السلام عليكم
نكمل اليوم
مثال
حل المعادله التفاضليه
الحل نوجد اولا المعادله المميزه وهي الجزء الذي فيه المؤثر التفاضلي ونستبدله بمعادله جبريه كما ذكرت لنا النظريه سابقا
بحل المعادله وايجاد جذورها نحصل على
اذا يوجد لدينا حلين مستقلين خطيا ويمكن اثبات ذلك باستخدام الرونسكيان وهما
والحل العام تركيبه خطيه بينهما هي
نظريه 2
اذا كان a عدد ثابت وكان n عدد طبيعي فان
حيث y قابله للاشتقاق n مره على الفتره I
2-اذا كانت
فان
والبرهان بالاستقراء الرياضي
ملاحظه
حيث k=0,1,....,n-1
ملاحظه هامه
نستنتج من الملاحظه اعلاه ان مجموعة الحلول المستقله خطيا للمعادله التفاضليه هي
هي
مثال3-حل المعادله التفاضليه
الحل من الملاحظه السابقه نجد ان مجموعة الحلول المستقله خطيا هي
وبشكل عام فان حل المعادله التفاضليه المتجانسه
f(d)y=0
هو بايجاد المعادله المميزه
f(m)=0
ثم نوجد جذور هذه المعادله المميزه فتكون لدينا الحالات التاليه
1- اذا كان الجذرين
جذرين حقيقين مختلفين للمعادله المميزه فان الحلين الموافقين لهما
2- اذا كانت الجذور مكرره نعامل كل واحد على حده فمثلا
مكرر مرتين يكون الحلين المستقلين هما
وبشكل عام اذا كان
جذور مكرره k مره للمعادله المميزه فان الحلول هي
نكمل الحاله الاخر غدا
تحياتي
سير بنروز