المحاضرات والدروس العلمية > المحاضرات العلمية
محاضرات في التفاضل والتكامل
G H Hardy:
السلام عليكم
المحاضره الرابعه
اتمنى ان نكون استوعبنا ماسبق
الان سوف نقدم خواص النهايات وبدون برهان لان بعضها يحتاج خلفيه اعلى لكن الغالب منها سهل برهانه لكن ليس موضوعنا ذلك
خواص النهايات
-اذا كان a,b,c اعداد حقيقيه فان
2- لتكن
عندئذ
نتيجه
اذا كان و n عدد صحيح موجب فان
نتيجه
اذا كان n عدد صحيحا موجبا فان
مبرهنه
اذا كانت p(x) كثيرة حدود فان
لكل a عدد حقيقي
نتيجه
اذا كانت f(x) داله كسريه وكان فان
مبرهنه
حيث a>0 و n عدد صحيح موجب(او a بحيث
ونرمز للنهايه اليمني بـ
2-لتكن الداله f معرفه على الفتره (c,a) نقول إن العدد الحقيقي L هو النهايه اليسرى للداله عند a اذا كان لكل يوجد بحيث
ونرمز للنهايه اليسرى بـ
وطبعا من التعريف بجزئيه 1 و 2 يمكن البرهان إن النهايه تكون موجود اذا وفقط اذا تساوت النهايه اليمنى مع اليسرى
النهايه عند المالانهايه
مبرهنه
مبرهنه
1-اذا كان n عددا زوجيا فان
2-اذا كان n عددا فرديا فان
G H Hardy:
مبرهنه
ا-
ب-
ج-
د-
الاتصال
تعريف
لتكن I فتره مفتوحه تحوي a ولتكن f داله معرفه على I نقول ان f متصله عند a اذا
كان:
1- موجوده
2-
وهنا تنتهي محاضرة اليوم وان شاء الله يوم الاربعاء الامثله والتمارينوكذلك ساحكي لكم حكايه جميله
مع التحيه
مازن
G H Hardy:
السلام عليكم
ملحق للمحاضره السابقه
مثال
احسب
الحل
مثال
اثبت إن
الحل
مثال
احسب
الحل
احسب النهايه
الحل
مثال
اذا كانت
فاحسب
الحل
لاحظ إن 2 لاتنتمي إلى مجال الداله ومن ثم لانستطيع استخدام المبرهنات بالاعلى اما اذا كانتx لاتساوي 2 فان
مثال
اثبت إن
الحل بما إن
وطبعا باعتبار إن x اكبر او تساوي الصفر والمعالجه شبيه في الحاله الاخرى اذا
باخذ النهايه نحصل على
بالتالي
مثال
احسب
الحل
احسب
الحل
تمارين
2-اذا كانت P(x) كثيرة حدود فان
3-استخدم المتباينتين التاليتين
لاثبات إن
الى هنا تنتهي المحاضره الرابعه ويوم السبت لنا ان شاء الله لقاء مع بداية المشتقات ونقاش اولي فيها
مع التحيه
مازن
G H Hardy:
تطبيق على النهايات
حكاية
نقول حكايه رقم واحد على العدد باي
العدد باي هو اشهر عدد متسامي (لاحقا نفسر معنى متسامي) عرفه الانسان لكثرة تطبيقاته فالعدد او النسبه باي (لفظه تقريبيه تطلق عليها خطأ) قد حيرت الرياضيين حقبا طويله من الزمن لمعرفة قيمتها بالظبط ولم تحل المشكله الا في القرن التاسع عشر عندما اثبت انه عدد متسامي لاينتهي تمثيله العشري ابدا.
اما باي كمفهوم فهو معروف من قديم الزمن فهو يمثل النسبه بين محيط الدائره وقطرها وهي نسبه ثابته لا تتأثر بطول القطر وكان المصريين القدماء والبابليون على علم بقيمتها التقريبيه منذ 2000 سنه قبل الميلاد فقد وجدوا برديه تخص الاخ احمس الذي عاش في حوالي 1650 قبل الميلاد تذكر المساله رقم 50 ان مساحة حقل دائري قطره 9 وجدات تكافيء مساحة مربع طول ضلعه 8 وحدات اي ان
وننه تكون باي=3.16046 تقريبا ويشيد المؤرخون بدقة القرب هذه وان كانو يذكرون النسبه البابليه كقيمه ادق وهي 3.125 والحقيقه ان مسألة احمس توضيحيه فقط وتنم عن ملاحظه اراد الكاتب ابرازها فمن المعروف ان المصريين القدماء عرفوا ان باي تقع بين
اي بين النسبه البابليه والعدد الذي يبستخدمه الطلاب في المدارس 22 على 7 كأسهل عدد نسبي قريب من باي
والعالم الاغريقي ارشميدس هو اول من استخدم فكرة النهايه في الحسابات الرياضيه عندما اورد طريقه لحساب باي بأي دقه نريدها
تعتمد طريقة ارشميدس باحاطة دائره من الداخل والخارج بمسدسين (سداسي الاضلاع)
كل منهم متساوي الاضلاع فاذا كان نصف قطر الدائره هو R ففي الحاله العامه لكثر الاضلاع n
طول نصف الضلع الخارجيAD>طول القوسAB>طول نصف الضلع الداخلي BC
اي ان
منه
ويلاحظ القاري انه برزيادة n والتعويض
ونفس الشيء يحدث للطرف الايمن بالتعويض
وثم استخدام نظرية الانضغاط
ويؤول كلا الطرفين الى العدد باي
والغريب ان ارشميدس لم يحسبها في حالة n=6 فقط والتي بدأت تعطي
بل زاد من القيم طلبا للدقه
وتعاقب الرياضيون في حساب قيمة باي وتمكن جمشيد الكاشي من حساب النسبه
3.1415926535897932
وفي القرن السابع عشر حسب الاوربيون الى 35 عدد صحيح
لكن السؤال المهم ماهو طبيعة هذا العدد الساحر الذي خلب عقول الرياضيين قروننا عديده هل هو عدد جبري اي يمكن ان يكون جذر لكثيرة حدود من درجه معينه هذا هو السؤال الذي طرحه اويلر وهو الذي جعل الرياضييون ينشطون في البحث عن الاجابه واستطاع لامبرت سنه 1767 ان يثبت انه اذا كان x عدد نسبي فان tanx عدد غير نسبي والعكس صحيح وحيث ان ينتج ان باي عدد غير نسبي
السؤال التالي هل باي جبري ام غير جبري؟
ولقد استطاع ليندرمان عام 1882 بناء على برهان لعالم الفرنسي هرميت في كون العدد e متسامي ولايمكن ان يحقق معادله جبريه مساويه للصفر
وباستخدام هذه الحقيقه وعلاقة اويلر الشهيره اثبت الرائع ليندرمان ان باي لايمكن ان يكون جبري فهو اذن عدد متسامي
الى هنا تنتهي قصة باي
وموعدنا ان شاء الله مع قصه اخرى
سأحاول ان ارفق لكم رسمه تفيد في طريقة ارشميدس متى ماتمكنت من رسمها تمام
مع التحيه
مازن
G H Hardy:
السلام عليكم
كيف حالكم جميعا
طبعا اليوم نقول
المحاضره الخامسه
الاشتقاق ومدخل له وما ادراك ما الاشتقاق
طبعا تعريف المشتقه له مدخل هندسي ومدخل تحليلي طبعا المدخل التحليلي اقوى بلاشك
لانه مبني بشكل قوي جدا جدا
طبعا نحن سوف نعتمد المدخل الهندسي لتقريب المفهوم الى اذهاننا واتضاح الصوره ولو ان الرسومات معي غلبتني ولم استطع تنزيلها مع انها معي على usb
نبدأ
تعريف المشتقه
المشتقه تعبر عن الحركه الدائبه لقيم داله خلال فترة عملها فاذا كانت f في تزايد مستمر كما في الشكل 1 طول فترة عمل f ولتكن الفتره المفتوحه (a,b) كان ذلك يعني إن لاي نقطتين x1,x2 داخل فتره
فيكون الكسر
موجبا وهو يساوي ظل الزاويه الحاده من الرسم أي ميل الخط المستقيم الواصل بين النقطتين p1,p2 ويكون سالبا اذا كان
وهو يعبر عن التناقص المستمر في f كما إن قيمة الكسر له دلاله ايضا فكلما كانت كبيره دل ذلك على إن معدل تزايد الداله كبيرا في حالة الاشارة الموجبه وكلما صغرت في حالة الاشارة السالبه دل على إن معدل تناقص الداله كبيرا.
وقد حاول الرياضيون استخدام قيمة الكسر للدلاله على معدل التغير للداله فقاموا اولا بالتخلص من عيب الصيغه السابقه التي تتوقف على النقطتين x1,x2 عن طريق تعريف لمعدل التغير عند نقطه واحده a واسموه مشتقة الداله ورمزوا له بالرمز وهو رمز لابنتز او ) وهو رمز نيوتن
وقد تغلبوا على المشكله الجبريه الخاصه بمعدل التغير هذا عند a عن طريق حساب القيمه
التي تتوقف بداهه على اختيار النقطه x عندما تقترب x من a حتى يكون هناك قيمه واحده لذلك المعدل وعلى ذلك
تعريف:
تعرف المشتقه عند نقطه من احدى الصورتين المتكافئتين
بشرط وجود النهايه
وتمثل الصيغتان من الرسم 2 ميل المماس عند نقطه p وتسمى f في هذه الحاله قابله للاشتقاق والصوره التاليه الاكثر شيوعا وبالذات اذا اعتبرت من المشتقه عند أي نقطه x فتكتب
وتمثل h مقدار التغير في المتغير x ويرمز له بالرمز وتحسب المشتقه بايجاد النهايه على اساس اقتراب x من a او h من الصفر فاذا كانت النهايه موجوده دل ذلك على إن النهايتين من جهة اليمين واليسار موجودتان بناء على معلومات نظريه لاتهمنا كثيرا هنا
تعريف:
تعرف المشتقه من جهة اليسار عند بانها
بشرط وجود النهايه وتعرف المشتقه من جهة اليمين عند نقطه بأنها
وبذلك نصل للنتيجه التاليه
للداله f مشتقه عند نقطه a اذا وفقط اذا كان
ويقال لمنحنى داله انه املس او ناعم او ممهد اذا كان قابل للاشتقاق عند كل نقطه في مجال الداله (هل لديك تفسير عن سبب التسميه؟)
تصفح
[0] فهرس الرسائل
[#] الصفحة التالية
[*] الصفحة السابقة
الذهاب الى النسخة الكاملة