السلام عليكم ورحمة الله
حل مختلف للمسألة الأولى
الحد النوني للمتتابعة الأولى هو
س(1) = جذر(2)، عندما ن = 1،
س(ن+1) = جذر(2 س(ن))، عندما ن > 1.
مبرهنة: إذا كانت المتتابعة المطردة محدودة، فإنها متقاربة.
المتتابعة المطردة هي التي تتزايد بشكل دائم أو التي تتناقص
بشكل دائم. (أنظر في أي كتاب لأسس التحليل الرياضي.)
هذه المتتابعة محدودة من الأعلى ومتزايدة (يمكن التأكد من ذلك
بالاستنتاج الرياضي). إذا نهاية هذه المتتابعة موجودة وهي:
س = نها(ن ---> +oo) س(ن) .
بأخذ النهاية عند طرفي المتساوية س(ن+1) = جذر(2 س(ن))
عندما تؤول ن إلى +oo، نجد أن:
س = نها(ن ---> +oo) س(ن+1) = نها(ن ---> +oo) جذر(2 س(ن)).
إذا: س = جذر(2 نها(ن ---> +oo) س(ن)) = جذر(2س).
الآن نحل المعادلة س = جذر(2س).
إذا: س^2 = 2س وجذرا هذه المعادلة هما 0،2.
الصفر مستبعد لأن المتتابعة تبدأ من جذر(2)
وتأخذ في التزايد. إذا، نهاية المتتابعة هي س = 2.
(قد يرى البعض ممن له بعض التجربة مع المتتابعات بأن هذا
الحل صعب، لكن هدفي هنا هو عرض طريقة حل مختلفة
قد تكون مفيدة في بعض المسائل الأخري)
'>