حساب المثلثات

[ريتا]

ارجو المساعده في  حل هالمسائل
 
 1)  اذا كانت أ ، ب ، جـ قياسات   زوايا مثلث فأثبت أن :  
                جتا أ^2 + جتا ب^2  + جتا ج^2+ 2 جتا أ جتا ب جتا جـ = 1

2) اذا كانت أ ، ب ، جـ  قياسات  زوايا مثلث فأثبت أن :  
                جا 2  أ + جا 2 ب + جا2  جـ =  4 جا أ جا ب جا جـ  

3) أوجد مجموعة حل المعادلة     جا 4 س + جا 3 س + جا 2 س = 0      
                                       :   0≤    س   < 360

[Yacoubian]

الأخت ريتا المحترمة ... صباح الخير ...

أهلاً بك في المنتديات العلمية ورحلة موفقة معنا ، إليكِ حل المسألتين الثانية والثالثة :

2) اذا كانت أ ، ب ، جـ  قياسات  زوايا مثلث فأثبت أن :  
               جا 2  أ + جا 2 ب + جا 2 جـ =  4 جا أ جا ب جا جـ  

الحل : ط1 = جا 2 أ + جا 2 ب + جا 2 جـ
                 = 2 جا ( 2 أ + 2 ب ) / 2 × جتا ( 2 أ - 2 ب ) / 2 + جا 2 جـ
                 = 2 جا ( أ + ب ) × جتا ( أ - ب ) + 2 جا جـ × جتا جـ
                 = 2 جا جـ × جتا ( أ - ب ) + 2 جا جـ × جتا جـ
                 = 2 جا جـ [ جتا ( أ - ب ) + جتا جـ ]
                 = 2 جا جـ [ جتا ( أ - ب ) - جتا ( أ + ب ) ]
                 = 2 جا جـ [ - 2 جا ( أ - ب + أ + ب ) / 2 × جا ( أ - ب - أ - ب ) / 2 ]
                 = 2 جا جـ [ - 2 جا ( 2 أ ) / 2 × جا ( - 2 ب ) / 2 ]
                 = 2 جا جـ [ - 2 جا أ × جا ( - ب ) ]
                 = 2 جا جـ [ - 2 جا أ × ( - جا ب ) ]
                 = 2 جا جـ × + 2 جا أ × جا ب
                 = 4 جا أ جا ب جا جـ
                 = ط2

3) أوجد مجموعة حل المعادلة :    جا 4 س + جا 3 س + جا 2 س = 0      
                                      حيث   0 =< س < 360

الحل : جا 4 س + جا 3 س + جا 2 س = 0
           جا 4 س + جا 2 س + جا 3 س = 0
           2 جا ( 4 س + 2 س ) / 2 × جتا ( 4 س - 2 س ) / 2 + جا 3 س = 0
           2 جا 3 س × جتا س + جا 3 س = 0
           جا 3 س ( 2 جتا س + 1 ) = 0

إما جا 3 س = 0   ===>   3 س = 0   ===>    س = 0
أو  2 جتا س + 1 = 0     ===>   جتا س = - 1 / 2
أي أن     س1 = 120 ْ
            س2 = - 120 ْ      وبإضافة 360 ْ تكون :     س2 = 360 - 120 = 240 ْ

فللمسألة ثلاثة حلول ضمن الشرط  : 0 =< س < 360 ، هي : ( 0 ، 120 ، 240 ) .

مع أحلى الأمنيات بالنجاح من المنتديات العلمية .

ومن أخيكِ بسام

[Yacoubian]

أتابع معكِ يا ريتا حل المسائل وأنتقل إلى المسألة الأولى ...

1)  اذا كانت أ ، ب ، جـ قياسات زوايا مثلث فأثبت أن :  
               جتا أ^2 + جتا ب^2  + جتا ج^2+ 2 جتا أ جتا ب جتا جـ = 1

الحل :
ط1 = جتا أ^2 + جتا ب^2  + جتا جـ ( جتا جـ + 2 جتا أ جتا ب )
      = جتا أ^2 + جتا ب^2  + جتا جـ [ - جتا ( أ + ب ) + 2 جتا أ جتا ب ]
      = جتا أ^2 + جتا ب^2  + جتا جـ [ - ( جتا أ جتا ب - جا أ جا ب )  + 2 جتا أ جتا ب ]
      = جتا أ^2 + جتا ب^2  + جتا جـ ( - جتا أ جتا ب + جا أ جا ب + 2 جتا أ جتا ب )
      = جتا أ^2 + جتا ب^2  + جتا جـ ( جتا أ جتا ب + جا أ جا ب )
      = جتا أ^2 + جتا ب^2  + جتا جـ جتا ( أ - ب )
      = جتا أ^2 + جتا ب^2  - جتا ( أ + ب ) جتا ( أ - ب )
      = جتا أ^2 + جتا ب^2  - 1/2 ( جتا 2 أ + جتا 2 ب )
      = 1/2 + 1/2 ( جتا 2 أ ) + 1/2 + 1/2 ( جتا 2 ب ) - 1/2 ( جتا 2 أ ) - 1/2 جتا 2 ب )
      = 1/2 + 1/2 = 1 = ط2

مع أطيب الأماني من المنتديات العلمية .

أخوكِ بسام

[ريتا]

شكرا اخي على الحل  
   2 جا ( 2 أ + 2 ب ) / 2 × جتا ( 2 أ - 2 ب ) / 2 + جا 2 جـ    مافهمت هالخطوه    ؟؟؟؟

[Yacoubian]

والشكر لكِ يا ريتا ...

مجموع جيبين = مرتين جيب ( مجموع الزاويتين على 2 ) مضروب بتجيب ( فرق الزاويتين على 2 )

بصيغة أخرى :
مجموع الجيبين للزاويتين ( 2 أ ) و ( 2 ب ) = ضعفي جيب ( نصف مجموع الزاويتين ) مضروباً بتجيب ( نصف الفرق بينهما ) .

جا 2 أ + جا 2 ب = 2 جا [ ( 2 أ + 2 ب ) / 2 ]× جتا [ ( 2 أ - 2 ب ) / 2 ]

أتمنى أن تكوني قد تذكرتِ قانون تحويل مجموع جيبين إلى جداء .

مع أحلى أمنياتي بالنجاح .

أخوكِ بسام

[ريتا]

الف  شكرا استاذي   على الحلول يعطيك الف عافيه  
   (( مجموع جيبين = مرتين جيب ( مجموع الزاويتين على 2 ) مضروب بتجيب ( فرق الزاويتين على 2 ) ))
      تذكرته  شكراااااااااا
          

[ريتا]

1/2 + 1/2 ( جتا 2 أ ) + 1/2 + 1/2 ( جتا 2 ب ) - 1/2 ( جتا 2 أ ) - 1/2 جتا 2 ب )
الخطوه الاخيره الله يعافيك استاذي مافهمتها   ممكن توضحها  في تمرين رقم 1  وشكرااا

[Yacoubian]

أهلاً بكِ مجدداً يا أخت ريتا ...

جتا أ^2 = 1/2 + 1/2 ( جتا 2 أ ) والقانون يكتب بشكل آخر معروف لديكِ يا ريتا ، وهو :

جتا أ^2 = ( 1 + جتا 2 أ ) / 2

وتُقرأ : تجيب مربع الزاوية أ = ( 1 + تجيب ضعف الزاوية أ ) مقسومين على 2

وبتوزيع القسمة على 2 لكلا الحدين تصبح  ( 1/2 + 1/2 تجيب ضعف الزاوية أ ) ، ولا بأس من حفظ القانون بالشكلين ، لأن استخدامه يتطلب المرونة والسرعة في الحل والاختصار في الوقت الثمين في الامتحان ، أرجو أن يكون واضحاً لكِ الآن ، تابعي ونحن معكِ ... تحياتي .

أخوكِ بسام

[ريتا]

 مشكور اخي  ويعطيك الف عافيه   ... شكرا على الموقع  

[ابو عبد المحسن]

السلام عليكم
 شكرا لكم على جهدكم الرائع
 انا ضيف جديد فتحملوني

 عندي سؤال عن المسائل السابقة
 هل يكون دائما جا جـ = جا ( أ+ب )
بينما جتا جـ = - جتا ( أ+ب)

ودمتم

[Yacoubian]

أهلاً بك أخي أبو عبد المحسن ضيفاً جديداً ودائماً للمنتديات العلمية ، وعليك ألف سلام وأسعد الله مساءك بكل خير ...

نعم إن ما كتبته صحيحاً لأن :

جيب أي زاوية = جيب مكملتها إلى 180 درجة ( الجيب موجب في الربع الثاني ) لذلك فإن :

جا جـ = جا ( أ + ب )

أما تجيب أي زاوية = ناقص تجيب مكملتها إلى 180 درجة ( التجيب سالب في الربع الثاني ) وعليه فإن :

جتا جـ = - جتا ( أ + ب)

مع أحلى أمنيات السعادة ، وتحيات طاقم الإشراف في المنتديات العلمية ، ومرحباً بك يا أخ أبو عبد المحسن مرة ثانية في بحور العلم والثقافة ، ونحن بانتظار مشاركاتك القيمة .

أخوك بسام

[ابو عبد المحسن]

لا عدمناكم
 ونفع الله بعلمكم

[روعة الكون]

انا اسمي روعةممكن تساعدوني تفهموني الرياضيات لانو مادتي سهلة بس ما بفهمهامن المعلمةومعدلاتي ببائي المواد بالتسعينات انا انخسفت هديك السنة بسبب الرياضيات ممكن تساعدوني تفهموني الوحدة الثانية من الدائرةوشكرا

[Yacoubian]

أهلا بك يا روعة الكون في المنتديات ، ونحن على أتمّ الاستعداد للإجابة على أسئلتك في الدائرة وغيرها ، أرسلي ما تودين من المسائل ، وستكون معدلاتك في الرياضيات مماثلة للمواد الباقية وربما أكثر ، ومساءً سعيداً .

مع أحلى أمنيات المنتديات العلمية بالنجاح والتوفيق .

أخوك بسام

[ابو عبد المحسن]

عندي سؤال محتار في اجابته
من كتاب الصف الثاني ثانوي

السؤال : اذا كانت ا,ب,جـ قياسات زوايا اي مثلث
اي ان : ا+ ب+ جـ = ط

ماذا تساوي كل من جا(ا+ب)/2
جتا ( ا+ ب ) / 2
ظا ( ا+ب) /2
بدلالة جـ/2


مع جزيل الشكر مسبقا