حساب المثلثات

[المقصبى]

انا اخوكم المقصبى اعود اليكم بعد غياب بسبب السنة الدراسية وعدت ببعض المسائل سوف اطرحها فى المنتدى التى فيها فكرة وغير متكررة حتى تعم الفائدة
اليكم هذة المسئلة : حل المعادلة المثلثية الاتية
جتا س +1=حا س
اوجد ءص/ءس للدالة  طا ص=هه^س +لو س (ملاحظة يوجد حلين لهذه المسئلة)
وهناك المزيد ان شاء الله وفقكم الله جميعا
وشكرا

[محمد شكري الجماصي]

للمسألة الأولى: تستبدل النسب المذكورة لنصف الزاوية والاختصار ونحصل على س = 90درجة

[المقصبى]

شكرا لللاستاذ محمد شكرى وارجو منك ان يكون الحل بالخطوات
سوف اترك بعض الوقت لمشاركة الاخوة

[محمد شكري الجماصي]

حتاس + 1 = حاس
[2(حتاس/2)^2 - 1] + 1 = 2حاس/2حتاس/2
2(حتاس/2)^2 =  2حاس/2حتاس/2
حتاس/2 = حاس/2  (س/2 + س/2 = 90 أي س = 90) أو بالقسمة على حتاس/2
1 = طاس/2
س/2 = 45
س =90

[مـحمـد]

السلام عليكم
في حل الاستاذ محمد حل ونحن نعرف أن للمعادلة المثلثيه مجموعة حلول
حيث ورد حل الاستاذ محمد على الشكل

اقتباس

حتاس + 1 = حاس [2(حتاس/2)^2 - 1] + 1 = 2حاس/2حتاس/2 2(حتاس/2)^2 =  2حاس/2حتاس/2 حتاس/2 = حاس/2  (س/2 + س/2 = 90 أي س = 90) أو بالقسمة على حتاس/2 1 = طاس/2 س/2 = 45 س =90

هذا من جهة
ومن جهت أخرى اذا كانت س = 180 درجه عوض بالمعادلة تجدها صحيحة
فالحل السابق غير مكتمل وغير دقبق  وهو ليس بالحل العام

انظروا لهذا الحل
جتا س - جا س = - 1   ( يتم التحويل للسطر التالي بتقسيم الطرفين على جذر 2 ) او مباشرة
( جذر 2 ) جتا ( س + 45 ) = - 1
جتا ( س + 45 ) = جتا 135
اما س +45 = 135 + 360 × ك    حيث ك عدد صحيح
س = 90 + 360 × ك
أو
س + 45 = - 135 + 360 × ك
س = - 180 + 360 × ك
============

[المقصبى]

شكرا للاخوة الحلول رائعة ومتنوعة
وكن مارائكم فى هذا الحل
المعادلة هى  جتا س +1=جا س
نعرف ان جتا^2(س)=1-جا^2(س) ومنها جتاس=جذر(1-جا^2(س))
ونعوض فيها فى المعادلة نحصل على
جذر(1-جا^2(س))=جا س-1  بعد نقل الواحد للطرف الاخر. ثم نربع الطرفين نحصل على
1-جا^2(س)=(جاس-1)^2 ثم نفك القوس ونقوم بخطوات رياضية نصل الى
2جا^2(س)=2جا س ومنها  جا^2(س)=جاس ثم نجعلها معادلة صفرية
جا^2(س)-جاس=0 ثم ناخذ جاس عامل مشترك تصبح المعادلة جاس(جاس-1)=0 ومنها
جاس=0   منها س=0
جاس-1=0 ومنها س=90 هذا بالنسبة لتعويض جتاس .حاول ان تعوض جاس وشكر3:

[مـحمـد]

السلام عليكم
ايضا حلك يا مقصبي غير مكتمل وغير دقيق
اذا ربعنا المعادله فإننا بالحالة العامة نضيف حلول جديده لا تحقق المعادله
المعادلة هي : جتا س +1=جا س
وانت تقول

اقتباس

جاس=0   منها س=0

س = 0 حل للمعادلة  وهذا خطأ كبير عوض في المعادلة تجد انها غير محققه بالتعويض نجد
1 + 1 = 0
ومن جهة اخرى
المعادلة لها مجموعة من الحلول وليس حل واحد

حا س = 0
س = 180 × ك وهذه تمثل مجموعه من الحلول { 0 ، 180  .  . .  .   }

وهذا رابط في المنتدى لكل من يريد حل معادلة مثلثية

على بركة الله

[محمد شكري الجماصي]

للملاحظة:
هناك فرق بين القول حل المعادلة الأتية والقول أوجد الحل العام للمعادلة والحل الذي ذكرت كان للفترة ]0 ، ط[ إن كان في [0 ، 2ط] نقول طاس/2 موجبة تعني س/2 في الربع الأول أو الثالث والقيم 1 تعني س/2=45درجة ونكمل
والحل العام هو بإضافة دورات الزاوية مثل 2ط ن حيث ن ينتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة
ويمكن تربيع حتاس - حاس = 1 للحصول على حا2س=0 و ...

[مـحمـد]

السلام عليكم
مع احترامي وتقديري للأستاذ محمد شكري فالحل غير مكتمل وغير دقيق
استاذنا الغالي كان السؤال حل المعادله
وهذا يعني أوجد جميع الحلول على الدائرة المثلثيه اما ان تذكر أن حلك كان في المجال ] 0 ، ط [
هذا الشرط يجب ان يوضع مع الحل
------------------------------------
اذا سألنا طالب حل المعادلة :  س^2 = 4 وأجاب ان الحل س = 2
هل حله مكتمل ؟؟؟؟؟
قطعا الجواب ان الحل غير مكتمل لأن السؤال لم يكن اوجد احد الحلول
------------------------------
من ناحية ثانيه وعودة لحل الاستاذ محمد شكري حيث ورد

اقتباس

حتاس/2 = حاس/2  (س/2 + س/2 = 90 أي س = 90) أو بالقسمة على حتاس/2

عند القسمه يجب مناقشة هل يساوي الصفر
وفي حالة مثل السابقه مثلا
حتا ب = حا ج  ان قلنا ب + ج = 90 يكفي ؟؟؟؟
-------------------------
ايضا ورد في مشاركة الاستاذ محمد شكري
 

اقتباس

إن كان في [0 ، 2ط] نقول طاس/2 موجبة تعني س/2 في الربع الأول أو الثالث والقيم 1 تعني س/2=45درجة ونكمل والحل العام هو بإضافة دورات الزاوية مثل 2ط ن حيث ن ينتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة

لماذا نقول طاس/2 موجبة طالما انت بداية تقول إن كان في [0 ، 2ط]
اعتقد ان الصواب
إن كان في س من [0 ، 2ط] فان س/2 من [ 0 ، ط ] وهنا ظا س/2 ممكن موجب وممكن سالب
---------
ايضا القول
والحل العام هو بإضافة دورات الزاوية مثل 2ط ن حيث ن ينتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة
غير دقيق بالحالة العامة
 لان اضافة الدورات في الحالة العامة تتم قبل ايجاد الحل وليس بعد الحل
فالحل ان ورد من استاذ ينبغي ان يكون مكتملا وواضحا حتى لايضيع الطالب بين قصدي كذا وكذا
وكذلك يا مقصبي التربيع في الحالة العامة يضيف حلول وحلك غير مكتمل
اكرر شكري لكم والى اللقاء

[محمد شكري الجماصي]

طاس/2 موجبة القيمة لأنها تياوي 1 و س/2 تقع في الربع الأول أو الثالث ولكن س/2 لا يمكن أن تقع في الربع الثالث حال [0 ، 2ط] وعليه س/2 تقع في الربع الأول
أرى أن معظم ما ذكر هنا صحيح والمشكل أراه في نص المسألة حيث يجب التحديد الكامل للمطلوب فليست الرياضيات ألغاز بل يحكمها القانون والمنطق فحل المعادلة حاس =0.5 ليس بالقول الكافي بل يجب تحديد مجموعة الحل المطلوبة وهذا مشكل موجود في معظم بلادنا ولا أدري لماذا نقول حل المعادلة حاس = 0.5 ونسكت بدلاً من القول أوجد مجموعة حل المعادلة في ... أو أوجد الحل العام للمعادلة ... ولكن في الناحية الجبرية عندما نقول حل المعادلة فهو يعني قيم س (المجهول) ويحكمه درجة المعادلة مثل س^2=9 يعني موجود قيميتن ، س^3=8 يعني وجود ثلاث قيم ما لم ينص على أن يكون الحل في ح
يستحق جميع المشاركين هنا الشكر على ما قدموه من مناقشة مفيدة تبين وجهات نظر مختلفة يجب أن يستفيد منها كاتب الامتحان حتى تكون الإجابة قاطعة ملزمة للجميع
تقبلوا تحياتنا

[المقصبى]

شكرا على مشاركة الاخوة وشكرا على الملاحظة
فعلا مجموعة غير منتهية من الحل التى تحقق المعادلة
ولكن لو اخترنا الفترة (2,0ط) وقمنا بتعويض جا س=جذر(1-جتا^2(س))ونقوم بنفس الخطوات السابقة نحصل قيمتى ل س وهى 90 ,180