ملاحظة : مجموعة الأعداد الحقيقية هي الفترة [ـ
¥ ،
¥ ]
الاتصــال 3 مع الاعتذار ان وجد خطأ وضرورة تصحيحه
الاتصال في فترة Continuity in Intervals
نعلم أن الفترة هي مجموعة من الأعداد التي تنتمي إلى ح مجموعة الأعداد الحقيقة ونختلف في الانتماء لطرفيها فهناك الفترة المغلقة والمفتوحة ونصف المغلقة أو نصف المفتوحة ونصف المستقيم فنكتب الفترة المغلقة بالصورة [أ ، ب] والمفتوحة بالصورة ]أ ، ب[ ونصف المغلقة أو نصف المفتوحة بالصورة [أ ، ب[ أو ]أ ، ب] ونصف المستقيم [أ ،
¥ [ أو ] ـ
¥ ، أ[ .
أولاً :ـ
الاتصال في الفترة المفتوحة ]أ ، ب[ لدالة ما يوجب اتصالها عند كل نقاط الفترة مع ملاحظ أن أ ، ب لا تنتميان للفترة ]أ ، ب[
الاتصال في الفترة [أ ، ب] لدالة ما يوجب تحقق
1) اتصالها في ]أ ، ب[
2) اتصالها عن يمين أ
3) اتصالها عن يسار ب
ضرورة بحث الاتصال عند النقط التي يتغير بجوارها تعريف الدالة والتي تنتمي للفترة ]أ ، ب[ من اليمين واليسار
ثانياً :ـ
توجد دوال عموماً تكون متصلة في مجالها ومنها
1) الدالة الثابتة د(س) = ك حيث ك ثابت
2) الدالة د(س) = س ، س تنتمي إلى ح
3) دالة المقياس د(س) = |س|
4) دوال كثيرات الحدود
5) الدالة الجذرية مع مراعاة دليل الجذر كونه فردياً(لجميع قيم ح) أو زوجياً(ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة لعدم قبولنا بالجذر السالب هنا)
ثالثا:ـ
بفرض أن د(س) ، ق(س) دوال متصلة في فترتين تقاطعهما الفترة ف فإن
1) (د + ق)(س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين
2) (د ـ ق)(س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين
3) (د . ق)( س) متصلة في ف وتعمم لأكثر من دالتين
4) (د ÷ ق)(س) متصلة في ف ـ { مجموعة أصفار المقام } ، الدالة النسبية متصلة لجميع قيم س عدا تلك التي تجعل المقام = صفر
أمثلة مباشرة :ـ
1) الدالة د(س) = 7 متصلة في ح لأنها دالة ثابتة
2) الدالة د(س) = س3 + 3 س2 ـ 7 متصلة في ح لكونها كثيرة حدود
3) د(س) = |س ـ 3| متصلة في ح لكل س تنتمي إلى ح
4) ق(س) = جذر(س ـ 2) متصلة في [2 ،
¥ [
5) ق(س) =( س + 5) ÷ ( س ـ 2) متصلة في ح ـ {2}
6) ق(س) = 5 ÷ جذر(س ـ 3) متصلة في ]3 ،
¥[ لاحظ 3 لا تنتمي للفترة والدالة ليست معرفة عندها
7) د(س) = جذر(س ـ 5) ، ق(س) = جذر(7 ـ س) فالدالة د(س) متصلة في [5 ،
¥ [ والدالة ق(س) متصلة في ] ـ
¥، 7] فإن
أ) مجموع الدالتين والفرق بينهما وحاصل ضربهما كل منها متصل في فترة تقاطعهما [5 ، 7]
ب) قسمة الدالتين (د ÷ ق)(س) متصلة في [5 ، 7[ لاحظ س = 7 تجعل الدالة غير معرفة
ت) قسمة الدالتين (ق ÷ د)(س) متصلة في ]5 ، 7] لاحظ س = 5 تجعل الدالة غير معرفة
د(س) = (س2 ـ 2س + 3) ÷ (س2 ـ 1) متصلة في ح ـ [ ـ1 ، 1] ، البسط والمقام كثير حدود ، ـ1 ، 1 أصفار المقام
مثال : أبحث اتصال الدالة الآتية في الفترة [ ـ3 ، 7 ]
س2 + 2 ، س > 2
د(س) = {
5 س ـ 4 ، س
£ 2
الحــل
لاحظ العدد 2 ينتمي للفترة[ـ3 ، 7] فلذا نبحث الاتصال في [ـ3 ، 2[ ، ]2 ، 7] ، وعند س = 2
في الفترة [ـ3 ، 2[ : د(س) = س2 + 2 الدالة متصلة لأنها كثيرة حدود
في الفترة ]2 ، 7] : د(س) = 5 س ـ 2 الدالة متصلة لأنها كثيرة حدود
عند س = 2
د(2) = 5 × 2 ـ 4 = 10 ـ 4 = 6
عندما س تقترب من يسار 2 تكون د(س) = س2 + 2 فالغاية اليسرى للدالة = 4 + 2 = 6
عندما س تقترب من يمين 2 تكون د(س) = 5 س ـ 4 فالغاية اليمنى للدالة = 5 × 2 ـ 4 = 10 ـ 4 = 6
غاية د(س) عندما س تؤول إلى 2 تساوي د(2)
الدالة متصلة عند س = 2
الدالة متصلة في الفترة [ـ3 ، 7]
مثال : أبحث اتصال الدالة الآتية في ح
3 ، س
³ ـ2
د(س) = { س2 ـ 2 ، ـ2 < س < 4
3 س + 2 ، س
£ 4
نبحث الاتصال في كل من : ] ـ
¥، ـ2[ ، ]ـ2 ، 4[ ، ]4 ،
¥[ ، س = ـ2 ، س = 4
في الفترة ]ـ
¥، ـ2[ الدالة ثابتة فهي متصلة
في الفترة ]ـ2 ، 4[ الدالة كثيرة حدود فهي متصلة
في الفترة ]4 ،
¥[ الدالة كثيرة حدود فهي متصلة
عند س = ـ2
د(ـ2) = 3
غاية الدالة عندما س تؤول إلى ـ2 من اليمين = 4 ـ 2 = 2
¹عند س = 4
د(4) = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14
غاية الدالة عندما س تؤول إلى 4 من اليسار = 16 ـ 2 = 14 متصلة من اليسار
غاية الدالة عندما س تؤول إلى 4 من اليمين = 12 + 2 = 14 متصلة من اليمين
الغاية اليمنى = الغاية اليسرى
غاية الدالة عند س = 4 موجودة وتساوي 12 = د(4)
الدالة متصلة عند س = 4
الدالة متصلة في ح ـ { ـ2 }
