الرياضيات في حياتنا

[الأحيائي الصغير]

الله يعطيك ألف ألف عافية أختي العزيزة زينة سعد الدين

و جزاك الله كل خير

 '>

[زينة سعد الدين]

بسم الله الرحمن الرحيم

أسس الهندسة ونظرية المتوازيات.
الهندسة في اصول اقليدس: يحتوي مؤلف اقليدس (300 ق.م) »الاصول« على ثلاثة عشر كتابا. يبدأ كل كتاب منها بتحديدات المفاهيم الاساسية ثم يعرض الموضوعات والمصادرات وينتقل بعدها الى الاحكام ومنها المبرهنات. تعالج الكتب الستة الاولى الهندسة المسطحة وتتناول الكتب الحادي عشر والثاني عشر والثالث عشر، الهندسة الفضائية. يحتوي الكتاب الاول من اصلو اقليدس ثلاثة وعشرين تحديدا علاوة على تسع موضوعات وست مصادرات وهي تشكل اساس الهندسة الاقليدية وذلك اضافة الى مجموعة من الاحكام المتعلقة بمفهوم التوازي.
التحاديد: يبدأ الكتاب الاول لاقليدس بعرض ثلاثة وعشرين تحديداً، سوف نستعرض بعضها:
1 النقطة هي ما ليس له اجزاء. 2 الخط هو طول دون عرض. 3 اطراف الخط هي نقاط. 4 المستقيم هو قائم بالتساوي على نقاطه. 5 السطح هو ما ليس له غير الطول والعرض. 6 اطراف السطح هي خطوط. 7 المسطح هو سطح قائم بالتساوي على كل خطوطه المستقيمة... وصولا الى التحديد 23:
23 المتوازيان هما خطان مستقيمان موجودان في نفس المسطح، عند مدهما الى ما لا نهاية من جهة واخرى فانهما لا يلتقيان لا من جهة ولا من اخرى.
لا شك بأن هذه التحديدات تأتي من تصوّر اكيد للفضاء الملموس واشيائه فإنها تستعمل مفاهيم تعتبرها اولية في حين ان هذه المفاهيم تفتقر الى التحديد الدقيق ايضا ولذلك فإن هذه التحديدات ليست فعلية بالمعنى المطلق انما ترتكز الى الحدس وتعبّر عن و»وصف« لكائنات هندسية.
الموضوعات (او المفاهيم المشتركة): 1 المقادير المساوية لنفس المقدار متساوية في ما بينها. 2 ان اضافة مقادير متساوية الى مقادير متساوية اخرى يؤدي الى الحصول على مقادير متساوية. 3 ان اقتطاع مقادير متساوية من مقادير متساوية اخرى يؤدي الى الحصول على مقادير متساوية. 4 ان اضافة مقادير متساوية الى مقادير غير متساوية يؤدي الى الحصول على مقادير غير متساوية. 5 ان اقتطاع مقادير متساوية من مقادير غير متساوية يؤدي الى الحصول على مقادير غير متساوية. 6 المقادير التي تمثل ضعفين لنفس المقدار تكون متساوية فيما بينها. 7 المقادير التي تمثل نصف مقدار ما تكون متساوية فيما بينها. 8 المقادير التي تتطابق فيما بينها تتساوى. 9 الكل اكبر من الجزء.
مصادرات اقليدس:
المصادرة الاولى: من كل نقطة يمكن ان يمد مستقيم الى اي نقطة ثانية.
المصادرة الثانية: كل مستقيم قابل للمد الى ما لا لانهاية.
المصادرة الثالثة: من اي مركز كان وبأي مسافة كانت يمكن تكوين دائرة.
المصادرة الرابعة: كل الزوايا القائمة متساوية فيما بينها.
المصادرة الخامسة: اذا وقع مستقيم على مستقيمين وكان مجموع الزاويتين الداخليتين على جهة واحدة من القاطع اقل من زاويتين قائمتين، واذا مد المستقيمان بغير حدِّ فإنهما يلتقيان في الجهة التي يكون فيها مجموع الزاويتين أقل من زاويتين قائمتين.


هذه المعلومات مجرد تعريف بالهندسة ونظرية المتوازيات والأخطاء على الطريق بإذن الله

[زينة سعد الدين]

شكرا  الأحيائي الصغير

على مرورك الجميل

تحياتي : زينة

[عماد حمدي]

اتمنى تعريفي بموضوع الاحتمالات والاحصاء

[عماد حمدي]

اتمنى تعريفي بموضوع الاعداد الاولية اخت زينة

[محار]

 على المعلومات الرائعة

جزاك الله خيرا

[زينة سعد الدين]

أخ عماد حمدي سوف أقوم بوضع ما تريد بإذن الله

مقدمة :
الاحتمالات والإحصاء
 
  
كان حساب الاحتمال شغل الإنسان الشاغل منذ قديم الزمان، وأصبح في منتصف القرن السابع عشر هواية جدية لدى الرياضيين، فنشأ عن أبحاثهم في هذا الموضوع اختصاص مستقل تماماً هو (رياضيات الاحتمالات).

والاحتمال عند عالم الرياضيات هو نسبة مئوية، أي أنه التكرار الذي تحدث به ظاهرة ما بالنسبة إلى احتمالات مختلفة أخرى يمكن أن تحدث. وعندما تُضم احتمالات وقوع حوادث معينة بعضها إلى بعض يمكن استخدامها لتقدير حدوث سلاسل مشابهة من الحوادث. وقد صيغت قواعد أساسية معينة لتعالج مجموعات كهذه أصبحت تُعرف فيما بعد باسم (قوانين المصادفة).

واعتقد رياضيو القرن الثامن عشر النظريون بأن حساب نيوتن التفاضلي يستطيع بعد تطويره أن يكتشف مستقبل حادثة ما، لا بل إنهم قد أكدوا أنه يستطيع الكشف عن مستقبل الحوادث كلها بدقة مطلقة، وتمسكوا في كثير من الحالات بفلسفة (الحتمية الآلية)، وكتب الرياضي الفرنسي (بيير سيمون دو لا بلاس) الذي عاش في القرن الثامن عشر أن المستقبل سيكون كالماضي مفتوحاً أمام عيني الإنسان.

لكن العلماء المعاصرين مقتنعون أنهم لن يستطيعوا إخضاع كل ما في الكون لحسابات وتحليلات تمتد إلى ما لانهاية له للوصول إلى حتمية الأشياء، لذا اتجهوا إلى التنبؤات التي تقوم على الرياضيات.

تتحرك أدق الوحدات في الطبيعة عندما تكون منفردة حركة عشوائية توحي بأنها فوق مستوى التنبؤ بها، ولكن بما أن هذه الوحدات تعمل بأعداد هائلة جداً، فإن حساب الاحتمالات يكون قادراً على التنبؤ بسلوكها المشترك تنبؤاً كلياً ضمن مجال محدد من الخطأ.

تجري عمليات التكهن على مليارات الجزيئات الغازية التي تحويها قارورة مثلاً، أو على ملايين السائقين ممن هم خلف عجلات القيادة. ومن المستحيل طبعاً أن يتوقع المرء ما إذا كان الجزيء آ سيصطدم بالجزيء ب، أو كان السائق س سيصطدم بالسائق ع، إلا أنه من الممكن أن نعرف على وجه التقريب عدد الجزيئات التي تتصادم في ثانية واحدة، أو عدد السائقين الذين يتصادمون في شهر واحد، وسيكون التقدير صحيحاً إلى حد يسمح للعالم بالوصول إلى استنتاج مفيد، أو يسمح لشركة التأمين بوضع تعرفتها المناسبة.

لقد استقت نظرية الاحتمالات جذورها من المقامرين، ولم يبدأ حساب الاحتمالات بالشكل الذي نعرفه إلا في منتصف القرن السابع عشر على يد ثلاثة من الفرنسيين هم دوميريه وباسكال وفيرما. ولا تنفي قوانين المصادفة إمكان فوز الإنسان بضربة حظ موفقة، وهنا لا يمكن إنكار قيمة الحدس في التنبؤ ببعض الحوادث. ولا تصبح قوانين المصادفة قوانين بحق إلا عندما تكثر المرات التي تُطبَّق فيها، أي كما في حالة توزيع أوراق اللعب عدداً كبيراً من المرات، أو كما في حساب أعمال عدد كبير من الناس، ويُعرف هذا المظهر من مظاهر الاحتمالات بقانون الأعداد الكبيرة.

ويقدم هذا القانون نفسه فرصة صغيرة ليكون الفرد الواحد محظوظاً المرة تلو الأخرى، أي أن يكون توفيقه أكثر بكثير مما يضمنه له تنبؤ الاحتمالات. ومن ناحية أخرى، فإن تتابع التوفيق والحظ على المرء لا يقلل من احتمال توفيقه وحسن حظه في أية محاولات أخرى.

ويفسر قانون الأعداد الكبيرة أغلب استعمالات الاحتمالات العلمية في وقتنا الحاضر، وإليه يعود الفضل في أن احتمال صحة نبوءة ما يزداد بازدياد عدد الحالات التي تدخل في الحساب مثل عدد الجزيئات في وعاء مليء بالغاز، أو عدد الحوادث التي سجلتها شركات التأمين، وهو أحد الأسباب التي تجعل بوليصات التأمين التي تغطي نوعاً محدداً من الحوادث أغلى كثيراً من البوليصات التي تشمل عدداً كبيراً من حوادث مختلفة.

وتسيطر رياضيات الاحتمالات على مظاهر عديدة أخرى من مظاهر الحياة الحديثة، فهي تساعد العالم الذري على فهم الآثار المتشابكة التي تسجلها على الأفلام الجزيئات الذرية المقذوفة من المسرعات. وتساعد خبير الصواريخ في تحديد عوامل الأمان التي يجب أن تزود بها أجهزة القذائف الباهظة الثمن، كما تساعد في تقدير ذكاء الأطفال لدى إجراء اختبارات الذكاء عليهم، وكذلك في تدقيق السلع المنتجة وهي تتدحرج على خطوط الإنتاج في المعامل.

وهناك قانونان يضمهما حساب الاحتمالات، الأول- قانون (كلا الأمرين) لحساب احتمال وقوع حادثتين معاً، والثاني - قانون (أحد الأمرين) لحساب احتمال وقوع حادثة واحدة من حادثتين مستقلتين، وهو يساوي احتمال حدوث الأولى مضروباً باحتمال حدوث الثانية. وينص قانون (أحد الأمرين) على أنه إذا كانت لدينا إمكانيتان يمنع حدوث إحداهما حدوث الأخرى، فإن احتمال حدوثهما يساوي مجموع احتمال حدوث كل واحدة منهما على حدة.

ويمثل الواحد في لغة الاحتمالات (الحتمية)، أي حتمية حدوث الأمر المدروس لدى كل محاولة.

تكمن إحدى الصعوبات الكبيرة لدى تطبيق قوانين الاحتمالات في تحديد الأساليب الممكنة كلها التي يمكن أن تحدث بها حادثة ما. وقد خلص الرياضيون إلى قوانين توفر عليهم عناء العمل، فتعطيهم في لمحة عين عدد الترتيبات المختلفة أو التنظيمات التي تختفي وراء مجموعة واحدة من الإمكانات.

وتوصل علماء الاحتمالات إلى قوانين التبادلات والتوافقات، التي تسهل عليهم حل القضايا الصعبة بعد التأمل في الأنظمة والتراتيب التي يجري بها أي نوع من أنواع اليانصيب أو التي توزع بها أوراق اللعب أو سحب بعض الأشياء من مكان أو غير ذلك.

ويستعمل الرياضيون في دراستهم لسحبات الحظ المجهولة أداة أساسية هي (منحنى التوزيع النظامي)، ويعطي هذا المنحنى القيم النظامية أو الوسطى لعدد كبير من الحالات الاختيارية، ويمكن رسمه بسهولة بعد تكرار المحاولات عدداً كبيراً جداً من المرات، مما يؤدي إلى الحصول على توافيق معينة بدلالة قيم هذه التوافيق نفسها، ويظهر هذا المنحنى على شكل جرس له استدارة خفيفة. وهذا المنحنى هو الأكثر شيوعاً في نظرية الاحتمالات، وهو يمثل كل الحوادث أو المقادير مثل طول حياة المصابيح الكهربائية، وأبعاد أوراق الشجر المتنوعة، وأطوال الجنود في فرقة عسكرية وغيرها.


 
 
الحل على الطريق بإذن الله مع أمثلة

[زينة سعد الدين]

مقدمة عن الاعداد الأولية :

عالم الأعداد الأولية



لقد كانت الأعداد هي أول ما ظهر من علوم الرياضيات لكونها أقرب هذه العلوم إلى واقع الإنسان ، و تمتلك بعض الأعداد خصائص سحرية و غريبة جعلتها تجذب بال العلماء و الرياضيين و منها الأعداد الأولية .

تمتلك الأعداد الأولية خصائص فريدة من نوعها من كونها غير منتظمة و بالتالي عدم إمكانية التخمين بها ، و لكونها أصل جميع الأعداد حسب النظرية الأساسية في الحساب ، بل إن لها تأثير أكبر من ذلك حيث وسعت خيال الرياضيين للإبحار فيما عرف بالأعداد الأولية الكبيرة و التي يقف العقل أمامها منذهلا من ضخامة هذه الأعداد و كيف توصل إليها العقل بنوعيه البشري و الآلي ، فيكفي أن نقول أن أكبر عدد أولي تم اكتشافه مؤخرا يحتاج لكتابته بخط صغير إلى ورقة طولها يقارب خمسة كيلومترات !!!

موقع الأرقام يتقدم بالشكر إلى أصحاب العديد من المواقع الإنجليزية وإلى صاحب موقع صندوق الرياضيات ، ونرجو أن نكون قد وفقنا بعض الشيء لمنفعة المتابع والباحث والطالب .

 

أعداد ميرسين الأولية

يتكرر هذا الإسم كثيرا في عالم الأعداد الأولية ، و هي الأعداد من الصورة :  ، و لعل الذي جذب الأنظار إلى هذه الأعداد هو سهولة التحقق من أوليتها في الحواسيب الثنائية ، لذلك أكبر الأعداد الأولية المعروفة حاليا من هذه الصورة من الأعداد .

 

لقد كان عدد من الرياضيين السابقين يعتقدون أن العدد من الصورة    يكون أوليا كلما كان n  عددا أوليا ، و لكن في 1536 أثبت ريجيوس ( Regius ) أن العدد : = 2047 = 23.89  ليس أوليا حيث أنه حاصل ضرب 23 × 89 ، و في عام 1603 تحقق كاتالدي (Cataldi) أن العددان  و     أوليان ، و استنتج كاتالدي و بشكل خاطئ أن العدد   يكون أوليا لكل : n = 23,29,31,37  ، حيث أثبت فيرمات في 1645 أن كاتالدي كان خاطئا بالنسبة للعددين n = 23,37 ، و أثبت أويلر في 1738 أن كاتالدي كان أيضا خاطئا بالنسبة للعدد  n = 29  ، و في وقت لاحق أثبت أويلر أن كاتالدي كان مصيبا بالنسبة للعدد n = 31 .

 

بمجيء الفرنسي مارين ميرسين (Marin Mersenne) 1588-1648 ، حيث وضع في مقدمة أحد كتبه أن العدد   يكون أوليا عندما :  n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257  ، و أنه مركبا لكل الأعداد n < 257 الصحيحة ، و رغم أن هذا التخمين من ميرسين كان خاطئا إلا أن اسمه ظل ملتصقا بهذه الأعداد حيث سميت باسمه .

 

  تعريف : عندما يكون العدد أوليا فإنه يسمى بعدد ميرسين الأولي .

 

كان واضحا أنه ليس بإمكان ميرسين التحقق من كل هذه الأعداد ( n<257 ) لصعوبة ذلك في عصر ميرسين ، كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحق من موضوعته ، فبقيت كذلك إلى 100 سنة و ذلك عندما تحقق أويلر (Euler )  في 1750 من أن العدد التالي في قائمة ميرسين هو ، و بعد قرن آخر و في 1876 بين لوكاس ( Lucas )  أن العدد  كان أوليا ، و بعد سبع سنوات أثبت بيرفوستين (Pervouchine ) أن العدد  أوليا و هذا لم يذكره ميرسين ، كذلك أثبت باورس (Powers ) في بداية القرن القرن العشرين أن ميرسين أغفل أيضا العددان الأوليان   و   و بنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد (n<258 ) قد اكتملت بشكلها الصحيح و هي :

(n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ) ، أما بالنسبة لبقية أعداد ميرسين فقد تم اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي .


هل هذا الذي تريده أخ عماد حمدي أم شيئ اخر اذا كان نعم فسوف أكمل بطرقإثبات النظريات المتعددة
بانتظار الجواب

وغدا بإذن الله سوف يكون شرح مفصل مع أمثلة بإذن الله عن الموضوعين ( الاحتمالات والإحصاء, والأعداد الاولية )

تحياتي : زينة