السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً بأخى الكرم أبو يوسف
بفرض أن ع , س , ص هما أطوال أضلاع المثلث المطلوب
حيث ع > س > ص & سَ , صَ هما المعكوسان الرقميان للعددان س , ص على الترتيب على الترتيب ,
ع = س × صَ - ص × سَ
س + ص + ع < 396
***** :
وبفرض أن س = أ + 10 ب & ص = جـ + 10 ء
فإن سَ = ب + 10 أ & صَ = ء + 10 جـ
ع = س×صَ – ص × سَ
= (أ + 10 ب )(ء + 10 جـ) – ( جـ + 10 ء)(ب + 10 أ)
= 99 ب جـ - 99 أ ء
= 99( ب × جـ - أ × ء ) وهو من مضاعفات العدد 99
ملاحظة : إذا كان س أو ص مكون من أكثر من رقمين سوف نصل لنفس النتيجة
أما فى حالة أحدهم مكون من رقم واحد فقط ( وإن كان لم يخطر ببالى حين وضع المسألة ربما لأن مفهوم المعكوس هنا ليس ذا قيمة ) فقد بحثها الأخ ساكن الأفق
***** :
وحيث أن محيط المثلث لا يزيد عن 396
فأكبر الأضلاع (ع) < 198
وعلى ذلك فإن ع = 99
هوالمضاعف الوحيد الذى يحقق الشرط السابق
( يهمل إحتمال أن تكون س أو ص مكون من أكثر من رقمين لكون العدد الأكبر 99)
فيجب أن يكون المقدار ( ب × جـ - أ × ء ) = 1
وهو الفرق بين :
(عشرات س × أحاد ص ) & ( أحاد س × عشرات ص)
وببحث جميع الإمكانيات لقيم س , ص نحصل على 46 حل مختلف يحقق الشرط السابق . هم :
مرتبة حسب قيم س التصاعدية بالزوج المرتب ( س , ص)
( 21 , 11) , (23 , 12) , (25 , 13) , (27 , 14)
(29 , 15 ) , (31 , 21 ) , (32 , 11 ) , (34 , 23 )
(35 , 12) , (37 , 25 ) , (38 , 13) , (41 , 31 )
(43 , 11 ) , (45 , 34 ) , (47 , 12 ) , (49 , 37 )
(51 , 41 ) , (52 , 21 ) , (53 , 32 ) , (54 , 11 )
(56 , 45 ) , (57 , 23 ) , (58 , 35 ) , (59 , 12 )
(61 , 51 ), (65 , 11 ) , (67 , 56 ) , (71 , 61 )
(72 , 31 ) , (73 , 21 ) , (74 , 53 ) , (75 , 43 )
(76 , 11 ) , (78 , 67 ) , (79 , 34 ) , (81 , 71 )
(83 , 52 ) , (85 , 32 ) , (87 , 11 ) , (89 , 78 )
(91 , 81) , (92 , 41 ) , (94 , 21 ) , (95 , 74 )
(97 , 54 ) , (98 , 11 )
***** :
ومن متباينة المثلث س + ص > ع
وبالبحث نجد أنه يوجد 19 حل لا غير
تصلح لتحقيق المتباينة السابقة وهى مرتبة مجموع س + ص
(56 , 45 ) , (72 , 31 ) , (98 , 11 ) , (61 , 51 )
(79 , 34 ) , (94 , 21 ) , (85 , 32 ) , (75 , 43 )
(67 , 56 ) , (74 , 53 ) , (71 , 61 ) , (92 , 41 )
(83 , 52 ) , (78 , 67 ) , (97 , 54 ) , (81 , 71 )
(89 , 78 ) , (95 , 74 ) , (91 , 81)
*****:
ولكى يكون محيط المثلث أصغر ما يمكن
يجب أن تكون س + ص أصغر ما يمكن
وبالبحث نجد أنه يوجد إحتمال وحيد يحقق الشرط السابق
هو
س= 56 & ص = 45 وعندها يكون محيط المثلث المطلوب أصغر ما يمكن
س + ص + ع = 56 + 45 + 99 = 200
نصف الحيط ح = 100
ح – س = 44
ح – ص = 55
ح – ع = 1
مربع مساحة المثلث = 100 × 44 × 55 × 1
مساحة المثلث = 220 × الجذر التربيعى للعدد 5
شاكرين للجميع حسن متابعتكم
