السلام عليكم
متسلسلات فورييهيعد العالم الرياضي جوزيف فورييه من اهم علماء الرياضيات بعصره وقد رافق نابليون في حملته على مصر
وهذا الكلام سمعناه كثير
لكن ماهي متسلسلة فوريير
بحقيقة الامر استنتاج متسلسلات فورييه بطريقه رياضيه ليس بالسهل لانه يحتاج جهد كبير
المهم سنبدأ دراستنا على افتراض ان القاريء يعرف شيء عن الدوال الدوريه
السؤال الذي يطرح نفسه لو كان لدينا داله f فهل بالامكان تمثيل الداله على الصوره
)
حيث a0,an,bn ثوابت
وكما نعرف ان الدوال المثلثيه المذكوره بالمتسلسله هي دوال دائريه ودور كل منها L2 ومن البديهي ان تكون الداله f التي يمكن تمثيلها بالمعادله دوريه ودورها L2 فاذا اهملنا مسالة التقارب وامكن تمثيل الداله f بالمعادله التاليه والتي نسميها معادله 2
=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n \ cos\frac{\pi nx}{L}+b_n \ sin\frac{n\pi x}{L}))
فانه باجراء عملية التكامل على اطراف المعادله نحصل على
dx=\Bigint_0^{2L}\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\Bigint_0^{2L}cos\frac{\pi nx}{L}+b_n\Bigint_0^{2L}sin\frac{n\pi x}{L}))
ودخول التكامل تحت المجموع له شروط لعلي اتاكد منها واكتبها لكم لاحقا
وبمراجعة المواضيع التاليه
متصله قطعيا,ملساء قطعيامسالة شتورم-ليوفيلنجد ان الدوال متعامد بالجزء الايمن من المعادله فيكون ناتج التكامل هو
dx=a_0L)
ويكون المعامل الاول بعد تحديده يعطي من العلاقه
dx)
والان بضرب طرفي المعادله 2 بالداله
ثم اجراء التكامل من صفر الى L2 نحصل على
cos\frac{\pi kx}{L}+dx=\frac{a_0}{2}\Bigint_0^{2L}cos\frac{\pi kx}{L}dx+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\Bigint_0^{2L}cos\frac{\pi nx}{L}cos\frac{\pi kx}{L} \\ +b_n\Bigint_0^{2L}sin\frac{n\pi x}{L}cos\frac{\pi kx}{L}+dx))
اما كود المعادله الاخير جامد لكن اتمنى ان يظهر بالكامل
'>
ومن تعامد الدوال على الفضاء(بحقيقة الامر هي معرفه على فضاء هلبرت لكن نظرا لتقنيته العاليه لن نتلكم بخصائص الفضاء)
يبقى لنا من المعادله التالي
cos\frac{\pi kx}{L}dx=a_k\Bigint_0^{2L}cos^2\frac{\pi kx}{L}=a_nL)
هانحن اكلمنا علاقة الثابت الثاني وبالتالي نحصل على العلاقه
cos\frac{\pi nx}{L}dx)
بضرب طرفي المعادله 2 بمتتالية الدوال
واجراء التكامل نحصل على
\Large sin\frac{k\pi x}{L}dx=\frac{a_0}{2}\Bigint_0^{2L}\Large sin\frac{k\pi x}{L}dx+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\Bigint_0^{2L}cos\frac{\pi nx}{L}\Large sin\frac{k\pi x}{L} \\ +b_n\Bigint_0^{2L}sin\frac{n\pi x}{L}\Large sin\frac{k\pi x}{L}dx))
وبنفس الحاكيه مع التعامد نحصل على العلاقه الثالثه للمعامل وهي على الشكل
\Large sin\frac{k\pi x}{L}dx)
وهكذا اذا كانت الداله f ممثله بالصيغه رقم 2 وكانت المتسلسله متقاربه بشكل ملائم فان المعاملات a0,bn,an يمكن حسابها بالصيغ المذكوره
والان سنطرح سؤال عكسي يحتاج منا الى اجابه لو امكن حساب المعاملات فهل تتقارب المتسلسله الى الداله f والنظرية التاليه والتي سوف نقدمها دون برهان تعطينا الاجابه
نظرية فوريير الاساسيهلتكن
داله دوريه ودورها L+L وملساء قطعيا علىR فاذا كانت المعاملات an,a0,bn تعطى بالصيغ الثلاث فان المتسلسله في معادله رقم 2 تتقارب الى الداله
+f(x^-)}{2})
اي ان
+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{\pi nx}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}dx))
ملاحظه
تعرف المتسلسله في 2 بكتسلسلة فورييه والمعاملات في الصيغ بمعاملات فورييه
يمكن استبدال الفتره من صفر الى L بالفتره [c,c+L] وفقط تغيير حدود التكامل في الصيغ بالحدود الجديده
مثال
اوجد مفكوك فورييه للداله
=x ,\ 0<x<2L \ and \ f(x+2L)=f(x))
سوف اورد لكم رسمه في الاسفل
الان نبدأ حساب المعاملات من الصيغ كالتالي
والان اصبح مفكوك فورييه على الشكل
ومن وصل الى هنا اصبح جديرا ان يرى نتيجه مهمه جدا لايجاد قيمه تقريبيه لاحد اهم الاعداد وهو باي
نتيجه
تقترب المتسلسله التاليه ومجموعها يساوي
^{n-1}}{2n-1}=\frac{\pi}{4})
البرهان
باختيار x=L/2 في التمثيل السابق للداله x نحصل على ان
^{n-1}}{2n-1})
ومن يحلم بمثل هذه النتيجه بدون فوريير
المهم نحن نعرف اننا انتقلنا في احد الخطوات لان
^{n-1}=\sin\frac{n\pi}{2})
عندما تكون n عدد فردي لذلك غيرنا بالصيغه لاختصار الحدود الصفريه والناتجه عن القيم الزوجيه لـ n
اتمنى ان يكون المقال اعجبك
تحياتي لكم
بنروز
