أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 11, 2003, 09:05:42 صباحاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
المعادلات المثلثية
نقول عن معادلة أنها معادلة مثلثية إذا كانت تحوي في أحد طرفيها على نسبة مثلثية واحدة أو أكثر
وتنقسم المعادلات المثلثية إلى عدة أنواع
1) معادلات النوع الأول البسيطة ( وهي التي تحوي نسبة مثلثية واحدة فقط )
2) معادلات النوع الثاني ( وهي التي تحوي على نسبتين مختلفتين أو أكثر
3) معادلات النوع الثالث ( وهي كل معادله لا تندرج تحت سقف النوع الأول أو الثاني )
سنقوم بعون الله وتوفيقه بتوضيح النوع الأول والثاني بإسهاب ونأمل أن تكون المشاركات والاستفسارات
ضمن ما يرد وبالترتيب وكلنا أمل أن يكون هذا الموضوع نواة لتغطية المعادلات المثلثية وبمشاركة كافة الأعضاء
على بركة الله نبدأ
1) معادلات النوع الأول البسيطة ( وهي التي تحوي نسبة مثلثية واحدة فقط )
وهنا نذكر بحلول بعض المعادلات الشهيرة
حا س = 0 ـ س = ك × p أيضا جا س = 1 ـ س = p /2 + ك × 2 p أيضا حاس = -1 ـ س = - p /2 + ك × 2 p
حتا س = 0 ـ س = p /2 + ك × p أيضا جتا س=1 ـ س = ك × 2 p أيضا جتا س = -1 ـ س = p + ك × 2 p
ظا س = 0 ـ حاس = 0 ـذكر سابقا
ظاس = 1 ـ س = p /4 + ك × p
ظا س = - 1 ـ س = 3 p /4 + ك p
وبالمقابل طتا س = 1/ ظا س
وكل معادلة تحوي طتا يمكن تحويلها إلى ظا س بالعلاقة السابقة
ظتا س = 0 ـ جتا س = 0 وقد تم ذكره
ظتا س = ± 1 ـ س = ± p /4 + ك p
ويحل هذا النوع من المعادلات المثلثية إما مباشرة أو بردها إلى معادلة جبرية بسيطة
دائما سنفرض أن
ك ' ص ( مجموعة الأعداد الصحيحة )
ونقصد بالرمز ( ك × 2 p ) عدد صحيح من الدورات
مثال1:
2 حتا س = 1 الحل :
ـ جتا س = ½ ـ جتا س = جتا p /3 ـ س = ± p /3 + ك × 2 p وواضح أن للمعادلة حلان
أو يكون الحل بشكل جبري 2 جتا س = 1 نفرض أن حتا س = ص ونعوض فنجد
2 ص = 1 ـ ص = ½ ـجتا س = ½ ونتمم مثل ما سبق
مثال2 :
حل المعادلة المثلثية :
جا2 س - جا س - 2 = 0
نفرض جا س = ص فتصبح المعادلة ( ص2 - ص - 2 = 0 )
وبالتحليل المباشر ترد ( ص - 2 ) ( ص + 1 ) = 0
إما ص = 2 ـ جا س = 2 وهذا مرفوض لأن جا س ' [ - 1 ، + 1 ]
أو ص= - 1 ـ حا س = -1 ـ س = - p /2 + ك × 2 p
مثال3 : 2 حا 2 س - 1 = 0
حا س = ± 1 / /\ 2 ـ س = ± p /4 + ك × 2 p ، س = p ± p /4 + ك × 2 p
نأمل أن نكون قدمنا ما هو مفيد ويليه إن شاء الله معادلات النوع الثاني
التحية للجميع
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 11, 2003, 02:59:03 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
تذكرة لابد منها
حا س = حا يه ـ س = يه + ك × 2 p أو س = p - يه + ك × 2 p
جتا س = جتا يه ـ س = ± يه + ك × 2 p
طا س = طا يه ـ س = يه + ك × p
ظتا س = ظتا يه ـ س = يه + ك × p
2) معادلات النوع الثاني الغير بسيطة
نقول عن معادلة أنها من النوع الثاني فيما إذا كانت تحوي على نسبتين مختلفتين أي فيما إذا كانت
المعادلة المثلثية من الشكل : د ( حا س ، جتا س ) = 0
ولحل هذا النوع من المعادلات لا بد من ارجاعها إلى معادلة من النوع الأول ثم إلى معادلة جبريه
ولإرجاعها إلى معادلة من النوع الأول نتبع أحدى الطرق الثلاث التاليه :
1) إذا بدلنا كل س بـ - س ولم تتغير المعادلة عندئذ ترد إلى معادلة من النوع الأول د( جتا س ) = 0
2) إذا بدلنا كل س بـ p - س ولم تتغير المعادلة عندئذ ترد إلى معادلة من النوع الأول د( جا س ) = 0
3) إذا بدلنا كل س بـ p + س ولم تتغير المعادلة عندئذ ترد إلى معادلة من النوع الأول د( ظا س ) = 0
4) إذا لم تنطبق جميع الحالات السابقة عند ئذ نلجأ إلى الطريقة العامة أو الطريقة الجبرية :
وهي على مرحلتين :
أ ) نتأكد هل س = p + ك × 2 p حل لها فإذا كان حلا فنقول إنها مجموعة أولى من الحلول وإذا لم تتحقق فنقول إن س = p ليست حلا
ب) نفتش عن الحلول التي من أجلها س ¹ p + ك × 2 p أي نبدل في المعادلة
حا س بـ 2ع / 1 +ع2
حتا س بـ 1 - ع2/1 + ع2
طاس بـ 2 ع/1 - ع2
ظتا س بـ 1 - ع2/ 2 ع
فترد المعادلة إلى معادلة جبرية مه العلم أن ع = ظا ( س/2 )
ملاحظة عند تطبيق الحالة العامة ينتج في بعض الأحيان معادلة من الدرجة الرابعة من الصعب حلها لذلك لا نلجأ للحالة العامة غالبا
طريقة حل المعادلات من النوع الثاني ( الغير بسيطه )
1) نجعل الطرف الأيسر =0
2) نحول طرفها الأيسر إلى أقواس مضروبة ببعضها البعض أما بإخراج عامل مشترك أو بوساطة الدساتير المثلثية
3) نطبق الخاصة الصفرية ( إما الأول صفر أو الثاني=0 أو الثالـــــــث ..................
أمثلة :
1) حل المعادلة : ظاس = حا س هنا شرط الحل س ¹ p /2 + p × ك
المعادلة تصبح بعد تحويل ظا س ـ حا س ( جتا س ) = حا س
حاس حتا س - حا س = 0 ـ حا س ( حتا س - 1 ) = 0
إما حا س = 0 ـ س = p × ك
أو جتا س - 1 = 0 ـ جتا س = 1 ـ س = ك × 2 p
2) حل المعادلة :
جا2 2س = حا2 س
جا2 2س - حا2 س =0
( جا2س - جا س ) (جا 2س + جا س ) = 0
2×جتا(3س/2) جا(س/2)× 2 × جا (3 س/2) جتا (س/2) = 0
جتا(3س/2) جا(س/2)× جا (3 س/2) جتا (س/2) = 0
إما جتا(3س/2) =0 ـ 3س/2 = p /2 + ك × p
ـ س = p /3 + 2/3 p ك
أو جا(س/2) =0 ـ س/2 =ك×p ـ س = 2 p × ك
أو جا( 3س/2) = 0 ـ س = 2/3 p ك
أو جتا( س/2 ) = 0 ـ س = p + ك × 2 p
وهنالك ثلاث حالات شهيره من المعادلات
الأولى : من الشكل ب جتا س + حـ جا س + د = 0
الثانيه : من الشكل ب جتا2 س + حـ حا2 س + د جا س × جتا س + هـ = 0
الثالثة وهي من الشكل : ب جا س × جتا س ± حـ ( حا س ±جتا س ) ± د = 0
حيث كل من ب ، حـ ، د ، هـ أعداد حقيقية معلومة
وسنقوم لاحقا بشرح كل واحدة على انفراد
التحية لجميع
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 11, 2003, 08:49:46 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
المعادلة ب جتا س + حـ جا س + د = 0 حيث ب × حـ ¹ 0
إن الطرف الأول من هذه المعادلة عبارة خطيه ( من الدرجة الأولى ) في جتا س و حا س وتحل وفق الخطوات التالية :
1) نقسم طرفي المعادلة على /\ ب^2 + حـ^2 فنجد :
( ب/ /\ ب^2 + حـ^2 ) جتا س + ( حـ / /\ ب^2 + حـ^2 ) جا س = ( د/ /\ ب^2 + حـ^2 )
2) نفرض جتا يه = (ب/ /\ ب^2 + حـ^2 ) ، جا يه = ( حـ/ /\ ب^2 + حـ^2 ) وبالتبديل في المعادلة :تصبح :
جتا س جتا يه + جا س جا يه = ( د/ /\ ب^2 + حـ^2 )
جتا ( س - يه ) = ( د/ /\ ب^2 + حـ^2 )
فإذا كان المقدار ( د/ /\ ب^2 + حـ^2 ) ' [ - 1 ، + 1 ] فرضناه جتا عه وإلا فإن المعادلة ليس لها حل في ح
وتصبح المعادلة على الشكل : جتا ( س-يه ) = جتا عه ـ مجموعة حلولها هي
س - يه = ± عه + ك × 2 p ـ س = يه ± عه + ك × 2 p
ملا حظة هامة
إن الشرط ( د/ /\ ب^2 + حـ^2 ) ' [ - 1 ، + 1 ] قـ -1 ³ ( د/ /\ ب^2 + حـ^2 ) ³ + 1
وهو يكافئ د2 ³ ب2 + حـ2 وهو شرط حل هذه المعادلة
مثال1: حل المعادلة : /\ 3 جتا 3س - جا 3س = /\ 2
نحسب /\ ب^2 + حـ^2 = /\ 3 + 1 = 2 نقسم حدود المعدلة على 2 ونتابع
( /\ 3 /2) جتا 3س -( 1/2) جا 3س = /\ 2 / 2
جتا 30 جتا 3س - جا30 جا 3س = /\ 2 /2
جتا(3س + 30) = جتا 45 وهنا أخذنا الدرجات لسهولة الكتابة
3س + 30 = ± 45 + ك × 360 ـ س = - 10 ± 15 + ك × 120
مثال2: ناقش حسب قيم المتحول هـ الحقيقية وجود حلول للمعادلة ثم حل المعادلة من أجل هـ = 1
هـ جتا س + /\ 2 هـ + 1 جا س = 1
بداية يجب أن يكون ما تحت الجذر £ 0
2 هـ + 1 £ 0 ـ هـ £ ( - 1/2)
ننتقل لشرط وجود حل للمعادلة وهو ب2 + جـ2 £ د2
هـ2 + 2 هـ + 1 £ 1 ـ هـ2 + 2 هـ £ 0
نبحث عن حلول هذه المتراجحة هـ ( هـ + 2 ) £ 0 وهي
هـ ' ] - ¥ ، - 2 ] ب [ 0 ، + ¥ [
وبالتالي هـ ' [ 0 ، + ¥ [ وهي مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتحول هـ ليكون للمعادلة حل
والآن من أجل هـ = 1 نعوض في المعادلة لتصبح : ـ جتا س + /\ 3 حا س = 1
نوجد /\ ب^2 + حـ^2 = /\ 1 + 3 = 2 ونقسم طرفي المعادلة على 2
(1/2) جتا س + ( /\ 3 /2 ) حا س = ( 1/2 )
حتا 60 جتا س + حا 60 جا س = جتا 60
جتا ( س - 60 ) = جتا 60 ـ س - 60 = ± 60 + ك × 2 p وهي مجموعة الحلول المطلوبة
وبعونه تعالى وتوفيقه سنتابع الشكل الثاني ونرجو أن يكون ما ورد مفيدا
التحية للجميع
أرسل بواسطة: السفير في أكتوبر 11, 2003, 08:52:16 مساءاً
شكرا لك أستاذي الفاضل على هذه الدروس القيّمة , والتي من فوائدها أيضا أنها ستثري معرفتي للرموز العربية في الرياضيات .
تحياتي ..
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 12, 2003, 11:39:27 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
المعادلة من الشكل ب جتا2 س + حـ حا2 س + د جا س جتا س = هـ علما ب × حـ ¹ 0 و د ¹ 0
نحاول تخفيض الدرجة من الثانية للأولى باستخدام العلاقات المثلثية :
2 جتا2 س = 1 + جتا 2 س
2 جا2 س = 1 - جتا 2 س
2 جا س جتا س = حا 2 س
بعد التعويض ترد المعادلة إلى الشكل بَ جتا 2 س + حـَ جا 2 س = دَ وهذا الشكل سبقت دراسته
مثال1: حل المعادلة 2 حتا2 س + حا2 س - حا س حتا س = 2
1 + جتا 2 س + ( 1 - جتا 2 س ) / 2 - ( حا 2 س ) / 2 = 2
جتا 2 س - جا 2 س = 1 وهي الشكل الأول وترد إلى
( 1 / /\ 2 ) جتا 2 س - ( 1 / /\ 2 ) حا 2 س = ( 1 / /\ 2 )
حتا 45 جتا 2 س - حا 45 جا 2 س = جتا 45
جتا ( 2 س + 45 ) = جتا 45
2 س + 45 = ± 45 + ك × 360
س = - 22.5 ± 22.5 + ك × 180 وهي تمثل مجموعات الحلول الممكنة للمعادلة
من المفيد أن نلاحظ ونستنتج دوما ومباشرة المعادلتان وهما شهيرتان
حتا س - جا س = /\ 2 جتا ( س + 45 )
جتا س + جا س = /\ 2 جتا ( س - 45 )
مثال2 عين قيم المتحول هـ الحقبقبة ليكون للمعادلة حل ثم أوجد مجموعة الحلول من أجل هـ = /\ 3
( /\ 3 - هـ ) جا2 س + ( /\ 3 + هـ ) جتا2 س = 2 حا س جتا س
نصلح المعادلة ونجمع الحدود على الشكل
/\ 3 ( حا2 س + حتا2 س ) + هـ ( جتا2 س - جا2 س ) = حا 2 س
/\ 3 + هـ جتا 2 س = حا 2 س
هـ جتا 2 س _ جا 2 س = - /\ 3
شرط الحل مربع أمثا ل جتا + مربع أمثال حا £ مربع الطرف الثاني ـ هـ2 + 1 £ 3
هـ2 £ 2 ـ - 2 £ هـ £ + 2
ومن أجل هـ = /\ 3 تصبح المعادلة :
/\ 3 جتا 2 س - جا 2 س = - /\ 3
نقسم الطرفين على /\ 3 + 1 = 2 لتصبح
جتا 30 جتا 2 س - جا 30 حا 2س = جتا 150
جتا (2 س + 30 ) = جتا 150 ـ 2 س + 30 = ± 150 + ك × 360 ـ س = - 15 ± 75 + ك × 180
ويليه إن شاء الله الشكل الثالث نتمنى أن لاتكون هنالك أخطاء مطبعيه وأن يكون ما قدمناه مفيدا
التحية للجميع
أرسل بواسطة: المغوار في أكتوبر 13, 2003, 12:26:26 صباحاً
وأتمنى أن تقدم لنا كل مالديك في هذا الموضوع .
أرسل بواسطة: ابو الحروف في أكتوبر 13, 2003, 12:47:11 صباحاً
بارك الله بك استاذي الفاضل عسكر...
وجعل ذلك في موازين حسناتك...
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 13, 2003, 06:51:17 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الأخوة الأكارم السفير - المغوار - أبو الحروف . . . حياكم الله وبارك بكم ونرجوا المساهمة من الجميع
والكل مدعوون جميعا دون استثناء
لإغناء الموضوع بذكر بعض المعادلات التي فيها اشكال مع حلها ليكون مرجعا متكاملا للمعادلات المثلثيه
و على بركة الله نتابع بالمعادلة من الشكل :
ب( جتا س ± حا س ) + حـ حا س جتا س = د حيث ب × حـ ¹ 0
لحل هذا الشكل من المعادلات التي تضم في ثناياها
جتا س + حا س أو جتا س - جا س نعوض بقيمتها وهي /\ 2 جتا ( س ± 45 )
والآن نفرض س + 45 = ع أو س - 45 = ع
وبالتبديل في المعادلة نحصل على معادلة جبرية من الدرجة الثانية في جتا ع أو جا ع يمكن حلها بالطرق الجبرية المألوفة
مثال1 : 2 ( جتا س - حا س ) + حا س جتا س = 2
جتا س- حا س = /\ 2 جتا ( س + 45 )
نفرض ( س + 45 ) = ص ـ س = ص - 45 أو [ س + p /4 = ص ] ـ س = ص - p /4
نبدل في المعادلة تصبح
2 /\ 2 جتا ص + 1/2 حا 2 ( ص - 45 ) = 2 ـ
2 /\ 2 جتا ص - 1/2 جتا 2 ص = 2 ـ
2 /\ 2 جتا ص - 1/2 ( 2 جتا2 ص - 1 ) = 2 ـ
حتا2 ص - 2 /\ 2 جتا ص + 3/2 = 0 وهي معادلة جبرية مميزها = 2 وبالتالي إما
جتا ص = ( 2 /\ 2 + /\ 2 ) / 2 = 3/2 /\ 2 ـ جتا ص > 1إذن لا يوجد حلول
أو جتا ص = ( 2 /\ 2 - /\ 2 )/2 = /\ 2 /2
جتا ص = جتا 45 ـ ص = ± 45 + ك × 360 ـ
س = ± 45 - 45 + ك × 360 وهي مجموعة الحلول للمعادلة المفروضة
مثال2: 1/2 ( جتا س + حا س ) = /\ 2 حا س جتا س
/\ 2 / 2 جتا ( س - 45 ) = /\ 2 / 2 جا 2 س
جتا ( س - 45 ) = جا 2 س وهنا الحل بالطريقة السابقة أو
حتا ( س - 45 ) = جا 2 س = جتا ( 90 - 2 س ) ـ س - 45 = ± ( 90 - 2 س ) + ك × 360
إما 3 س = 135 + ك × 360 ـ س = 45 + ك × 120
أو - س = - 45 + ك × 360 ـ س = 45 - ك × 360
نتمنى أن يكون ما ورد مفيدا وسنتابع إن شاء الله ببعض المعادلات بعضها يندرج تحت سقف ما ورد سابقا وبعضها مختلف
ولكثرة الرموز حاولنا قدر الامكان تجنب الأخطاء و إن ورد فهو سهو وأرجو المعذرة والتصحيح ومشكورين
التحية للجميع
أرسل بواسطة: الخالد في أكتوبر 13, 2003, 11:11:33 مساءاً
مجهود أكثر من رائع
بارك الله فيك استاذنا الكريم
تحياتي
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 13, 2003, 11:20:16 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الشكر للجميع ونتمنى التواصل . .
طبعا يمكن حل المعادلات بأساليب أخرى فمثلا يمكن أن نتمكن من سلوك طريق أسهل في الحل
مثال:جتا2 س + /\ 3 حا 2 س = 2 جتا س + جا2 س
يمكن أن نفكر بتخفيض الدرجة وقد مر ذكره ويمكن أن يكون الحل على الشكل التالي:
جتا2 س - جا2 س + /\ 3 حا 2 س = 2 حتا س
جتا 2 س + /\ 3 جا 2 س = 2 جتا س ( نقسم الطرفين على 2 )
1/2 جتا 2س + /\ 3 /2 جا 2 س = جتا س ـ جتا ( 2 س - 60 ) = جتا س
2 س - 60 = ± س + ك × 360 ـ
إما س = 60 + ك × 360 أو س = 20 + ك × 120
التحية للجميع
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 14, 2003, 06:21:03 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حل المعادلة: حا3 س + 3 جتا3 س + حا س = 0
وهي لاتنطبق عليها الحالات التي وردت سابقا
نلاحظ أن س = 90 + ك × 180 ليست مجموعة من الحلول لها نقسم طرفي المعادلة على جتا3 س
ظا3 س + 3 + حا س / جتا3 س = 0 ـ ظا3 س + 3 + ظا س ( 1 + ظا2 س ) = 0
2 ظا3 س + ظا س + 3 = 0 ـترد إلى معادلة جبرية ص = ظا س ـ 2 ص3 + ص + 3 = 0 وبملاحظة أن ص = - 1 حل لها
( ص + 1 ) ( 2 ص2 - 2 ص + 3 ) = 0
القوس الثاني مميزه = - 20 سالب ليس له جذور ( أصفار)
ص = - 1 ـ ظا س = - 1 = ظا - 45 ـ س = - 45 + ك × 180 وهي مجموعة وحيدة من الحلول
لاحظ المثال التالي حل المعادلة: حا3 س + 3 جتا3 س - حا س = 0
نلاحظ أن س = 90 + ك × 180 مجموعة من الحلول لها نقسم طرفي المعادلة على جتا3 س فنقول أن هذه مجموعة أولى من الحلول ونتابع كما فعلنا في السابق لتنتج باقي الحلول
مثال 2 :حل المعادلة جا3 س + جتا3 س = جا س
يمكن الحل كما ورد سابقا أو يمكن كتابته على شكل جداء عوامل :
جا س ( 1 - جتا2 س ) + جتا3 س = جا س
جا س - جا س جتا2 س + جتا3 س = جا س
جا س جتا2 س + جتا3 س = 0
جتا2 س ( جتا س _ جا س ) = 0 نطبق الخاصة الصفريه إما الأول = 0 أو الثاني = 0
جتا2 س = 0 ـ س = 90 + ك × 180
أو جتا س - جاس = 0 ـ وقد مر المشابه أكثر من مرهـ الحلول
التحية للجميع
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 15, 2003, 10:32:27 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مثال حل المعادلة : حتا (س/3 ) - جا ( س/2) + 2 = 0
هي دعوة للجميع لطرح تمارين ومسائل تصب في اطار المعادلات المثلثية وإراد حلها بعد عدة أيام عسى يكون فيها فائدة
& § التحية للجميع § &
أرسل بواسطة: ابو يوسف في أكتوبر 15, 2003, 11:53:41 مساءاً
جزاك الله كل خير اخي الكريم عسكر
هل يمكن وضع الرموز بالانجليزية؟
حيث تواجهني صعوبة في فهم الرموز بالعربية
على الاقل معاني جتا وجا وغيرهما
وشكرا لكم
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 16, 2003, 06:03:26 صباحاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أشكرك أخي الغالي أبو يوسف
جا س = sin x ، جتا س = cos x وقد جرت العادة أن ترمز هكذا في المناهج المدرسية
وكذلك ظا س = Tan x ، ظتا س = Cotn x = 1/ Tan x
وعلى هذا تكون المعادلة على الشكل:
cos (x/3) - sin ( x/2) + 2 = 0
&
§ التحية للجميع § &
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 18, 2003, 06:41:03 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
في ما سبق تم ذكر حل المعادلات المثلثية من الأشكال التالية الخاصة :
1) Cos x = ± 1 ق x = ?
2) Cos x = 0 ق x = ?
3) Sin x = ± 1 ق x = ?
4) Tan x = ± 1 ق x = ?
5) Tan x = 0 ق x = ?
6) Cotn x = ± 1 ق x = ?
7) Sin x = Sin q ق x = ?
8) Cos x = Cos q ق x = ?
9) Tan x = Tan q ق x = ?
10) Cotn x = Cotn q ق x = ?
أيضا تم ذكر طرق حل المعادلات من الأشكال :
1) a Cos x ± b Sin x = c
2) a Cos2x + b Sin2 x + c Cos x . Sin x = d : a. b ¹ 0 , c ¹ 0
3) a ( Cos x ± Sin x ) ± b Sin x . Cos x = c : a . b ¹ 0
4) تم ذكر معادلات لاتندرج تحت سقف ما ذكر مع حلها و ننتظر المشاركة والتنشيط من الجميع
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 22, 2003, 05:32:58 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مثال حل المعادلة : حتا (س/3 ) - جا ( س/2) + 2 = 0
هنا ملاحظة أساسيه وهي أن ينصب اهتمامنا على توحيد الزوايا نحول الزوايا لــ (س/6)
على أمل أن نجد التفاعل ؟ ! ؟ ! ؟ !
أرسل بواسطة: عسكر في أكتوبر 24, 2003, 11:34:00 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حتا (س/3 ) - جا ( س/2) + 2 = 0
يبدو أن المتابعون قليلون والمهتمين أقل مبارك قدوم الشهر المبارك على الجميع ونتمنى الخير والبركة للجميع وأخيكم يطلب الدعاء منكم والمسامحة
س/3 = 2 ( س/6 ) ’ س/2 = 3 ( س/3 ) بالتحويل
حتا(س/3) = 1 - 2 حا2 (س/6) و جا(س/2) = جا(3س/6) = 3 جا(س/6) - 4 جا3 (س/6) نعوض في المعادلة
1 - 2 حا2 (س/6) - [ 3 جا(س/6) - 4 جا3 (س/6) ] + 2 = 0
4 جا3 (س/6) - 2 جا2 (س/6) - 3 جا (س/6) + 3 = 0
وهنا نلاحظ أن جا (س/6) = - 1 هو حل للمعادلة ( يمكن أن تحول إلى معادة جبرية افرض جا س/6 = ص )
[ جا (س/6) + 1 ] [ 4 جا2 (س/6) - 6 جا(س/6) + 3 ] = 0
القوس الثاني مميزه سالب ليس له جذور ( أصفار)
جا (س/6) = - 1ـ س/6 = 3 p /2 + ك × p
س = 9 p + ك × 6 p
أرسل بواسطة: عسكر في نوفمبر 01, 2003, 09:50:53 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اوجد قيم ل الحقيقية ليكون للمعادلة حل ثم حل المعادلة من أجل ل = 3/2
ل /\ 2 ( جتا س + جا س ) + 2 حا س جتا س = 7 - 4 ل
المعادلة ذاتها
a \/ 2 ( cos q + sin q ) + 2 sin q cos q = 7 - 4 a
أرسل بواسطة: عسكر في نوفمبر 11, 2003, 09:21:25 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الاقبال بطيء رغم المشاهدات الكثيرة وإني أتـساءل أأتابع أم أتوقف ( المشكلة في الرموز ؟ في الموضوع ؟ في .. ؟
المعادلة المذكوررة من النوع الثالث الذي مر سابقا اذا اتبعنا الخطوات التي تم ذكرها مسبقا نجد
نجد ل ' [ 1 ، 3 ]
مثال آخر حل المعادلة
جا4 س + جتا4 س = 1/8 جتا 2س + /\ 3 /8 جا 2س + 3/4
أرسل بواسطة: الخالد في نوفمبر 11, 2003, 09:57:13 مساءاً
تابع بارك الله فيك ..
التفاعل ليس مقياس .. فرأيي أن الموضوع يعد مرجع رائع ونقلة نوعية وجميلة في اسلوب طرح الدروس التعليمية.
تم تثبيت الموضوع.
تحياتي
أرسل بواسطة: عسكر في نوفمبر 14, 2003, 08:58:18 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الشكر لك استاذ خالد مع خالص الحب والتقدير
بصورة عامة دائما ينصب الاهتمام على تخفيض درجة المعادلة المثلثية
ومن ثم توحيد الزوايا وردها الى أحد الأشكال السابقة أو يمكن حلها بطرق مختلفة مثلا :
مع ملاحظة أن : ( ب2 + حـ2 ) 2
= ب4 + حـ4 +2 ب2 حـ2 ـ ب4 + حـ4 = ( ب2 + حـ2 ) 2 - 2 ب2 حـ2
وبالمقارنة نجد :
حا4 س + حتا4 س = 1 - 2 حا2 س حتا2 س ـ بالتعويض في المعادلة السابقة تصبح :
1 - 2 حا2 س حتا2 س = 1/8 جتا 2س + /\ 3 /8 جا 2س + 3/4 نضرب الطرفين بــ 4 فتصبح المعادلة على الشكل :
1 - 2 ( 2 حا س حتا س )2 = 1/2 حتا 2س + /\ 3 /2 حا 2س
حتا 4س = جتا ( 2س - 60 )
1 - 2 حا2 2س = حتا 60 حتا 2س + حا 60 حا 2س ـ
4س = ± ( 2 س - 60 ) + ك × 360 : ك عدد صحيح
ملاحظة : فيما إذا كانت المعادلة تحوي :
جتا4 س - جا4 س = ( جتا2 س)2 - ( حا2 س )2 = ( جتا2 س + جا2 س ) ( جتا2 س - جا2 س ) = جتا 2س نعوض في المعادلة
لقد درجنا على ذكر معادلات لا تندرج تحت سقف الأشكال السابقة الذكر
والتي وردت طريقة لحلها وهي ليست وحيدة ونتمنى أن يشارك الأعضاء بما لديهم في هذا المجال
حل المعادلة المثلثية التالية :
2 جتا2 س - 2 جتا2 2س + جتا 2س + جتا 4س - 1 = 0
أرسل بواسطة: محمد شكري الجماصي في نوفمبر 14, 2003, 09:30:56 مساءاً
أرسل بواسطة: عسكر في نوفمبر 16, 2003, 07:04:22 مساءاً
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا للأخ الأستاذ محمد عميد منتدى الرياضيات وشهادتك وسام نعتز به
حل المعادلة المثلثية التالية :
2 جتا2 س - 2 جتا2 2س + جتا 2س + جتا 4س - 1 = 0
2 جتا2 س + 2 جتا 3س جتا س - 2 جتا2 2س - 1 = 0
2 جتا س ( جتا س + جتا 3س ) - 2 جتا2 2س - 1 = 0
2 جتا س × 2 جتا 2س جتا ( - س ) - 2 جتا2 2س - 1 = 0
4 جتا2 س جتا 2س - 2 جتا2 2س -1 = 0
2 ( 1 + جتا 2س ) جتا 2س - 2 جتا2 2س = 1
2 جتا 2س = 1 ـ جتا 2س = 1/2 = جتا 60 ـ
2س = ± 60 + ك × 360 حيث ك عدد صحيح ومنها نستطيع ايجاد الحلول المقبولة
حل المعادلات المثلثية التالية :
الأولى : 1 + جتا س + جتا 2س + جتا 3س = 0
الثانية : 1 - جتا 2س + جا 3س - جا س = 0
الثالثة : 1 - جتا 4س + جا 4س = 0
أرسل بواسطة: محمد شكري الجماصي في نوفمبر 17, 2003, 07:59:09 مساءاً
1 + حتاس + حتا2س + حتا3س = 0
1+حتاس +2[(حتاس)^2 -1]+[4(حتاس)^3-3حتاس]=0
4(حتاس)^3 + 2(حتاس)^2 - 2حتاس =0
2حتاس[2(حتاس)^2 + حتاس - 1] = 0
2حتاس(2حتاس - 1)(حتاس +1)=0
حتاس = 0 أي س = ط/2 + ن ط
حتاس =1/2 أ س = ط/3 + 2ن ط أو 5ط/3 + 2ن ط
حتاس =-1 أي س = ط + 2 ن ط
أرسل بواسطة: عسكر في نوفمبر 18, 2003, 07:39:25 مساءاً
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حل المعادلات المثلثية التالية : المبدأ العام أن تحولها إلى حاصل ضرب و من ثم الحل
شكرا للأستاذ محمد وتمتاز المعادلات المثلثية بأن طرق حلها كثيرة لكثرة قوانين المثلثات وهنالك
قوانين مثلثات ذكرها الاستاذ محمد لكني فقدت الرابط وإن كان الاستاذ محمد أو الأستاذ خالد يذكرانه حبذا وضعه مع الشكر
الأولى : 1 + جتا س + جتا 2س + جتا 3س = 0
1 + جتا 2س + جتا س + جتا 3س = 0
2 جتا2 2س + 2 جتا 2س جتا س = 0
2 جتا 2س ( جتا 2س + جتا س ) = 0
2 جتا 2س × 2 × جتا ( 3 س/2 ) جتا ( س / 2 ) = 0 ومنه تطبيق الخاصة الصفرية
الثانية : 1 - جتا 2س + جا 3س - جا س = 0
2 جا2 س + 2 جتا 2س جا س = 0
2 جا س (حا س + جتا 2س ) = 0
2جا س [ جتا ( 90 - س ) + جتا 2س ] = 0
2 جا س × 2 جتا ( 45 + س/2 ) × جتا ( 45 - 3س/2 ) = 0ومنه تطبيق الخاصة الصفرية
الثالثة : 1 - جتا 4س + جا 4س = 0
جتا 4س - جا 4س = 1 وهو الشكل الأول
/\ 2 جتا ( 4س + 45 ) = 1
جتا ( 4س + 45 ) = 1 / /\ 2 = جتا 45 وبالتالي أصبحت سهلة
ويمكن أن تحل بطرق اخرى ؟؟
أرسل بواسطة: محمد شكري الجماصي في نوفمبر 18, 2003, 09:05:40 مساءاً
أرسل بواسطة: عسكر في نوفمبر 19, 2003, 11:52:22 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا للأخ الأستاذ محمد على الرابط
وشكرا للأستاذ الخالد على الرسمة
ب حـ د هـ رباعي محدب ( قطره حـ هـ يقسمه إلى مثلثين )
الاول ب حـ هـ متساوي الساقين رأسه ب والثاني حـ د هـ متساوي الأضلاع بفرض ل [ ب حـ ] = /\ 2 سم ، < ب = س درجة :
1) أثبت أن مساحة الرباعي ب حـ د هـ بدلالة س = جا س + 2 /\ 3 جا2 س/2
ثم عين قيمة س عندما تكون مساحة هذا الرباعي تساوي 2 /\ 3
xzx
أرسل بواسطة: سقا في نوفمبر 24, 2003, 02:29:26 مساءاً
مشكور جدا جدا على العرض الرائع والمفيد ولا شك انك متمكن جدا من ادراج الرموز كيق السبيل لذلك
أرسل بواسطة: عسكر في نوفمبر 24, 2003, 09:23:41 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا للأخ سقا يوجد في الفهرس موضوع رموز رياضيه يمكنك الرجوع اليه
كما يوجد في منتدى علوم الحاسب موضوع اضافة جماليات الى مشاركاتك
يمكنك الاستفادة من الموضوعين بقليل من المطالعة تحياتنا لك
مساحة مثلث = نصف × ضلع1 × ضلع2 × جيب الزاوية بينهما
مساحة المثلث ب جـ هـ = ½ × 2 × جا س = جا س
لنوجد طول الضلع [ جـ هـ ] بفرض ن منتصف الضلع جـ هـ
ل [ جـ هـ ] = 2 × ل [ جـ ن ] = 2 × /\ 2 جا س/2 وهو طول ضلع المثلث المتساوي الاضلاع
مساحة المثلث المتساوي الاضلاع د جـ هـ ويمكن حسابها بعدة طرق = مربع طول ضلعه × /\ 3 /4
مساحة المثلث المتساوي الاضلاع د جـ هـ = 2 × /\ 3 جا2 س/2
مساحة الرباعي = جا س + 2 /\ 3 جا2 س/2
بالنسبة للطلب الثاني عين قيمة س لتكون مساحة الرباعي = 2 /\ 3 سم2 ترد لحل المعادلة المثلثية
جا س + 2 /\ 3 جا2 س/2 = 2 /\ 3
بواسطة دساتير التحويل نخفض درجة جا من الثانية للأولى وتصبح الزاوية س وترد الى معادلة مثلثية سهلة الحل
أرسل بواسطة: عسكر في نوفمبر 24, 2003, 09:25:55 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
وقد قام الاستاذ الخالد بإعطائنا الرسمة فمشكور جدا جدا
نصف دائرة مركزها م ونصف قطرها نق و [ ب حـ ] قطرها
لتكن ن نقطة من نصف الدائرة وقياس القطاع الزاوي ب م ن = س عين الزاوية س التي تحقق العلاقة :
ل [ ن ب ] + /\ 3 ل [ ن حـ ] = 4 نق
GFFFFDDDDS
التحية للجميع
gffffdddds
xzx
أرسل بواسطة: عسكر في ديسمبر 06, 2003, 07:33:25 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
المثلث ب ن حـ قائم في ن
لأن ن محيطية تقابل قطر الدائرة > حـ = س/2 محيطية تساوي نصف المركزية المشتركة معها بالقوس ب ن
ل [ ب ن ] = 2 نق جا س/2
ل [ ن حـ ] =2 نق جتا ( 90 - س/2 ) بالتعويض في العلاقة السابقة نجد
2 نق جا س/2 + 2 نق /\ 3 جتا س/2 = 4 نق
جا س/2 + /\ 3 جتا س/2 = 2
جتا ( س/2 - 30 ) = 1
س/2 - 30 = 360 × ن ـ س = 60 + 2 × 360 × ن
س = 60 + 2 × 360 × ن اذا كانت ن في مثلث نقول س = 60
أرسل بواسطة: رزان في ديسمبر 07, 2003, 10:05:24 صباحاً
حل المعادلة المثلثية
جا 2س + ظا س = 2
أرسل بواسطة: tanx في ديسمبر 07, 2003, 04:28:33 مساءاً
س=45 + 2باي ن
س= 225 + 2 باي ن
أرسل بواسطة: عسكر في ديسمبر 07, 2003, 10:31:37 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الشكر لك يا أستاذ tanx ونتمنى دوام التواصل
وهذه طريقة لحل المعادلة وأرجوا إن كانت طريقتك مغايرة ذكرها مع جزيل الشكر ولو الخطوات الرئيسية لتعم الفائدة
جا 2س + ظا س = 2
2 ظا س/( 1 + ظا2 س ) + ظا س = 2 نضرب الطرفين بــ ( 1 + ظا 2 س )
2 ظا س + ظا س ( 1 + ظا2 س ) = 2 ( 1 + ظا2 س )
ظا3 س - 2 ظا2 س + 3 ظا س - 2 = 0 نلاحظ أن ظا س = 1 حل للمعادلة
( ظا س - 1 ) ( ظا2 س - ظا س + 2 ) = 0
القوس الثاني مميزه سالب لاينعدم
ظا س = 1 = ظا 45
مجموعة الحلول س = 45 + 180 × ن
أرسل بواسطة: عسكر في ديسمبر 07, 2003, 10:33:02 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مانوع المثلث أ ب حـ الذي تحقق زواياه العلاقة التالية :ونرجوا ذكر طريقة الحل وليس الناتج للفائدة أكثر مع الشكر
حا ب/2 × جتا3حـ/2 = حا حـ/2 جتا3 ب/2
أرسل بواسطة: عسكر في ديسمبر 19, 2003, 02:46:48 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مانوع المثلث أ ب حـ الذي تحقق زواياه العلاقة التالية :ونرجوا ذكر طريقة الحل وليس الناتج للفائدة أكثر مع الشكر
حا ب/2 × جتا3حـ/2 = حا حـ/2 جتا3 ب/2
جتا ب/2 ¹ 0 و جتا جـ/2 ¹ 0 زاويتان في مثلث
نقسم الطرفين على جتا3 ب/2 جتا3 حـ/2 لنجد
ظا ب/2 ( 1/جتا2 ب/2 ) = ظا جـ/2 ( 1/جتا2 جـ/2 )
ظا ب/2 ( 1 + ظا2 ب/2 ) = ظا جـ/2 ( 1 + ظا2 جـ/2 )
( ظا ب/2 - ظا جـ/2 ) + ظا3 جـ/2 - ظا3 جـ/2 = 0
( ظا ب/2 - ظا جـ/2 ) ( ظا2 ب/2 + ظا جـ/2 ظا ب/2 + ظا2 جـ/2 + 1 ) = 0
اذا حسبتا المميز للقوس الثاني
D = ظا2 جـ/2 - 4 ( ظا2 جـ/2 + 1 )
= - 3 ( ظا2 جـ/2 - 4 < 0 ( اصغر تماما من الصفر لاينعدم المقدار)
ظا ب/2 = ظا جـ/2
ب/2 = جـ/2 + 180 × ن ـ ب = جـ والمثلث متساوي الساقين
أرسل بواسطة: عسكر في يناير 01, 2004, 08:28:06 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
سندرج بعض المسائل والمشاركات المثلثية التي وردت في المنتدى
ونرجوا ممن يرغب في توسيع الموضوع المشاركة ليكون مرجعا في المثلثات
والحلول التي سترد فيما يلي هي لأعضاء المنتدى الكرام
سؤال ورد من العضو dina2 :
مثلث س ص ع نصفت زاوية س بمنصف قطع ص ع فى ن
اثبت ان س ن = حتا ( س / 2 ) × ( 2 س ع × س ص )/ ( س ع + س ص )
الحل :
سطح س ع ص = سطح س ع ن + سطح س ن ص
مساحة مثلث = نصف × حاصل ضرب ضلعين × حيب الزاوية المحصورة بينهما
½ ×س ع × س ص × حا س = ½ × س ع × س ن × حا(س/2) + ½ × س ن × س ص × حا(س/2)
س ع × س ص × 2 × حتا(س/2) = س ع × س ن + س ن × س ص
2 × س ع × س ص × جتا(س/2) = س ن ( س ع + س ص )
س ن = حتا ( س / 2 ) × ( 2 س ع × س ص )/ ( س ع + س ص )
ولعله توجد طرق آخرى ؟
==============================
سؤال ورد من العضو dina2 :
س ص ع مثلث فية س ص = س ع ، حا (س/2)×حا(ص/2 )×حا(ع/2 ) = 1/ 8 اثبت ان المثلث متساوى اضلاع
الحل:
س + ص + ع = 180
س + 2ص = 180 ( س = ص المثلث متساوي الساقين)
س/2 + ص = 90
س/2 = 90 - ص
حا(س/2) = حا(90 - ص) = حتاص (1)
من المعطى حاس/2 × حاص/2 × حاع/2 = 1/8
حاس/2 × (حاص/2)^2 = 1/8 (س = ص) (2)
من (1) في (2)
حتاص × (حاص/2)^2 = 1/8 بالضرب × 8 واستبدال حتاص = 1 - 2(حاص/2)2
8 × (1 - 2(حاص/2)2 ) × (حاص/2)^2 = 1
8 (حاص/2)^2 - 16 (حاص/2)^4 - 1 = 0 بالضرب في -1 والترتيب
16 (حاص/2)^4 - 8 (حاص/2)^2 + 1) = 0
(4(حاص/2)^2 - 1)2 = 1
4(حاص/2)^2 = 1
2حاص/2=1
حاص/2= 0.5
ص/2 = 30
ص = 60 = ع ومنها س = 60 فالمثلث متساوي الأضلاع
=====================
سؤال ورد من العضو dina2 :اثبت ان حا 54 - حا 18 = 1/ 2
الحل:
نضرب ونقسم العلاقة ( حا 54 - حا 18 ) بــــ جتا 54 لنجد
( 1/جتا54 ) [ جا54 × جتا 54 - حا 18 × جتا 54 ]
( 1/جتا54 ) [ ½ جا 108 - ½ جا 72 + ½ جا 36 ]
لكن جا 108 = جا 72 لأن مجموعهما = 180 متكاملتان
( 1/جتا54 ) [ ½ جا 36 )
لكن جتا 54 = جا 36 لأن مجموعهما = 90 زاويتان متتامتان
= ½ وهذا هو المطلوب
المسائل الثلاث السابقة على الرابط :
على بركة الله اضغط هنا
أرسل بواسطة: عسكر في يناير 07, 2004, 08:50:39 مساءاً
بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أخي الكريم إن استوعبت ما ورد في المشاركات السابقة حاول أن تحل هذا التمرين
برهن أنه إذا تحققت العلاقة : جتا ب × جتا جـ × جتا د = 1/8 في المثلث ب جـ د ـ ب جـ د مثلث متساوي الأضلاع
ان استطعت حله فأنت تكون استوعبت 95% من مادة حل المعادلات المثلثية
وإن عجزت عن الحل فهو على الرابط التالي لكن حاول قبل الرجوع إليه
حاول الحل قبل الضغط هنا
أرسل بواسطة: ملاك في أبريل 30, 2004, 08:31:44 صباحاً
أنا في الحقيقة لدي سؤال حول تاريخ هذه الدوال المثلثية
أتمنى أن أعرف من وكيف تم إكتشافها
فلم يكن هناك آلات حاسبة سوى الأدوات الهندسية
هل صحيح أنه أبقراط
ومالحاجة التي أدت لإكتشافها
هل صحيح أن علم الفلك هوه السبب وذلك بقياس أبعاد النجوم
حسنا إذا كان جا (الزاوية )=ن\ب
فيكف تم إيجاد الزواية من فبل أبقراط
وجزاكم الله خيرا
أرسل بواسطة: بشار في أكتوبر 22, 2004, 08:56:29 مساءاً
ب جـ د مثلث
اذا علمت ان المثلث يحقق العلاقة : جتا^2 ( 3 جـ ) + جتا^2 ( ب ) = 0
اوجد زوايا المثلث ب جـ د
أرسل بواسطة: mathup في أكتوبر 22, 2004, 11:53:02 مساءاً
شكرا أخى الكريم على مشاركتك الطيبة الهادقة لإحياء هذا الموضوع الرائع
الذى تسأل الله عز وجل أن يجعله فى موازين أعمال صاحبه الأصلى الأستاذ الفاضل عسكر
اذا علمت ان المثلث يحقق العلاقة : جتا^2 ( 3 جـ ) + جتا^2 ( ب ) = 0
اوجد زوايا المثلث ب جـ د
العلاقة المعطاة تستلزم أن تنعدم حدودها كلاً على حدى
أى أن:
( جتا ب )^2 = صفر ---> قياس < (ب ) = 90 أو قياس <(ب) = 270 وهذا مرفوض
بالمثل
(جتا 3جـ) ^ 2 = صفر---> قياس < (3جـ ) = 90 ومنها قياس <(جـ) = 30
أو قياس <(3 جـ) = 270 ومنها قياس <(جـ) = 90
فتكون قياسات زوايا المثلث ب جـ د هى 90 , 30 , 60 على الترتيب
ويوجد أحتمال أفتراضى أخر
أن يكون المثلث ب جـ د متساوى الساقين فيه د ب = د جـ وقياس زاوية رأسه د = صفر
قياسات زوايا قاعدته متساوية كل منها 90 أى أن نقطة ب تنطبق على نقطة جـ
فيصبح المثلث عبارة عن القطعة مستقيمة ب د
شكرا لكم مرة أخرى
أرسل بواسطة: مـحمـد في فبراير 04, 2005, 09:13:35 مساءاً
حل المعادلة المثلثيه كان ذكرها الاستاذ خالد
نبدأ بعونه تعالى :
من النظرة الاولى المعادلة تحتاج لتخفيض الاسس من اجل حلها وهنا مربط الفرس كل ينظر بمنظاره وانا وجدت الاتي :
6 ( جتا^6 س + جا^6 س ) = 5 ( جتا^4 س + جا^4 س )
نضيف ونطرح للطرف الثاني : ( جتا^4 س + جا^4 س ) فتصبح
6 ( جتا^6 س + جا^6 س ) = 6 ( جتا^4 س + جا^4 س ) - ( جتا^4 س + جا^4 س )
6 جتا^4 س ( جتا^2 س - 1 ) + 6 جا^4 س ( جا^2 س - 1 ) = - ( جتا^4 س + جا^4 س )
- 6 جتا^4 س جا^2 س - 6 جا^4 س جتا^2 س = - ( جتا^4 س + جا^4 س )
6 جا^2 س جتا^2 س ( جا^2 س + جتا^2 س ) = جتا^4 س + جا^4 س
نضيف للطرفين 2 جا^2 س جتا^2 س لتصبح المعادلة :
8 جا^2 س جتا^2 س = ( جا^2 س + جتا^2 س )^2
2 ( 2 جا س جتا س )^2 = 1
2 ( جا 2س )^2 = 1
جا 2س = ± 1 / جذر 2
2 س = ط/4 + 2 ط ك . . . . . . . . . . . حيث ط = بي
ومجموعات الحلول تصبح :
س1 = ط/8 + ط ك
س2=3ط/8 + ط ك
س3= - ط/8 + ط ك
س4= - 3ط/8 + ط ك
=====================
وهنالك حلول اخرى تؤدي نفس المفعول والنتيجة وهي تخفيض الدرجة ( مجموع مكعبي حدين )
( جتا^6 س + جا^6 س ) = [جتا^2 س ]^3 + [جا^2 س ]^3 = ( جتا^2 س + جا^2 س ) ( جتا^4 س - جتا^2 س جا^2 س + جا^4 س )
جتا^6 س + جا^6 س = 1 ( جتا^2 س + جا^2 س )^2 - 3 جتا^2 س جا^2 س
جتا^6 س + جا^6 س = 1 - 3 جتا^2 س جا^2 س
وكذلك
جتا^4 س + جا^4 س = 1 - 2 جتا^2 س جا^2 س
بالتعويض بالمعادلة ترد
6 ( 1 - 3 جتا^2 س جا^2 س ) = 5 ( 1 - 2 جتا^2 س جا^2 س )
8 جتا^2 س جا^2 س = 1 وهي نفس المعادلة السابقة
===============================
كما يمكن الحل بطريقة اخرى
نقسم طرفي المعادلة على جتا^6 س بعد التأكد ان س = ط/2 + ط ك ليس مجموعة حلول
لترد المعادلة للشكل:
طا^6 س - 5 طا^4 س - 5 طا^2 س + 1 = 0
( طا^2 س + 1 ) ( طا^4 س - 6 طا^4 س + 1 ) = 0 القوس الاول لا يحلل
القوس الثاني على المميز يعطي الحلول بعد معرفة النسب المثلثيه للزاويه 22.5 و 67.5 من الدساتير وهي ليست صعبه دساتير نصف الزاوية
( ظا س /2 )^2 = ( 1 - جتا س ) / ( 1 + حتا س )
ظا^2 ط/8 = ظا^2 22.5 = 3 - 2 جذر2
ظا^2 3ط/8 = ظا^2 67.5 = 3 + 2 جذر2
ويوجد في الرابط مشاركات ومناقشات حول المعادلة السابقة
معادلة مثلثية
=======
أرسل بواسطة: a.z في فبراير 06, 2005, 11:47:38 مساءاً
لحل التمرين : جتا(س/3)- جا(س/2)+2=0
نفرض س/2=ص فيكون س=2 ص فتصبح المعادلة :
جتا(2 ص/3)-جا(ص)+2=0
1-2جا^2(ص/3)-3جا(ص/3)+4جا^3(ص/3)+2=0
4جا^3(ص/3)-2جا^2(ص/3)-3جا(ص/3)+3=0
[جا(ص/3)+1] [4جا^2(ص/3)-6جا(ص/3)+3]=0
جا(ص/3)+1=0
جا(ص/3)=-1
ص/3= -90+360ك
ص= -270+1080ك
س= -540+2160ك
[4جا^2(ص/3)-6جا(ص/3)+3] لا تساوي 0 لان المميز (36-48=-12)
أصغر من الصفر
أرسل بواسطة: بشار في مارس 29, 2005, 09:07:00 مساءاً
عين قيمة الثابت ل كي يكون للمعادله المثلثية حلول
حتا^2 س + ل حتا س +2 ل - 4 = 0
أرسل بواسطة: الطويلعي2005 في مارس 29, 2005, 10:34:34 مساءاً
أشكر الأخ عسكر على ماقدمه من شرح وافي للمعادلات المثلثية
وجعله الله بميزان حسناته
أرسل بواسطة: رزان في مارس 31, 2005, 10:13:15 مساءاً
الموضوع ممتاز وهذه محاولتي
حتا^2 س + ل حتا س +2 ل - 4 = 0
حتى يكون لها حلول المميز اكبر اويساوي الصفر
وهي من الدرجة الثانيه بالنسبة جتا
المميز = ل^2 - 4 ( 2 ل - 4 )
ندرس اشارته متى يكون موجب ومتى يكون سالب
ل^2 - 8 ل + 16
( ل - 4 )^2 وهو موجب دوما فللمعادلة حل من اجل جميع قيم ل في ح
أرسل بواسطة: mathup في مارس 31, 2005, 10:57:09 مساءاً
شكرا على المحاولة
ولكن يجب مراعاة أن مجال المتغير هنا ( جتا س ) ليس متغير عادى
فيجب إيجاد قيم ل التى تحافظ على هذا المجال
-1 <= جتاس <1=
أرسل بواسطة: رزان في أبريل 01, 2005, 01:51:07 صباحاً
شكرا على التبيه
الحلول نوجد الجذر الاول والثاني
الاول جتا س = ( - ل + ل - 4 ) / 2 = - 2 مرفوض
الثاني جتا س = ( - ل - ل + 4 ) / 2 = - ل + 2 وهذا يجب ان يكون بين -1 و + 1
-1 <= جتاس = <1
-1 <= - ل + 2 = <1
3 > = ل = 1 اي ل محصوره بين 1 و 3 شكرا لكم جميعا
هل توجد طريقة اخرى للحل
أرسل بواسطة: mathup في أبريل 01, 2005, 04:37:48 مساءاً
رائع جداً
وطريقة الحل واضحة ومباشرة ومثالية
تمنياتى لكم بالتوفيق والسداد
أرسل بواسطة: مـحمـد في أبريل 01, 2005, 07:58:16 مساءاً
اليوم عطلتي وهي فرصه لاتفوت للمشاركة في المنتدى
حل أخر لهذه المعادلة حيث أن حل الأخت رزان ممتاز ومثالي كما تفضل الأستاذ mathup وهو أول ما يخطر في الذهن
والسؤال كان عين قيم ل ليكون للمعادلة حلول مقبولة
حتا^2 س + ل حتا س +2 ل - 4 = 0
الحل نعيد كتابة المعادلة بالشكل
حتا^2 س - 4 + ل (حتا س +2 ) = 0 نحلل و نوجد العوامل المشتركة
(جتا س - 2 ) ( جتا س + 2 ) + ل (حتا س +2 ) = 0
(حتا س +2 ) ( جتا س - 2 + ل ) = 0 ومنه اما جتا س = - 2 مرفوض
او جتا س = - 2 + ل لكن -1 < = جتا س = < 1
نعوض جتا لنجد
-1 < = - 2 + ل = < 1
نضيف للأطراف 2 لتصبح 1 < = ل = < 3 اي ان ل من المجال [ 1 ، 3 ]
أرسل بواسطة: بشار في أبريل 02, 2005, 11:24:37 صباحاً
بسم الله ما شاء الله يا محمد فرخ البط عوام
اتمنى لك التوفيق هذا الذي كنت قصدته
تحياتي لك وللوالد له كل الحب والاحترام مع دعائنا له بالشفاء وننتظر مساهماته ان كان يستطيع
ونرجو دوام التواصل طالما ان العطلة عندكم يومي الجمعة والسبت
شكرا لك والى اللقاء
أرسل بواسطة: mathup في أبريل 02, 2005, 03:45:18 مساءاً
شكرا للأخ محمد على الإضافة الطيبة
شكرا للأخ بشار على المشاركة البناءة
والشكر والدعاء موصول لصاحب الموضوع الأستاذ الفاضل عسكر
أرسل بواسطة: بنت علمية في أبريل 15, 2006, 10:24:47 مساءاً
حول المعادلات المثلثية ..