سؤال متوازي المستطيلات

[ghnddr]

هل تستطيع ايجاد ابعاد متوازي مستطيلات اذا اعطي لك :
1- مساحته .
2- حجمه .
3- مجموع ابعاده (الطول+العرض+الارتفاع).
اريد جواباً بشكل عام وليس حالة خاصة .

 '>  '>  '>  '>  '>  '>  

[darweesh]

إذا فرضنا أن أبعاد متوازي المستطيلات هي س و ص و ع و أن:

(مجموع ابعاده)     س + ص + ع = أ  ------------------------------(1)  

( مساحته)          2 س ص + 2 س ع + 2 ص ع = ب  ----------(2)

(حجمه)              س ص ع = جـ  ----------------------------------(3)

بضرب طرفي المعادلة (2) في ع نجد أن:

2 س ص ع + 2 س ع^2 + 2 ص ع^2 = ب ع

ومن (3)

2 جـ + 2 س ع^2 + 2 ص ع^2 = ب ع  ----------------------------(4)  

بضرب طرفي المعادلة (1) في 2 ع^2 نجد أن:

2 س ع^2 + 2 ص ع^2 + 2 ع^3 = 2 أ ع^2  ---------------------(5)

وبطرح المعادلة (4) من (5):

2 ع^3 - 2 جـ = 2 أ ع^2 - ب ع

وبذلك نحصل على معادلة من الدرجة الثالثة:

ع^3 - أ ع^2 + ب\2 ع - جـ = 0  

هنا يتم حساب قيمة ع بإحدى طرق حل معادلات الدرجة الثالثة ويتم المعويض بقيمتها في المعادلتين (1) و (3) وسيكون من الممكن حلهما آنياً بسهولة عندئذ.

مع تحياتي
درويش  
   '>  '>  '>

[أبو عمر]

بسم الله الرحمن الرحيم

 الأخ الفاضل .. غندر

 السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  ، وبعد ..
 بالنسبة لسؤالك ..
* يمكن إيجاد أبعاد حجم متوازي المستطيلات من الحجم ، ولكن لا تكون الأبعاد محددة
 مثال : لوقيل أن حجم متوازي الأضلاع  24م3  فإن أبعاده تكون  4م ، 3م ، 2م .
 وممكن أن نكون  6م ، 4م ، 1م .
 وهذا بالإمكان إيجاد أكثر من أبعاد.

 وبالنسبة للمساحة .. يمكن إيجاد ضلعين من أضلاع متوازي المستطيلات وأيضاً وايضاً بطريقة غير محددة يعني أكثر من طول وعرض .
 لكن أظن أنه لا يمكن إيجاد الإرتفاع .؟؟؟

 وأظن أننا ممكن نستفيد في هذه الحالة من استنتاج الأخ الفاضل درويش .

سؤالي للأخ الفاضل درويش ..

 ممكن يا أخي توضح الاستنتاج الذي ذكرت بمثال .
 ولك كل الشكر والتقدير .

[darweesh]

بسم الله الرحمن الرحيم

تحية طيبة للأخوان الأعزاء:

سأشرح طريق الحل بالمثال التالي:

المطلوب إيجاد أبعاد متوازي مستطيلات بالمواصفات التالية:
1- مساحة سطحه = 52
2- حجمه = 24
3- مجموع أبعاده = 9

الحل:

بالتعويض كما جاء في طريقة الحل في ردي السابق:

أ = 9 ، ب = 52 ، جـ = 24

وبالتعويض في المعادلة من الدرجة الثالثة التي استنتجناها نجد:

ع^3 - 9 ع^2 + 26 ع - 24 = 0  

ويمكن تحليل هذا المقدار كما يلي:

(ع - 2) (ع - 3) (ع - 4) = 0

أي أن الحلول الممكنة لهذه المعادلة هي: 2 ، 3 ، 4

نبدأ بالحالة  ع = 2:

ونعوض في المعادلتين (1) و (3) في ردي السابق فنحد:

س + ص + 2 = 9    و    2 س ص = 24

وبالتبسيط:
س + ص = 7    (*)
س ص = 12      (**)

وبضرب طرفي المعادلة (*) في ص نحصل على:

س ص + ص^2 = 7ص

وبالتعويض عن قيمة س ص من المعادلة (**):

12 + ص^2 = 7ص    أو     ص^2 - 7ص + 12 = 0

وبالتحليل:

(ص - 3) (ص - 4) = 0

أي أن  ص = 3  أو  ص = 4

إذا اخترنا  ص = 3  نجد من المعادلة (*) أن  س = 4  أي أن أبعاد متوازي المستطيلات هي 4 ، 3 ، 2

وإذا اخترنا  ص = 4  نجد من المعادلة (*) أن  س = 3  أي أن أبعاد متوازي المستطيلات هي 3 ، 4 ، 2

وكذلك في الحالتين  ع = 3  و  ع = 4  سوف نصل إلى النتيجة: أبعاد متوازي المستطيلات هي 4 ، 3 ، 2

درويش

[darweesh]

بسم الله الرحمن الرحيم

ملاحظة إضافية لتبسيط الحل

في المعادلة  ع^3 - أ ع^2 + ب\2 ع - جـ = 0  نجري هذا التغيير الشكلي وهو استبدال الرمز ع برمز آخر وليكن ف ويصبج لدينا:

ف^3 - أ ف^2 + ب\2 ف - جـ = 0  

الآن نعوض عن أ و ب و جـ من (1) و (2) و (3) في ردي الأول فنحد:

ف^3 - (س + ص + ع) ف^2 + (2 س ص + 2 س ع + 2 ص ع)\2 ف - س ص ع = 0

وباختصار بسيط نحصل على:

ف^3 - (س + ص + ع) ف^2 + (س ص + س ع + ص ع) ف - س ص ع = 0   (#)
          
يمكن بسهولة التأكد من المتطابقة التالية:

ف^3 - (س+ص+ع) ف^2 + (س ص+س ع+ص ع) ف - س ص ع = (ف-س)(ف-ص)(ف-ع)

أي أننا يمكن أن نعبر عن المعادلة (#) بالصورة:

(ف - س) (ف - ص) (ف - ع) = 0

وهذا يعني أن جذور المعادلة (#) هي س ، ص ، ع أو أنها هي الأبعاد المطلوبة (الطول والعرض والارتفاع)

ونستخلص من ذلك كله أن الأبعاد المطلوب حسابها هي الجذور الثلاثة للمعادلة ف^3 - أ ف^2 + ب\2 ف - جـ = 0 أو للمعادلة ع^3 - أ ع^2 + ب\2 ع - جـ = 0 وبالتطبيق في المثال السابق نجد:

المطلوب إيجاد أبعاد متوازي مستطيلات بالمواصفات التالية:
1- مساحة سطحه = 52
2- حجمه = 24
3- مجموع ابعاده = 9

الحل:

بالتعويض:

أ = 9 ، ب = 52 ، جـ = 24

وبالتعويض في اامعادلة من الدرجة الثالثة نجد:

ف^3 - 9 ف^2 + 26 ف - 24 = 0  

ويمكن تحليل هذا المقدار كما يلي:

(ف - 2) (ف - 3) (ف - 4) = 0

أي أن جذور هذه المعادلة هي: 2 ، 3 ، 4

أي أن أبعاد متوازي المستطيلات هي: 2 ، 3 ، 4
  
مع تحيات درويش

[ghnddr]

اشكركم يا اخوان , ....................ماشا الله عليك يا درويش واعتذر عن التاخير في الرد.
بالنسبه للحلول هي ثلاث حلول فقط وفعلا هي حلول معادلة الدرجه الثالثه :
س^3 -أ س^2 + ج/2 س = ج
يكون للمعادله حلول غير مننتهيه عنما فقط لا نفترض احد البنود في السؤال بقيمه معينه .
..........................................................................................
...
والآن عندما س^3 + ك س = ل (ك , ل اعداد حقيقيه ) معادلة .
الآن ما هو المنشور الذي تمثله هذه المعادلة (مجازاً)
اي كيف احول هذه المسألة الى مسألة المنشور السابق .
ماهو الحجم الذي نقوم باعطائه في السؤال وما المساحة وما مجموع الأبعاد
باختصار : ما هي افتراضات قيم الحجم والمساحة ومجموع اطوال الأضلاع بحيث تتحول المسألة الى المعادلة س^3+ك س = م ومن ثم حل هذه المعادلة .


     فكروا فيها ....................................

[ghnddr]

ملاحظه :
المعادلة الأخيره في الرد الأخير س^3 + ك س = م غير صحيحه
الصحيح س^3 + ك س = ل ...................................

[ghnddr]

يضهر اني الارهاق اخذ مني الكثير معادلة المنشور التي ذكرتها في الرد الأول على الأخ درويش
بعد التصحيح هي
س^3-ا س^2+ب/2 س = ج
وهي معادلة تفي بالغرض لحل مسألة المنشور الأولى كما ذكر الأخ درويش.
والان انتضر حل المسألة الثانية .
..................................................................................

[darweesh]

أنا في الانتظار...

[max]

سوء تفاهم
انتضرت انا الرد منك وبما ان المنتضر هو انت الآن :
عندما نختار
س + ص + ع =2ج
س ص + س ع +ص ع = ج^2
س x ص xع = م^2
فإن المعادلة تصبح :
س^3 + ج س = م
والأبعاد هي س^2 , ص^2 , ع^2 .
اي انها تكافيء (مجازا) المعادلة :
س^6 +2ح س^4 + ج^2 س = م^2
شكرا اخ درويش على ردودك .............
                                      max=ghnddr
للتواصل عبر المسنجر :
                               g2002z@hotmail.com

[max]

عفواً
س+ص+ع = -2ج