية
إذن فما المهم؟؟؟
الأرقام!! هذا صحيح
والأرقام تكون هي الأهم من خلال أمرين اثنين..
الأول : عدم تغيير الأرقام (الحفاظ على دلالة الأرقام على العدد)
والثاني : عدم تبديل الأرقام (الحفاظ على ترتيب الأرقام في المعادلات)
وبما أن الأرقام هي الأهم فيمكننا إنشاء نظام يحافظ على هذه الأرقام في المعادلتين كما في الطرف الأيسر
ويمكن أيضا أن نضيف إمكانية إبقاء الطرف الأيمن في الاعتبار!!
ومن هنا جاءت فكرة إنشاء نظام رياضي جبري يحقق الحفاظ على ترتيب الأرقام ويسمى هذا النظام بالمصفوفة!
تعريف المصفوفة Matrix
A rectangular array with mn real numbers arranged in m raws and n columns is an mxn matrix
: m ; n are positive integrs
mn تلفظ m times n أي m في n
mxn تلفظ m by n أي m في n
التعريف العربي: إن المصفوفة من الرتبة m× n هي نظام مستطيليّ يحوي أعدادا حقيقية عددها mn مرتبة في m من الصفوف raws و n من الأعمدة columns. حيث m ، n أعداد صحيحة موجبة.
ولوصف المصفوفة فإننا نطلق عليها اسما محببا.. عبارة عن حرف كبير capital letter بحيث تكون مدخلات المصفوفة entries of matrix لها نفس الحرف ولكن بحرف صغير small letter
وبالنسبة للمدخلات فإنها توضح بهذا الحرف الصغير مصحوبا برقمين صغيرين (يرمز إليهما في الحالة العامة بالرمز i و j ) يشير الأول إلى رقم الصف والثاني إلى رقم العمود. كما في الشكل التالي
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 23, 2007, 01:41:36 صباحاً
(معذرة على رمز $ الظاهر..... لاأعرف كيف أتخلص منه!!!
)ويسمى الصف رقم i بـ: i-th raw. كما يسمى العمود رقم j بـ: j-th column. بمعنى أنه يلقب كل صف أو عمود برقمه!
ولكل مصفوفة رتبة تعرف بها ويطلق عليها mxn حيث m كما هو معلوم عدد صفوف المصفوفة وn عدد الأعمدة.
والآن نعرض لكم أمثلة مصفوفات مع رتبها وبعد ذلك نلتقي إن شاء الله في الحلقة القادمة !
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 23, 2007, 01:51:50 صباحاً
على فكرة......
هذه الدروس أكتبها لكم تزامنا مع محاضرات أستاذنا في الجامعة الدكتور جريجور دوميترو
المادة: Linear Algebra
الكتاب : Linear Algebra تأليف برنارد / هيل..... الطبعة الثامنة
أتمنى أن يوفقني الله للإكمال معكم حتى النهاية.... رغم أن الموضوع متعب وإدراج المعادلات يأخذ وقتا طويلا...
أرجو التثبيت إن أمكن بعد إذن المشرف!
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أرسل بواسطة: elbasha في فبراير 23, 2007, 02:17:08 صباحاً
موضوع جميل وان اشاء الله اكون متباع معاك ارشيمدس مصر
أرسل بواسطة: الجيل الواعد في فبراير 23, 2007, 02:55:56 صباحاً
رغم اني لا افهم في الرياضيات شيئا( انسانا الطب كل شئ) إلا أن الموضوع شدني
وخاصة linear agebra اذكر ان اختي هلكتني من كثر ما تردده على اذاني
بارك الله فيك اخي ارشميدس..
بالمناسبة هل مواد الرياضيات مقررة على طلاب الفيزياء لديكم؟؟
أرسل بواسطة: فاطمه العلي في فبراير 23, 2007, 05:25:30 صباحاً
وفقك الله لأكماله .
فاطمه العلي.
أرسل بواسطة: أبو عبد العزيز في فبراير 23, 2007, 06:15:23 صباحاً
أسأل الله أن يجعل ما تقوم به في ميزان أعمالك.
أرسل بواسطة: ابو يوسف في فبراير 23, 2007, 08:09:23 صباحاً
جينا بسرعة
جزيل الشكر لك اخي العزيز ارشميدس مصر
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 23, 2007, 01:35:18 مساءاً
QUOTE
جينا بسرعة
ما شاء الله ماشاء الله....
الاخوة الأعزاء
أحمد
الجيل الواعد
فاطمة
أبو عبد العزيز
أبو يوسف
....... بارك الله فيكم وأثابكم ونفعكم ونفع بكم.
QUOTE
بالمناسبة هل مواد الرياضيات مقررة على طلاب الفيزياء لديكم؟؟
طبعا أختي الكريمة.... مقررة على طلبة الرياضيات والفيزياء وطلبة كلية الهندسة.
بالنسبة للجبر الخطي فهي مادة إلزامية للتخصص (تبدو اختيارية شكلا فقط!!
) وكذلك Calculus B و Calculus C . أما مادة الـ Calculus A فهي إلزامية لكلية العلوم الرياضية والطبيعية.أتحدث عن جامعتي ولا أعرف النظام في الجامعات الأخرى ... لكنه يبدو متقاربا!
QUOTE
وفقك الله لأكماله .
آميين
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته!
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 23, 2007, 07:42:07 مساءاً
ردا على سؤال الاخوة الأعزاء فإنني أدرس في كلية العلوم بجامعة الكويت!
هذه أول سنة....
والسلام عليكم
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 23, 2007, 07:56:09 مساءاً
الحلقة الثانية
من وجهة نظر هندسية فإن المصفوفة شكل مستطيليّ، ومن المعروف أن المستطيل rectangle له أربع أضلاع (أو لنقل: جهات!!!) متعامدة.
والمستطيل قد يكون مربعاً وذلك عندما تتساوى أطوال أضلاعه، أو – على الأقل- عندما يتساوى طولا ضلعين متجاورين فيه. وهذا هو تعريف المربع "هو مستطيل تطابق فيه ضلعان متجاوران". أما إذا لم يتطابق ضلعان متجاوران في المستطيل فإنه يظل على حاله (مستطيلا).!!
والمصفوفة – كمستطيل- قد يتساوى فيها عدد الصفوف وعدد الأعمدة، وحينئذ تبدو المصفوفة كمربع.!
تعريف Def.:
If m=n, the matrix is called square matrix
إذا كان m=n يقال إن المصفوفة مربعة.
والمصفوفة المربعة رتبتها mxm حيث عدد الصفوف = عدد الأعمدة.
ومن ثم فالمصفوفات التالية مصفوفات مربعة
نعود للهندسة.!!
نجد أن للمربع قطران يصلان كل زاويتين متقابلتين... وإن شئت فسمِّ الأول (القطر الرئيس main diagonal). ونحن نحب أن نطلق عليه هذا الاسم لأنه سيفيدنا كثيرا في هذه الحلقة وفي دراسة المصفوفات. وهو القطر الذي يصل الزاوية العليا الأولى بالزاوية السفلى الأخيرة .أما القطر الآخر فدعه ولا تُـسَمِّهِ. أو إن شئت فقل: القطر الثاني second diagonal.
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 23, 2007, 08:19:30 مساءاً
فإذا كانت لدينا المصفوفة Aالمربعة فإن لها قطرا رئيسا يصل بين المُدخَل a11 و amn
(مرة ثانية رمز الدولار يظهر بطريق الخطأ
)تعريف Def.:
A square matrix is diagonal if all the entries off the diagonal are zero.
تكون المصفوفة المربعة قطريةً إذا كانت كل المدخلات خارج القطر أصفارا!
تعالوا إلى بعض المصفوفات!
هذه المصفوفة المربعة ليست قطرية لأن رقم 2 هذا يثير الضيق!! ولكي تكون قطرية يجب أن تكون أن كل أرقام المصفوفة التي خارج القطر أصفارا!! أي أن تستبدل بالـ 2 صفرا!
هذه المصفوفة المربعة مصفوفة قطرية لأن جميع المدخلات خارج القطر أصفار.
تمرين خفيف: هل هذه المصفوفة ( C ) قطرية؟؟؟؟؟!!!
بالطبع هذه المصفوفة قطرية.... لأن جميع المدخلات خارج القطر أصفار....!
لاحظ أنه لا توجد شروط على مدخلات القطر!! فلتكن أصفارا أو أعدادا غير الصفر. هذا لا يهم! ما يهمنا هو أن تكون الأعداد التي لا تنتمي للقطر الرئيس جميعها أصفاراً !
تمرين آخر:هل يمكن أن نعرِّف المصفوفة القطرية بطريقة أخرى كالتالي:
"تكون المصفوفة المربعة قطريةً إذا كانت كل المدخلات أصفارا عدا مدخلات القطر."
حلوها وبعدين نشوف الأجوبة
تعريف Def.:
A diagonal matrix is scalar if all the entries on the diagonal are equal.
إذا تساوت مدخلات القطر في المصفوفة القطرية قيل إنها مصفوفة عددية.
والمثال التالي يوضح مصفوفة عددية scalar matrix
لاحظ أن المصفوفة العددية مصفوفة مربعة قطرية(انظر الشكل) . ويوجد نوع من المصفوفات محتوى في المصفوفات العددية وسنتكلم عنه لاحقا إن شاء الله.
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أرسل بواسطة: hayaa في فبراير 23, 2007, 10:45:27 مساءاً
الان نسيتو لكن حلو استرجاع المعلومات.
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 24, 2007, 12:03:37 مساءاً
مرحبا hayaa...
أتمنى لك الفائدة!!
QUOTE
حلوها وبعدين نشوف الأجوبة
أشوف انكم ما حليتوا؟؟؟!!!
على العموم الجواب على السؤال:
QUOTE
هل يمكن أن نعرِّف المصفوفة القطرية بطريقة أخرى كالتالي:
"تكون المصفوفة المربعة قطريةً إذا كانت كل المدخلات أصفارا عدا مدخلات القطر."
"تكون المصفوفة المربعة قطريةً إذا كانت كل المدخلات أصفارا عدا مدخلات القطر."
لا طبعا... هذا خطأ.. لماذا نستثني مدخلات القطر؟؟؟.... وقد قلنا من قبل
QUOTE
لاحظ أنه لا توجد شروط على مدخلات القطر!! فلتكن أصفارا أو أعدادا غير الصفر. هذا لا يهم! ما يهمنا هو أن تكون الأعداد التي لا تنتمي للقطر الرئيس جميعها أصفاراً !
والسلام عليكم
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 24, 2007, 12:31:27 مساءاً
حلقة اليوم خفيفة جدا وهي أقل من أن يطلق عليها أنها حلقة..... سمها: فاصلا إعلانيا!!!!
سنتكلم فقط عن حالة خاصة (تعريف جديد) لنوع من أنواع المصفوفات.
ماذا يحدث إذا كانت المصفوفة تحتوي على صف واحد أو عمود واحد؟؟؟
بعبارة أخرى: ماذا يحدث إذا كانت رتبة المصفوفة 1xn أو nx1؟؟؟
إيش اللي سيحصل يعني؟
... حينفجر كتاب الجبر؟؟؟؟؟ طبعا لا ....كل ما في الأمر أننا سنحصل على نوع خاص من المصفوفات يسمى بالـ ـمتجه vector، أو لنقل: n-vector
تعريف Def.
Every 1x n or nx1 matrix is called: n-vector.
إن كل مصفوفة من الرتبة 1x n أو nx1تسمى n-vector
انظر الأمثلة التالية
3-vector
4-vector
5-vector
لاحظ أننا هنا لا نفرق بين صف وعمود عندما نقول n-vector. ما نعنيه بالـ n هو عدد المدخلات في الصف أو في العمود الواحد. أما في ذكر الرتبة فإننا نعتبر المتجه مصفوفة كباقي المصفوفات فنقول: mx1 ونقول 1xn.
إذن فالشكل العام للمتجه mx1
والشكل العام للمتجه 1xn
استعدوا للحلقة القادمة وتمارينها!!
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 24, 2007, 09:47:55 مساءاً
وجدت موقعا رائعا يتحدث عن الجبر، ولذلك فإني سأستخدم نقل صور المعادلات من هذا الموقع هروبا من إدراج المعادلات هنا!! إلا إذا أردت كتابة معادلاتي الخاصة!!
الحلقة الثالثة
العمليات على المصفوفاتOperation on matrices:
مقدمة....
نحن نعرف من قبل أنه يمكن لنا أن نعبر عن المصفوفة بالحد العام للمدخل الذي ينتمي إليها.
فبدلا من أن نكتب:
يمكن أن نكتب:
وكذلك نقول
الخ...
والآن لنعد إلى العمليات على المصفوفات
تعريف Def.
تساوي المصفوفات Matrix Equality
Two mxn matrices A= [aij] and B=[bij] are equal iff aij = bij.
يقال لمصفوفتينA= [aij] و B=[bij] من الرتبة mxn أنهما متساويتان إذا وفقط إذا aij = bij.
ويمكن أن نختصر هذا التعريف فنقول:
تتساوى مصفوفتين إذا:
(1) كانتا من نفس الرتبة
(2) تساوت جميع المدخلات المتقابلة corresponding entry.
هذان هما الشرطان الوحيدان والمهمان لتساوي المصفوفات.
وعلى ذلك فإن
بينما
مثال Example:
إذا علمت أن A=B فأوجد w,x,y,z.
الحل
بالطبع لا حل سوى أن w= -1، x= -3، y=0، z=5
*
لا داعي لشرح طريقة الحل. الأمر بديهي!! فقط ابحث عن المدخل الذي يقابل corresponds المدخل (w)، بمعنى أن تبحث عنه المدخل الذي يتساوى معه في رقم الصف I ورقم العمود j.
تعريف Def.
جمع المصفوفات Matrix Addition
If A= [aij] and B=[bij] are mxn matrices, then the sum of A and B is the mxn matrix C = [cij], defind by
cij = aij + bij
إذا كانتA= [aij] و B=[bij]مصفوفتين من الرتبة mxn فإن مجموع هذين المصفوفتين مصفوفة C من الرتبة mxn حيث C = [cij] ،cij = aij + bij
والمقصود بهذا التعريف أنه للحصول على مصفوفة المجموع لمصفوفتين A+B ما عليك إلا أن تجمع المدخلات المتقابلة.
ويقصد أيضا أن الشرط الوحيد لجمع مصفوفتين هو: أن يكونا من نفس الرتبة to have the same size. وحينئذ سيكون ناتج الجمع مصفوفة من نفس الرتبة أيضا.
إذن
مثال Example:
أوجد C=A+B حيث:
الحل
بالنظر إلى المصفوفتين نجد أن A من الرتبة 2x3، ونجد أن B أيضا من الرتبة 2x3. إذن يمكن الجمع.
a11+b11=1+0=1
a12+b12= -2+2= 0
a13+b13= 4+-4= 0
a21+b21=2+1=3
a22+b22= -1+3=2
a23+b23= 3+1
إذن
إن شاء الله
(1) التمارين بعد انتهاء الحديث عن العمليات.
(2) خواص عملية جمع المصفوفات سنتناولها في الحديث عن خواص العمليات.
مع تحيات أخيكم أرشميدس مصر
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أرسل بواسطة: الخالد في فبراير 24, 2007, 10:32:41 مساءاً
جهد رائع ومتميز
بارك الله بك اخي أرشميدس مصر
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في فبراير 25, 2007, 10:26:47 مساءاً
أهلا أستاذنا الخالد....
شكرا على مرورك وأتمنى لكم متابعة ممتعة.!
والسلام عليكم
أرسل بواسطة: maths في فبراير 28, 2007, 08:34:59 مساءاً
الأخ أرشميدس مصر
قرأت هذه الدروس المتميزة، جزيل الشكر لك و جزاك الله خيرا
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في مارس 01, 2007, 11:48:02 مساءاً
مرحبا ماثز......
أهلا وسهلا بك..... وفقك الله
والسلام عليكم
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في مارس 02, 2007, 01:06:50 صباحاً
الحلقة الرابعة
تابع: العمليات على المصفوفات
cont. Operation on Matrices
تعريف Def.
ضرب عدد في مصفوفةScalar Multiplication
If
and
is an mxn matrix, then :
إذا كان r عددا ينتمي إلى R مجموعة الأعداد الحقيقية،
وكان
والمقصود بهذا التعريف أنه إذا أن نضرب عددا في مصفوفة فإننا نضرب هذا العدد في جميع مدخلات المصفوفة. وحينئذ ستنتج بالطبع مصفوفة لها نفس الرتبة ولكن جميع مدخلاتها تختلف عن المصفوفة الأصلية بسبب العدد Scalar الذي تم ضربه في المصفوفة.
مثال Example
إذا كان
الحل
مثال Example
جميل جدا هذا المثال انتبهوا له!! المتجه
(1) مقدار التخفيض في سعر كل سلعة من السلع الثلاث.
(2) السعر الجديد لكل سلعة من السلع الثلاث.
الحل
(1) بما أن كل سلعة قد انخفض سعرها بواقع 20% ، وبما أن الأسعار موضحة بالمتجه p فإن مقدار الانخفاض في سعر كل سلعة يبينه المتجه 0.2p الذي هو عبارة عن سعر السلعة الأصلي مضروبا في 0.2 .
وهذا هو مقدار الثمن الذي انخفض من كل سلعة على الترتيب (وقد بينا في الحلقة الأولى أن ميزة المصفوفات هي الحفاظ على الترتيب!!)
(2) السعر الجديد للسلعة هو: سعرها الأصلي مطروحا منه ما خصم منه، أي أن السعر الجديد = p - 0.2p
لاحظ: أنه يمكن الحصول مباشرة على السعر الجديد باستخدام المتجه 3-vector التالي:
حيث p-0.2p = 0.8p
ملحوظة لطيفة على الضرب العددي!.
لم نذكر طرح المصفوفات عند الحديث عن جمع المصفوفات. وذلك لأن الطرح أقرب إلى الضرب العددي منه إلى الجمع. ويمكنك أن تلاحظ أن A-B=A+(-1)B !.
وهكذا انتهى الحديث عن الضرب العددي. ويأتي الآن دور عملية أخرى لا تقل عنها أهمية.
The Transpose of a Matrix
نذكر أولا التعريف ثم نقوم بشرحه إن شاء الله.
تعريف Def.
If A=[aij] is an mxn matrix, then the nxm matrix
إذا كانت المصفوفة A=[aij] مصفوفة من الرتبة mxn فإن المصفوفة من الرتبة nxm
ويقصد بعملية الـ Transpose أن تحول الصفوف في المصفوفة إلى أعمدة. وحينئذ ستتكون لدينا المصفوفة
نجد المدخل
ولعل ذلك يتضح بالمثال التالي...
مثال Example
إذا كان لدينا المصفوفة
الحل: طبعا الطريقة لإيجاد الـ Transpose لهذه المصفوفة ........
أن تأخذ أول صف... فتجعله أول عمود
ثم تأخذ ثاني صف..... فتجعله ثاني عمود....................... كما يتضح بالشكل التالي...
وهكذا تنشأ المصفوفة الجديدة
لذا فإن عملية الـ Transpose هي عملية تحويل الصفوف إلى أعمدة.
لاحظ أن المصفوفة A رتبتها 2×3 ولكن الترانسبوز رتبتها 3×2.
ملحوظة لطيفة!
في عملية الترانسبوز نحول صفوف المصفوفة إلى أعمدة...، وكذلك الأمر إذا حولنا الأعمدة إلى صفوف.
ويتضح ذلك بالشكل التالي...
ومن الواضح أن النتيجة هي نفس النتيجة....
تقبل الله منا ومنكم...
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته!
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في مارس 02, 2007, 01:09:42 صباحاً
خلوا بالكم..... تغيير اللون هي فكرة تعلمناها من الأستاذ مازن (عجل الله فرجه
)لكن الفرق بين الأمرين هو الذكاء في اختيار اللون !!!
ولكم تصور ذلك!!
مع تحياتي
أرسل بواسطة: الجيل الواعد في مارس 02, 2007, 01:20:14 صباحاً
QUOTE
خلوا بالكم..... تغيير اللون هي فكرة تعلمناها من الأستاذ مازن (عجل الله فرجه
امين
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في مارس 02, 2007, 02:43:54 مساءاً
لا حول ولا قوة إلا بالله
أرسل بواسطة: فاطمه العلي في مارس 05, 2007, 01:26:49 صباحاً
وفقك الله لكل خير
أرسل بواسطة: الجنه مبتغاي في مارس 06, 2007, 02:26:26 مساءاً
أرسل بواسطة: مع الله في مارس 09, 2007, 06:15:45 مساءاً
وسأكون معكم ان شاء الله
أرسل بواسطة: مع الله في مارس 09, 2007, 06:32:11 مساءاً
وتوجد هذه المقررات فى كليات الهندسه ولكنى اعتقد انها متخصصه اكثر فى كليات العلوم
اعتذر على الاطاله
جزاك الله خير
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في مارس 09, 2007, 08:43:41 مساءاً
المشرفة الفاضلة والمتابعة فاطمة
الأخ العزيز (الجنة مبتغاي)
أخي الحبيب (مع الله)
مرحبا بكم وشكرا جزيلا لكم على هذا الحرص الطيب على المتابعة!
واعذروني على الانقطاع الخفيف عن إكمال الدروس...... أحاول إيجاد نهزة من الوقت أكتب فيها كلمتين ولكن لا أجد.....
شدوا حيلكم.... ومعنا من العمليات في الحلقة القادمة (الضرب النقطي على المتجهات!!) إن شاء الله
والسلام عليكم
أرسل بواسطة: شمس العراق في أبريل 05, 2007, 12:22:12 مساءاً
معلومات جميلة
أرسل بواسطة: أرشميدس مصر في أبريل 26, 2007, 03:48:14 مساءاً
شاكر لك يا شمس العراق حضورك وعاتب على نفسي أشد العتب على انقطاع هذه السلسلة الموصولة.
اللهم إني أعوذ بك من الهم والحزن , وأعوذ بك من العجز والكسل , ومن البخل والجبن!!!
والسلام عليكم