السلام عليكم
المعـــــــــــادلات التفاضليه الخطيه
1-1 المعادلات التامه
تعريف
تسمى المعادله
dx+N(x,y)dy=0)
والتي يمكن وضع طرفها الايسر على شكل تفاضل تام لداله F اي على الشكل
=M(x,y)dx+N(x,y)dy=0)
بالمعادله التفاضليه التامه
فمثلا يمكن وضع
على الشكل F=xy فيصبح
=xdy+ydx)
الان نبدأ بالكلام الجاد
نظريه
اذا كانت
دوالا متصله على مستطيل مفتوح R في المستوى xy -للاستزاده عن مسالة اختيار المستطيل يستحسن مراجعة نظرية الوجود والوحدانيه في نظرية المعادلات التفاضليه-
فان الشرط الضروري والكافي لتكون المعادله التفاضليه
معادلة تامه هو ان تتحقق المساواة
\eps R.....(1))
البرهان:
اولا البرهان يجب ان يبرهن على اتجاهين الاول نفرض ان التفاضل تام ونثبت المساواه 1
والاخر نفرض ان المساواه 1 محققه زنثبت ان التفاضل تام
نحن راح نبرهن الاتجاه الاول
الشرط الضروري : اذا كان المقدار في الطرف الايسر تفاضلا تاما لداله F, فإن
=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=M(x,y)dx+N(x,y)dy)
وبمطابقة الطرفين وهذا على افتراض ان القاريء يعرف كيف يفاضل جزئيا نحصل على
dx,,,,,\frac{\partial f}{\partial y}dy=N(x,y)dy)
الان نشتق المعادله الاولى بالنسبه لـy والثانيه بالنسبه لـ x
مباشره نحصل على
وبسبب اتصال هذين المقدارين نحصل على المساواة
الظاهر الان البرهان واضح تماما
بالنسبه للاتجاه الاخر
الشرط الكاف لنفرض ان شروط النظريه محققه وان الشرط 1 محقق ولنثبت الان ان المعادله
لتكن جاما داله بمتغيرين تحقق المساواه
ولتكن النقطه (a,b) نقطه ثابته تنتمي للمستطيل R وان الداله جاما تنتج من تكامل M بالنسبه لـ x
ولنحددها بالشكل
=\Bigint_{a}^x M(t,y)dt)
لنشتق طرفي المساواه بالنسبه للمتغير y فنجد
=\Bigint_{a}^x \frac{\partial M}{\partial y}(t,y)dt )
وحسب الشرط المساواه بالنظريه فان
=\Bigint_{a}^x\frac{\partial N}{\partial t}(t,y)dt=N(x,y)-N(a,y))
لنفرض الان فرض وهو غامض قليلا لكن سوف نتكلم عنه لاحقا
=\gamma(x,y)+\Bigint_{b}^y N(a,s)ds)
وهذا هو بالظبط الذي يمدنا بالحل العام
لنفاضل الان تفاضل تاما فنحصل على
=\frac{\partial\gamma}{\partial x}dx+\frac{\partial\gamma}{\partial y}dy+N(a,y))
الان نستفيد من جميع المعادلات بالاعلى ونحصل على
=M(x,y)dx+N(x,y)dy-N(a,y)dy+N(a,y)dy=)
وهذا يثبت المطلوب
الان نقدم الحل العام للمعادله التفاضليه
=\Bigint_{a}^x M(t,y)dt+\Bigint_{b}^y N(a,s)ds)
لاحظ ان a,b هي ثوابت اختياريه تنتمي لمجال الدوال نختارها كيف نشاء اما المتغيرات هذه فامرها بسيط مجرد ناخذ المثال تتبين طريقة الحل
مثال
حل المعادله التفاضليه
dx+(x^3+2Y)dy=0)
الحل
من الملاحظ ان
dx,,N=(x^3+2Y)dy)
الان نشتق على حسب ماتعلمنا بالاعلى والاشتقاق جزئي يعني اذا اشتقينا بالنسبه للمتغير اكس نهمل باقي المتغيرات ونعتبرها ثوابت
وواضح جدا المساواه وهذا يبشر خيرا بان المعادله تامه والان نجري التكامل بالصيغه العامه او بالتجميع لكن الان ناخذ الصيغه العامه وسوف اعين الثوابت كالتالي
a=0,b=0
حل هذه المعادله يتم كالاتي
=\Bigint_{0}^x (3t^2 y-6t)dt+\Bigint_{0}^y 2sds)
لاحظ اننا استخدمنا التعبيرات في التكامل الاول بدلا x=t , واهملنا حدود التكامل السفليه لاننا بالاخير سنجعلها ثابت ككل اما التكامل الثاني عوضنا عن y=s اما باقي المتغيرات وهي في هذه الحاله عبرنا عنها بالثابت a وهو يساوي الصفر بناء على اختيارنا
اما سبب هذه القصه كامله فهو كلام شوي يحتاج الى تفسير مع البرهان الذي ربما اكتبه اذا توفرت لنا الرؤيه كامله مع انها ليست مشكله كبيره
الان بعد اجراء التكامل والتعويض عن الحدود والتكامل سهل والتعويض اسهل فيكون حل المعادله التفاضليه هو
حيث الطرف الايمن ثابت اختياري
وشكرا لكم
