بسم الله الرحمن الرحيم
الان اخواني بعدما تعرفنا على بعض المفاهيم التي تخص المعادلات التفاضلية...يمكننا معرفة انواع
المعادلات التفاضلية .
تنقسم المعادلات التفاضلية من حيث النوع الى سبعة انواع:
1- معادلة فصل المتغيرات Separable D.e:
و في هذه المعادلة يكون من السهل فصل المتغيرات التي تحتوي عليها الدالة ....و بعد فصل المتغيرات يتم اجراء التكامل العادي للحصول على حل المعادلة التفاضلية...
مثال: حل المعادلة التفاضلية التالية y'=2x-1
الحل:
يمكن اعادة صياغة المعادلة على الشكل dy/dx=2x-1
اذا dy=(2x-1)dx
اذا و بالتكامل نحصل على الحل y=x^2-x+c حيث c ثابت التكامل ولا يصح ان ننساه
و يكون الحل حلا عاما (سبق تعريفه)
2- المعادلة المتجانسة Homogeneous D.e :
اولا: نود تعريف تجانس الدالة ...تكون الدالة متجانسة عندما يكون F(x,y)=F(xt,yt)
اي ببساطة بالتعويض عن كل x ب xt و كل y ب yt فإذا ساوت الدالة الاصلية t من المرات
تكون الدالة متجانسة اما غير ذلك فتكون الدالة غير متجانسة
ثانيا: تعريف المتجانسة ...اذا طبق الشرط اعلاه و نجح تكون المعادلة متجانسة
فاذا كانت المعادلة متجانسة فتكون طريقة الحل كالاتي :
نقسم البسط و المقام على اعلى اس موجود في الدالة فنحصل على كسور سواء في البسط او المقام
نعوض عنها بمتغير اخر فنحصل على معادلة تفاضلية ذات ثلاث متغيرات ثم نلاشي متغير منهم بواسطة الاحلال و هو عن طريق ايجاد علاقة بينهم ثم بالتعويض في المعادلة الاصلية نحصل على معادلة فصل متغيرات ثم باجراء التكامل نحصل على الحل ثم نرجع قيمة المتغير الاخر فنحصل على الحل بدلالة x,y و هو المطلوب..(قد يكون الشرح مبهم بعض الشيء لكن بالامثلة سيزول )
مثال: حل المعادلة التفاضلية التالية 2xydy=(x^2-y^2)dx
الحل:
ثم باعادة كتابة المعادلة التفاضلية نحصل على dy/dx=(x^2-y^2)/2xy
بقسمة كل من البسط و المقام على x^2 نحصل على
dy/dx=(1-y^2/x^2)/(2y/x)
كما نلاحظ ان هناك كسر في البسط و المقام و لتبسيط المعادلة نعوض عن هذا الكسر بمتغير اخر و ليكن مثلا z=y/x فيكون شكل المعادلة هو dy/dx=(1-z^2)/2z
و نلاحظ ان المعادلة اصبحت في المجاهيل x,y,z و لتبسيطها نجري الاتي
بما ان z=y/x اذا y=xz ...dy/dx =xdz/dx+z
و من الواضح بالتعويض عن dy/dx في المعادلة نحصل على معادلة في المتغيرين x,z
و تكون على الشكل xdz/dx+z=(1-z^2)/2z
من الواضح يمكن فصل المتغيرات بسهولة
فيكون الناتج علىا لشكل dx/x=2z/(1-3z^2)dz
و باجراء التكامل نحصل على الحل في x,z ثم بالتعويض عن z=y/x
نحصل على الحل بدلالة x,y و هو المطلوب
3- المعادلات الغير متجانسة Non-Homogeneous D.e:
و بالطبع تكون المعادلة غير متجانسة اذا لم يتحقق الشرط F(x,y) not equal F(xt,yt)
مثال: حل المعادلة التفاضلية التالية dy/dx=(x+y-4)/(2x-y+1)
الحل:
نلاحظ ان الشرط لا ينطبق هنا بدليل لو تم التعويض كما قولنا سنجد ان
dy/dx=(xt+yt-4)/(2xt-yt+1) ولا يمكن ابدا فصل الثابت t من المعادلة و بالتالي ليست معادلة متجانسة
نلاحظ ان الدالة تمثل معادلتي خطين مستقيمين متقاطعين (بايجاد نقطة التقاطع ثم نضيف النقطة الى x,y ثم بالتعويض عنهم في المعادلة تتحول المعادلة الى معادلة متجانسة و تحل بنفس الطريقة)
نقطة التقاطع هي (1,3) ثم بالتعويض عن كل x=x+1 و كذلك عن كل y=y+3 في المعادلة الاصلية نحصل على معادلة متجانسة بدليل dy/dx=(x+y)/(2x-y) (معادلة متجانسة)
بقسمة المعادلة على x نحصل على
dy/dx=(1+y/x)/(2-y/x) ثم بوضع z=y/x نحصل على
dy/dx=(1+z)/(2-z) ثم بالتعويض عن dy/dx من المعادلة اعلاه y=xz
ثم بالتفاضل بالنسبة ل x يكون
dy/dx=xdz/dx+z ثم بالتعويض في المعادلة نحصل على
xdz/dx+z=(1+z)/(2-z) ثم باعادة تظبيط المعادلة نحصل على
x/dx=2z/(1-z-z^2) تمكنا من فصل المتغيرات ثم باجراء التكامل نحصل على الحل
مثال2: حل المعادلة التفاضلية التالية dy/dx=(y-x+1)/(y-x+5).
الحل:
نلاحظ انها معادلة غير متجانسة و ان الدالة تحتوي على معادلتي خطين متوازيين (ليسوا متقاطعين)
اذا هناك طريقة حل اخرى و ليست الطريقة المعتادة التي سبقت
و هي ان نعوض عن الجزء التشابه من المعادلتين بمتغير اخر لتبسيطها كالاتي
نضع z=y-x في المعادلتين و تصبح على الشكل التالي
dy/dx=(z+1)/(z+5)
ثم من المعادلة z=y-x نحصل على dz/dx=dy/dx-1 و منه نحصل على dy/dx=dz/dx+1 ثم بالتعويض في المعادلة نحصل على
dz/dx+1=(z+1)/(z+5) ثم بتظبيط شكل المعادلة نحصل على
dz/dx=-4/(z+5) اذا (z+5)dz=-4dx ثم باجراء التكامل نحصل على الحل
ولاننسى ان نعوض عن قيمة z=y-x (ولاننسى ثابت التكامل عند اجراء التكامل)
