السلام عليكم
اختبار النسبه لدلامبير
افرض إن المتسسلسله
ذات حدود موجبه وكان
فان
1-L<1 المتسلسله تقاربيه
2-L>1 المتسلسله تباعديه
3-L=1 يفشل الاختبار
اختبار كوشي
افرض إن المتسسلسله
ذات حدود موجبه وكان
فان
1-L<1 المتسلسله تقاربيه
2-L>1 المتسلسله تباعديه
3-L=1 يفشل الاختبار
امثله
اختبر التقارب للمتسلسلات التاليه
الحل
بوضع كل من
نجد إن
عليه تكون المتسلسله تباعديه
مثال
اختبر التقارب للنتسلسله
^n)
الحل
باستخدام اختبار كوشي
وعليه تكون المتسلسله تباعديه
المتسلسلات متناوبة الاشاره
لقد كانت دراستنا السابقه باجمعها تتكلم عن المتسلسلات ذات الحدود الموجبه
والان سوف نتكلم عن المتسلسلات ذات الحدود السالبه والموجبه من النمط
^{n+1}a_n=a_1-a_{2}+...+(-1)^{n+1}a_n+..)
نظرية لابنتز
نعتبر المتسلسله
اذا كانت المتسلسله متناقصه ونهاية الحد النوني تؤول إلى الصفر عندما تكبر n فان المتسلسله تقاربيه ومجموعها موجب ولايتعدى الحد الاول
مثال
اختبر تقارب او تباعد المتسلسله
^{n+1}}{n})
لو لاحظنا إن هذه شكل المتسلسله التوافقيه لكن بحدود متناوبه
كما نعلم إن نهاية الحد النوني تساوي صفر أي
وكذلك متناقصه أي إن
أي إن المتسلسله تحقق شروط نظرية لايبنتز وهذا يعني إن المتسلسله تقاربيه
التقارب المطلق
لو فرضنا متسلسله متناوبة الاشاره المعروفة الشكل لدينا
لو كونا المتسلسله الجديده من القيم المطلقه لحدود المتسلسله المعطاه والتي تاخذ الصوره
اذا كانت المتسلسله المطلقه تقاربيه فان المتسلسله
تكون تقاربيه ايضا ويقال انها مطلقة التقارب
اما اذا اكنت المتسلسله
تباعديه فان المتسلسله
تسمى مشروطة التقارب
قبل قليل يا اخوان اخذنا المتسلسله التوافقيه وعندما درسناها من خلال نظرية لابنتز كانت تقاربيه لكن كانت بشكل متناوب الاشاره لكن لو درسناها بقيمها المطلقه لاصبحت تباعديه وهذا مانعني بمسالة التقارب المشروط
والتقارب المطلق من اقوى اوانواع التقارب وكذلك يمكننا استخدام اختبار دالمبير او كوشي بوضع القيمه المطلقه على الحد النوني
مثال
اختبر تقارب المتسلسله
^{n-1}2^n}{n^2})
الحل
بوضع
^{n-1}2^n}{n^2} \\ a_{n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}2^{n+1}}{{n+1}^2})
وعليه فان(اختبار دالمبير)
^n2^{n+1}n^2}{(n+1)^2(-1)^{n-1}2^n}|=2>1)
اذن المتسلسله تباعديه
متسلسلات القوى
لو فرضنا لدينا متسلسله من الشكل
^n=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+..+a_n(x-a)^n+...)
ونسمح لـ a=0 فان واحد من الكلام التالي صحيح
1-تتقارب المتسلسله عند x=a
2-تتقارب المتسلسله تقارب مطلق وبالتالي فهي تقاربيه لاي قيمه x
3-تتقارب المتسلسله تقارب مطلق لاي قيمه حقيقيهx تحقق |x-a|
أي إن المتسلسله تتقارب في الفتره (a-R,a+R) وتباعديه خارج الفتره اما على حدود الفتره في حالة x=a-R or x=a+R
فهي اما تتقارب بشكل مطلق او مشروط او تباعديه ويسمى R نصف قطر التقارب لاسباب غير خافيه
مثال
^n}{n^2})
الحل
^{n+1}n^2}{(n+1)^2(x-5)^n}| \\ =|x-5| lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=|x-5|)
اذا المتسلسله تكون تقاربيه مطلقا اذا كان
|x-5|<1
لماذا؟
وهذا يقتضي
4
وهذا يعني إن المتسلسله تقاربيه في هذه الفتره الان ندرس عندما x=4 or x=6
عندما x=6 نحصل على
وهذه تقاربيه (لماذا؟)
اما في الحاله الاخرى نحصل على
^n}{n^2})
وهذه متسلسله مطلقة التقارب اذا المتسلسه متقاربه على
[4,6]
ونصف قطر التقارب R=1
وغدا ان شاءء الله نبدا بمتسلسل تيلور ومكلورين
تحياتي
يبر بنروز
