المنتديات العلمية
منتدى علم الرياضيات => الدروس والمناهج الدراسية => الموضوع حرر بواسطة: ليل في مارس 07, 2009, 09:48:42 مساءاً
-
السلام عليكم ورحمة الله و بركاتـــه ..
أثبت أن المستقيم 4ص+3س-19=0
يمس الدائرة س(تربيع)+ص(تربيع)-4س+6ص-12=0
ثم عين نقطة التماس
و إن شاء الله ألقى الحل
اللهم من اعتز بك فلن يذل،
ومن اهتدى بك فلن يضل،
ومن استكثر بك فلن يقل،
ومن استقوى بك فلن يضعف،
ومن استغنى بك فلن يفتقر،
ومن استنصر بك فلن يخذل،
ومن استعان بك فلن يغلب،
ومن توكل عليك فلن يخيب،
ومن جعلك ملاذه فلن يضيع،
ومن اعتصم بك فقد هدى إلى صراط مستقيم،
اللهم فكن لنا وليا ونصيرا، وكن لنا معينا ومجيرا، إنك كنت بنا بصيرا
-
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً
يمكن حل السؤال بثلاث طرق مختلفة
الأولى : الحل الجبرى لنظام معادلتين ذات مجهولين
من معادلة المستقيم نجد أن س = (19 - 4 ص ) \ 3
بالتعويض فى معادلة الدائرة عن قيمة س
نحصل على معادلة من الدرجة الثانية فى ص
(361 - 152 ص + 16 ص2)\9 + ص2 - ( 76 - 16 ص )\ 3 + 6 ص - 12 = 0
وبضرب الطرفين × 9 والفك والتجميع
25 ص2 - 50 ص + 25 = 0 وبقسمة الطرفين على 25
ص2 - 2 ص + 1 = 0
( ص - 1 )2 = 0 ومنها ص =1 وهذا يؤدى إلى أن س = 5
أى أن المستقيم يشترك مع الدائرة فى نقطة واحدة ( 5 , 1)
فهو مماس للدائرة عند هذه النقطة
الحل الثانى : مركز الدائرة ( -4\-2 , 6\-2 ) = ( 2 , - 3 ) ونصف قطرها = 5
الشرح
نوجد طول العمود ( ل) الساقط من مركز الدائرة على هذا المستقيم
فإذا كان
ل > نق ( دل ذلك على أن المستقيم لا يقطع الدائرة ومجموعة الحل فاى)
ل = نق ( دل ذلك على أن المستقيم يمس الدائرة) ولإيجاد نقطة التقاطع توجد معادلة العمودى على المستقيم المعطى والمار بمركز الدائرة ثم نحل معادلتى المستقيمين معا لإيجاد نقطة التماس
ل < نق ( دل ذلك على أن المستقيم يقطع الدائرة فى نقطتان )
الحل
طول العمود الساقط من التقطة ( د , هـ) على المستقيم الذى معادلته أ س + ب ص + جـ = 0
يعطى من القانون
ل = | أ د + ب هـ + جـ | \ الجذر التربيعى ( أ 2 + ب 2 )
ل = | 3×2 + 4 ×(-3) - 19 | \ 5 = 25\5 = 5 = نق
نستنتج أن المستقيم مماس للدائرة
ميل المماس = -3\4 فيكون ميل العمودى عليه = 4\3
معادلة العمودى على المماس
ص + 3 = 4( س - 2 )\ 3
معادلة العمودى على المماس هى
4س - 3 ص - 17 = 0 بالضرب × 4 نجد أن 16س - 12ص -68 = 0
معادلة المماس هى
3س + 4 ص - 19 = 0 بالضرب × 3 نجد أن 9س + 12 ص - 57 = 0
بالجمع
25 س - 125 = 0 ومنها س =5 وهذا يؤدى إلى أن ص = 1
نقطة التماس هى ( 5 , 1)
الطريقة الثالثة
الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى
س2 + ص2 - 2أ س - 2 ب ص + جـ = 0 مركزها ( أ , ب )
الصورة العامة لمعادلة المماس لهذه الدائرة عند النقطة (س1 , ص1) الواقعة عليها
س1 س + ص1 ص - أ( س1 + س) - ب ( ص1 + ص ) + جـ = 0
وبتطبيق هذه الصورة على معادلة الدائرة المعطاة نجد أن
معادلة المماس لها عند النقطة ( س1 , ص1) الواقعة عليها هى
س1 س + ص1 ص - 2 ( س1 + س ) + 3 ( ص1 + ص) -12 =0
( س1 -2) س + ( ص1 + 3) ص + (-2س1+ 3ص1 - 12) =0
ولكى يكون المستقيم 3س + 4ص - 19 = 0 مماس لها يجب أن تكون
س1 - 2 = 3 ومنها نستنتج أن س1 = 5
ص1 + 3 = 4 ومنها نستنتج أن ص1 = 1
فإذا كانت هذه النتائج تؤدى أيضا لتطابق الحدان المطلقان كان المستقيم مماس للدائرة
وبالتعويض فى الحد المطلق ( -2س1 + 3 ص1 -12 )
عن س1=5 , ص1 =1 نجد أن ( -10 + 3 - 12 ) = -19 الحد المطلق للمستقيم المعطى
نستنتج أن المستقيم يمس الدائرة عند النقطة ( 5 , 1)
تحياتى
-
شيء جميل جداً
وهناك حل رابع برسم الدائرة التي مركزها (2 ، -3) ونق = 5 والمستقيم المار بنقطتين بوضع س = 1 ، س = 3 (1، 4) ، (3 ، 2.5) ومن الرسم نجد ان المستقيم يمس الدائرة في (5، 1)
-
المماس للدائرة