مواضيع

1

الدراسات والتعليم الجامعي / المعادلات التفاضلية 2

« في: أبريل 11, 2006, 03:37:01 صباحاً »

بسم الله الرحمن الرحيم
الان اخواني بعدما تعرفنا على بعض المفاهيم التي تخص المعادلات التفاضلية...يمكننا معرفة انواع
المعادلات التفاضلية .
تنقسم المعادلات التفاضلية من حيث النوع الى سبعة انواع:

1- معادلة فصل المتغيرات Separable D.e:
و في هذه المعادلة يكون من السهل فصل المتغيرات التي تحتوي عليها الدالة ....و بعد فصل المتغيرات يتم اجراء التكامل العادي للحصول على حل المعادلة التفاضلية...
مثال: حل المعادلة التفاضلية التالية y'=2x-1
الحل:
يمكن اعادة صياغة المعادلة على الشكل dy/dx=2x-1
اذا dy=(2x-1)dx
اذا و بالتكامل نحصل على الحل y=x^2-x+c حيث c ثابت التكامل ولا يصح ان ننساه
و يكون الحل حلا عاما (سبق تعريفه)


2- المعادلة المتجانسة Homogeneous D.e :
اولا: نود تعريف تجانس الدالة ...تكون الدالة متجانسة عندما يكون F(x,y)=F(xt,yt)
اي ببساطة بالتعويض عن كل x ب xt و كل y ب yt فإذا ساوت الدالة الاصلية t من المرات
تكون الدالة متجانسة اما غير ذلك فتكون الدالة غير متجانسة

ثانيا: تعريف المتجانسة ...اذا طبق الشرط اعلاه و نجح تكون المعادلة متجانسة

فاذا كانت المعادلة متجانسة فتكون طريقة الحل كالاتي :
نقسم البسط و المقام على اعلى اس موجود في الدالة فنحصل على كسور سواء في البسط او المقام
نعوض عنها بمتغير اخر فنحصل على معادلة تفاضلية ذات ثلاث متغيرات ثم نلاشي متغير منهم بواسطة الاحلال و هو عن طريق ايجاد علاقة بينهم ثم بالتعويض في المعادلة الاصلية نحصل على معادلة فصل متغيرات ثم باجراء التكامل نحصل على الحل ثم نرجع قيمة المتغير الاخر فنحصل على الحل بدلالة x,y و هو المطلوب..(قد يكون الشرح مبهم بعض الشيء لكن بالامثلة سيزول )

مثال: حل المعادلة التفاضلية التالية 2xydy=(x^2-y^2)dx
الحل:
ثم باعادة كتابة المعادلة التفاضلية نحصل على dy/dx=(x^2-y^2)/2xy
بقسمة كل من البسط و المقام على x^2 نحصل على
dy/dx=(1-y^2/x^2)/(2y/x)
كما نلاحظ ان هناك كسر في البسط و المقام و لتبسيط المعادلة نعوض عن هذا الكسر بمتغير اخر و ليكن مثلا z=y/x فيكون شكل المعادلة هو dy/dx=(1-z^2)/2z
و نلاحظ ان المعادلة اصبحت في المجاهيل x,y,z و لتبسيطها نجري الاتي
بما ان z=y/x اذا y=xz ...dy/dx =xdz/dx+z
و من الواضح بالتعويض عن dy/dx في المعادلة نحصل على معادلة في المتغيرين x,z
و تكون على الشكل xdz/dx+z=(1-z^2)/2z
من الواضح يمكن فصل المتغيرات بسهولة
فيكون الناتج علىا لشكل dx/x=2z/(1-3z^2)dz
و باجراء التكامل نحصل على الحل في x,z ثم بالتعويض عن z=y/x
نحصل على الحل بدلالة x,y و هو المطلوب

3- المعادلات الغير متجانسة Non-Homogeneous D.e:
و بالطبع تكون المعادلة غير متجانسة اذا لم يتحقق الشرط F(x,y) not equal F(xt,yt)
 مثال: حل المعادلة التفاضلية التالية dy/dx=(x+y-4)/(2x-y+1)
الحل:
نلاحظ ان الشرط لا ينطبق هنا بدليل لو تم التعويض كما قولنا سنجد ان
dy/dx=(xt+yt-4)/(2xt-yt+1) ولا يمكن ابدا فصل الثابت t من المعادلة و بالتالي ليست معادلة متجانسة
نلاحظ ان الدالة تمثل معادلتي خطين مستقيمين متقاطعين (بايجاد نقطة التقاطع ثم نضيف النقطة الى x,y ثم بالتعويض عنهم في المعادلة تتحول المعادلة الى معادلة متجانسة و تحل بنفس الطريقة)
نقطة التقاطع هي (1,3) ثم بالتعويض عن كل x=x+1 و كذلك عن كل y=y+3 في المعادلة الاصلية نحصل على معادلة متجانسة بدليل dy/dx=(x+y)/(2x-y) (معادلة متجانسة)
بقسمة المعادلة على x نحصل على
dy/dx=(1+y/x)/(2-y/x) ثم بوضع z=y/x نحصل على
dy/dx=(1+z)/(2-z) ثم بالتعويض عن dy/dx من المعادلة اعلاه y=xz
ثم بالتفاضل بالنسبة ل x يكون
dy/dx=xdz/dx+z ثم بالتعويض في المعادلة نحصل على
xdz/dx+z=(1+z)/(2-z) ثم باعادة تظبيط المعادلة نحصل على
x/dx=2z/(1-z-z^2) تمكنا من فصل المتغيرات ثم باجراء التكامل نحصل على الحل

مثال2: حل المعادلة التفاضلية التالية dy/dx=(y-x+1)/(y-x+5).
الحل:
نلاحظ انها معادلة غير متجانسة و ان الدالة تحتوي على معادلتي خطين متوازيين (ليسوا متقاطعين)
اذا هناك طريقة حل اخرى و ليست الطريقة المعتادة التي سبقت
و هي ان نعوض عن الجزء التشابه من المعادلتين بمتغير اخر لتبسيطها كالاتي
نضع z=y-x في المعادلتين و تصبح على الشكل التالي
dy/dx=(z+1)/(z+5)
ثم من المعادلة z=y-x نحصل على dz/dx=dy/dx-1 و منه نحصل على dy/dx=dz/dx+1 ثم بالتعويض في المعادلة نحصل على
dz/dx+1=(z+1)/(z+5) ثم بتظبيط شكل المعادلة نحصل على
dz/dx=-4/(z+5) اذا (z+5)dz=-4dx ثم باجراء التكامل نحصل على الحل
ولاننسى ان نعوض عن قيمة z=y-x (ولاننسى ثابت التكامل عند اجراء التكامل)

2

الدراسات والتعليم الجامعي / المعادلات التفاضلية 1

« في: أبريل 06, 2006, 06:21:35 مساءاً »

بسم الله الرحمن الرحيم
اود ان اتكلم عن فرع الرياضيات العملاق و هو المعادلات التفاضلية Differential Equations و تكتب باختصار D.e
أولا:ما هي المعادلة التفاضلية؟؟؟
هي معادلة تحتوي على دالة و مشتقاتها (باختصار)و غالبا ماتكون الدالة y اذا ما حددت الدالة.على سبيل المثال y'+3y=0 هذه معادلة تفاضلية
ملاحظة هامة جدا:y'=dy/dx لذلك يمكن كتابة المعادلة التفاضلية على الصورة dy/dx+3y=0.
ثانيا: تقسيم المعادلات التفاضلية و تنقسم المعادلات التفاضلية الى قسمين:
1-معادلات تفاضلية عادية:بحيث تكون الدالة y معتمدة على متغير مستقل وحيد بمعنى تصبح الدالة y=y(x(....و بالتالي يكون y'=dy/dx فعلا لان اشتقاق الدالة y يكون اشتقاق كامل لانها لا تعتمد الا على سوا متغير واحد و هو المتغير x ...
2-معادلات تفاضلية جزئية : بحيث تكون الدالة y معتمدة على اكثر من متغير (ممكن متغيرين او ثلاثة.....) و تصبح الدالة y=y(x,t) مثلا و بالتالي يكون y'=\frac(\partial\y)(\partialx) لان هنا يكون التفاضل جزئي و ليس كلي.
ثالثا:تحديد رتبة و درجة المعادلة التفاضلية:
رتبة المعادلة التفاضلية)order of d.e) هي:اعلى اشتقاق موجود في المعادلة التفاضلية..على سبيل المثال
y'+3y=0    y''-y=0     y'''-1=0
فتكون المعادلة الاولى من اليسار هي معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى و المعادلة الثانية من الرتبة الثانية و المعادلة الثالثة تكون من الرتبة الثالثة (لانه من الواضح لان المعادلات الثلاثة تحتوي على المشتقة الاولى و الثانية و الثالثة على الترتيب).
درجة المعادلة التفاضلية (degree of d.e):هي اعلى اس لاعلى اشتقاق موجود في المعادلة التفاضلية...على سبيل المثال
y'^2+5=0       y''^3+y'=-1        y''^2+y'^4-y=0
و يكون تصنيف المعادلات التفاضلية كالتالي (من ناحية اليسار) الماعداة الاولى هي معادلة من الدرجة الثانية و الرتبة الاولى..و الثانية هي معادلة من الدرجة الثالثة و الرتبة الثانية...و المعادلة الثالثة هي معادلة من الدرجة الثانية و الرتبة الثانية.
رابعا:حل المعادلات التفاضلية؟!
هناك انواع كثيرة من الحلول للمعادلات التفاضلية ولكن عموما حل المعادلة التفاضلية هو عبارة عن دالة y(x) بحيث تحقق المعادلة التفاضلية.

الحل العام general solution:و هو حل تكون فيه جميع الثوابت مجهولة (ثوابت التكامل)....على سبيل المثال y=x+c حيث c اي ثابت arbitrary constant
الحل الجزئي particular solution:
هو حل تكون صيغته مأخوذة من صيغة الحل العام و ذلك بالتعويض عن قيمة الثوابت....على سبيل المثال  y=x+5 حيث تم وضع الثابت c=5 فأصبح الحل حلا جزئيا
الحل الرقمي Numerical solution:
هو حل يعتمد على طرق التحليل المعروفة real analysis methods
الحل الوحيد Singular solution:
هو حل غير مأخوذ من الحل العام او تم الحصول عليه بطرية تقليدية و انما قد يكون بطريقة التخمين او بطرية ما اخرى

بعض المساعدات في المعادلات التفاضلية:
1- مسائل القيم الابتدائية Initial-value problem (I.V.P)
يمكن اطلاق هذا الاسم على المعادلة التفاضلية اذا كانت جميع الشروط الابتدائية للمسألة عند قيمة واحدة للمتغير المستقل ...على سبيل المثال....حل المعادلة التفاضلية الاتية   y'+2y=0 عندما y(0)=1 , y'(0)=0
نلاحظ في هذا المثال ان الشروط الابتدائية كلها عند x=0 لذلك يطلق اسم I.V.P على هذا المثال

2- مسائل القيم المحدودة Boundary-value problem B.V.P
حيث تكون الشروط الابتدائية للمعادلة التفاضلية او المسالة عند قيم مختلفة للمتغير المستقل....على سبيل المثال   حل المعادلة التفاضلية التاليه  y'+2y=0 عندما y(0)=1 , y(1)=0
نلاحظ هنا ان الشروط الابتدائية عند x=0,1 لذلك يطلق اسم B.V.P على هذا المثال
وذلك لان المثال اصبح محصور بين قيمتين للمتغير بمعنى انه اصبح محدود

3- النوعين 1 و 2 يمكن اطلاق اسم مسائل كوشي cauchy problems
و هذه النوعية من المسائل تعرف بمجرد النظر وذلك بمجرد رؤية الشروط الابتدائية اي هي باختصار المسائل التي تكون محكومة بشروط (و لها تفسير اخر في الدروس المقبلة ان شاء الله)
 ملحوظة هامة جدا:
فيما تستخدم الشروط الابتدائية؟؟؟
تستخدم الشروط الابتدائية في ايجاد الحل الجزئي particular solution
حيث بعد ايجاد الحل العام general solution نجد ان هناك ثوابت غير معرفة (غير معلوم قيمتها) لذلك يمكن التعويض بقيمة المتغيرين x,y ثم نوجد قيمة الثابت بكل سهولة

الى المقال القادم ان شاء الله سوف نتناول كيفية حل المعادلات التفاضلية بانوعها المختلفة