الاعداد المركبة

[elbasha]

بسم الله الرحمن الرحيم
---------------

اولا: العدد التخيلى:

يمكن تعريفة على انة العدد الذى مربعه عدد سالب
ويرمز له بالرمز (ت)حيث ت=(-1)^(1/2)
و ت^2=-1
ت^3=- ت
ت^4=ت
وبالتالى فانة امكن حل هذة المعادلة

س^2+9=0
س^2=-9    =====>  س = 3ت و -3ت

** القوى الصحيحة للعدد( ت) تعطى احدى القيم ت و -1 و- ت و1
وذلك يتكرر بصفة دورية كلما ذاد الاس بقدر 4 وبصفة عامة اذا كانت( ن) تنتمى الى ص+
فان:
ت^(4ن+1)=ت
ت^(4ن+2)=-1
ت^(4ن+3)=- ت
ت^4ن=ت
-----------------------------------------------------------
ثانيا : العدد المركب:
هو عدد مكون من جزئين احدهما حقيقي والاخر تخيلى

صورتة الجبرية : ع=س+ت ص
حيث س و ص ينتمى الى ح
ويمكن ان نعرف مجموعة الاعداد المركبة كالأتى

ك={س+ت ص : س , ص ينتمى الى ح , ت^2=-1}

** تساوى عددين مركبين
اذا كان
ع1=س1+ت ص1            , ع2=س2+ت ص2
يكون ع1=ع2  اذا كان س1=س2
                     ص1=ص2
اذا كان س+ت ص =0
اذن س=0  , ص=0

** مجموع عددين مركبين
اذا كان ع1=س1+ت ص1      ,  ع2=س2+ت ص2
فان ع1+ع2=(س1+س2)+ت (ص1+ص2)
- عملية الجمع ابدالية ودامجة
-المعكوس الجمعى للعدد ع=س+ت ص هو س- ت ص
** ضرب عددين مركبين:
اذا كان ع1=س1+ت ص1     ,  ع2=س2+ت ص2
فان ع1*ع2=(س1 س2 - ص1 ص2)+ت(س1 ص2+ س2 ص1)
مثال: (2+3ت)(5- ت) = 10-2ت+15ت-3ت^2=10-2ت+15ت+13=13+13ت
-عملية الضرب ابدالية ودامجة
- المعكوس الضربى للعدد ع = س+ت ص هو 1/(س+ت ص)
او (س- ت ص)/(س^2+ص^2) وذلك بعد ضربة فى المرافق

حيث ان مرافق العدد ع هو س - ت ص
ونلاحظ الاختلاف بين العددين هو اختلاف اشارة الجزء التخيلى فقط
__

التمثيل البيانى لعدد المركب (اشكال ارجاند)
 اذا كان ع =س+ت ص فيمكن تمثيلة بالنقطة (س,ص)
حيث س الجزء الحقيقي و  ص الجزء التخيلى



** الصورة المثلثية للعدد المركب :
اذا كان ع=س+ت ص



حيث  س = ل جتا x
ص= ل جا x
بالتعويض ينتج ان
ع=ل جتا x + ت ل جا x  با خذ ل عامل مشترك

ع = ل(جتاx + ت جاx )===> الصورة المثلثية للعدد المركب

حيث ل = |ع| = (س^2+ص^2)^(1/2)
و سعة العدد = ظاx=ص/س  حيث x تنتمى [360,0]

** العمليات على الصورة المثلثية:
اذا كان  ع1=ل1(جتا1x+ت جا2x)   ,  ع2=ل2(جتا2x+ ت جا2x)
فان ع1*ع2=ل1*ل2 جتا(2x+1x) +ت جا (2x+1x)
ع1/ع2=ل1/ل2 جتا(2x-1x) +ت جا (2x-1x)

يتبع0000

وتحياتى

[G H Hardy]

السلام عليكم
مجهود رائع اخي الباشا
لكن الم تحاول استخدام برنامج المعادلات حتى تتضح المعادلات للجميع
تحياتي

[elbasha]

شكرا اخى العزيز مازن
 وساستخدم برنامج المعادلات المرة القادمة انشاء الله

[فاطمه العلي]

جزاك الله خير
أخينا الفاضل

[elbasha]

شكرا اختى فاطمة على مرورك

[maths]

السلام عليكم
وفقك الله و بارك فيك

[elbasha]

شكرا اخت maths على مرورك

نستكمل الدرس

بسم الله الرحمن الرحيم
---------------

**نظرية ديموافر: اذا كان ن عددا نسبيا فأن: (جتاx+ت جاx)^ن=(جتانx+ت جا نx)

اذا كانت ع=ل(جتاx+ت جا x) فأن

ع^ن=ل^ن(جتا نx+ت جا نx)

فمثلا ع^5=ل^5(جتاx5+ت جاx5)

--------------------------------------------------------
2- ع^(-ن)=ل^(-ن) (جتا -نx+ت جا -نx)

يمكن اضافة اى عدد من الدورات لتصبح الزاوية موجبة
--------------------------------------------------------
3- ع^(1/م)=ل^(1/م) (جتا( 2رط+x)/م+ت جا( 2رط+x)/م)

حيث ر=(3,2,1,0.....)

فمثلا اذا اردنا ان نأتى بالجذرين التربعين للعدد ع فسوف نعوض عن ر بـ 0 فنحصل على الجذر الاول وعند التعويض عن ر بـ 1 نحصل على الجذر الثانى
واذا اردنا ان نحصل على الجذور التكعيبية ستكون هناك ثلاث حلول سنعوض عن ر بـ 0 و1و3
وهكذا مع الجذور الاخرى
--------------------------------------------------------
4- ع^(ن/م)=ل^(ن/م)(جتا( 2رط+نx)/م+ت جا( 2رط+نx)/م)
حيث ر=(3,2,1,0.....)

--------------------------------------------------------
*** ويمكن الحصول على الجذور التربيعية بطريقة اخرى على الصورة الجبرية

اذا كان ع=أ+ت ب نفرض ان جذر العدد ع هو س+ت ص
فان:
(أ+ت ب)^(1/2)=س+ت ص ======> بالتربيع
أ+ت ب = س^2-ص^2+2س ص ت
اذا  أ=س^2-ص^2
  ب=2س ص
بحل المعادلتين ينتج أ و ب

مثال: الجذر التربيعى للعدد 5+12ت
(5+12ت)^(1/2)=س+ت ص  بالتربيع
5+12ت=س^2-ص^2+2س ص ت

اذا  س^2-ص^2=5
2س ص= 12 ===>  س ص=6 ===> اذا س=6/ص

36/ص^2-ص^2=5  بالضرب فى -ص^2

ص^4+5ص^2-36=0

(ص^2+9)(ص^2-4)=0
ص= جذر -9===> مرفوض حيث ص و س ينتمى الى ح
ص=+-2  اذا س=+-3
الجذرين هما +-(3+2ت)

يتبع....

[G H Hardy]

شكرا لك اخ احمد
بانتظار جديدك
تحياتي

[elbasha]

بسم الله الرحمن الرحيم
---------------
نستكمل الدرس

*الصورة الاسية للعدد المركب:

ع=ل هـ^(تx)            حيث x بالقياس الدائري
                                 هـ تقريبا = 2.718281828 (عدد غير نسبي)

اى ان ع=س+ت ص=ل(جتاx+ت جا x)=ل هـ^(تx)

---------------------------------------------------------
** الجذور التكعيبية الثلاثة للواحد الصحيح احدها حقيقي وهو 1 والاخران مركبان ومترافقان
والجذور الثلاثة لها نفس المقياس وهو الواحد وقياسات زوايا سعتها هى 0,120,240

وهى  1 ،  (-1/2+(جذر3)/2 ت) ،  (-1/2-(جذر3)ت)

فاذا مثلنا هذة الجذور الثلاثة على شكل ارجاند فاننا نلاحظ ان النقط الثلاثة التى نمثلها تقع على
دائرة مركزها نقطة الاصل وطول نصف قطرها الوحدة وان هذة النقط تقسم هذة الدائرة الى ثلاث اقواس متساوية الطول.
--------------------------------------------------------
** مربع اى جذر من الجذرين التربيعين يساوى الجذر الاخر
#  (-1/2+(جذر3)/2 ت)^2=1/4 -3/4-(جذر3)/2
= (-1/2-(جذر3)ت)

#(-1/2-(جذر3)ت)^2=1/4 -3/4+(جذر3)/2
=(-1/2+(جذر3)/2 ت)

ولذلك اذا رمزنا لاحد الجذرين التكعيبين المركبين للواحد الصحيح بالرمز w(اوميجا) يكون الاخر 2w(اوميجا تربيع)

** ويمكن اثبات الخاصية السابقة اذا لاحظنا ان الصورة المثلثية للجذرين المركبين هى :
(جتا 2ط/3+ت جا 2ط/3)    ،  (جتا 4ط/3+ت جا4ط/3)

اذاًَ  (جتا 2ط/3+ت جا 2ط/3)^2= (جتا 4ط/3+ت جا4ط/3)    (نظرية ديموافر)

،(جتا 4ط/3+ت جا4ط/3)^2=(جتا8ط/3+ت جا8ط/3)
=جتا (2ط/3+2ط)+ت جا(2ط/3+2ط)=(جتا 2ط/3+ت جا 2ط/3)
--------------------------------------------------------
* مجموع الجذور التكعيبية الثلاثة للواحد الصحيح تساوي صفر

1+(-1/2+(جذر3)/2 ت)+(-1/2-(جذر3)ت)=0

اى
0=w+2w+1

--------------------------------------------------------
*حاصل ضرب الجذرين التكعيبين المركبين للواحد الصحيح =1 وذلك لان
(-1/2+(جذر3)/2 ت)(-1/2-(جذر3)ت)=1/4+3/4=1

وبأستخدام الصورة المثلثية لهذين الجذرين نجد :

(جتا 2ط/3+ت جا 2ط/3)(جتا 4ط/3+ت جا4ط/3)=(جتا2ط+تجا2ط)=1

وعلى ذلك w*2w=1
اى ان 3w(اوميجا تكعيب)=1

--------------------------------------------------------
انتهى

تحياتى