المحاضرات والدروس العلمية > المحاضرات العلمية
محاضرات في التفاضل والتكامل
G H Hardy:
بسم الله الرحمن الرحيم وبه نستعين
يدرس علم التفاضل والتكامل مسالتين
1-هي ايجاد ميل المماس عند نقطه لمنحنى داله
2-ايجاد المساحه تحت منحنى لداله بين نقطتين
هاتان العمليتان يمكن اجرائهما بصوره تقريبيه بواسطة الحاسب الالى بنفس الطريقه التي تخيلها رياضو الحقب القديمه فمثلا في الحاله الثانيه المساحه تحت منحنى تساوي مجموع مساحات المستطيلات تحت المنحى تقريبا
اما حل هاتين المسالتين بالظبط فانه يعتمد على المبدأ الاساسي الذي يقوم عليه هذا العلم الا وهو مفهوم النهايه الذي يجعله علما مستقلا عن الجبر وهو الفمهوم الذي حير العلماء والفلاسفه لقرون طويله طبعا حاول علماء مثل ارشميدس والحسن بن الهيثم استخدام مفهوم النهايه وقد يكون النقد لهما بسبب انهم لم يستخدموا النهايه في مفهومها الحديث لكنهما لاشك ادركاه بحسهما الرياضي السليم ووصلا دون الاستخدام الشكلي له إلى النتيجه المطلوبه عندما حاولو حساب النسبه باي او حساب حجم المجسم الناتج من دوران قطع مكافيء حول قاعدته
ثم إن مكتشفي العلم بصورته الحديثه نيوتن ولايبنتز لم يكونا على علم به كمبدأ رياضي وصيغت جميع نتائجهم بدونه وهذا جعلهم ينتقدون من قبل فلاسفه كبار امثال بيركلي
ولد اسحق نيوتن في عام 1642 بمقاطعة لونكشير الانجليزيه وقد مات ابوه قبل مولده بشهرين وكانت امه تتمنى إن يعمل في مزرعة الاسره لولا تدخل بعض اعمامه فارسل إلى كمبريدج التي حصل منها على ليسانس العلوم ولايبدو من طفولته تمتعه بشيء خارق للعاده الا انه بعد تخرجه مباشره عام 1665 انتشر الطاعون في انجلترا فاغلقت المؤسسات واظطر نيوتن الرجوع إلى بلدته ومكث فيها 18 شهرا وكانت هذه الفتره وهو في الثاله والعشرين من اخصب الفترات العلميه في تاريخ الانسانيه
فقد اكتشف مفكوك ذي الحدين لاس سالب او كسري وان الضوء يتحلل إلى الوان الطيف ثم قانون الجاذبيه الشهير وعلم التفاضل والتكامل
طبعا رموز نيوتن مازلت مستخدمه حتى الان بين الفيزيائيين
طبعا الانجاز العظيم لنيوتن وليبنتس في تعميم طرق حساب المماس سواء من رؤيا فيزيائيه لنيوتن او هندسيه لـ ليبنتس بل في اكتشافهما إن عملية التفاضل والتكامل عكسيتين لبعض وهذا سوف نتطرق اليه لاحقا
طبعا هناك رياضيين ساهموا في بناء هذا العلم مثل جاكوب ويوهان بيرنولي
فقد اشتهر جوهان بالمساله التي يطلب منها تحديد شكل سلك واصل بين نقطتين لكي تتزحلق عليه خرزه في اقل وقت ممكن والذي ثبت انه منحنى السيكلويد ويحكى إن نيوتن حلها في نفس اليوم الذي سمع بها
طبعا هناك بروك تيلور وكولين مكلورين واويلر طبعا من وجهة نظر تحليليه هناك فيرستراش
واوجستين كوشي الذي يعتبر ابو التحليل الحديث وهو الذي اقر تعريف الاتصال عن بولزانو وتطبيقات الاتصال عديده منها انها ضروريه لقابلية الاشتقاق لداله وكافيه لاجراء التكامل على فتره ثم هي ساهمت في اثبات كثير من النظريات المهمه اشهرها نظرية القيمه الوسيطه والتي احدى نتائجها المهمه اذا كان للداله قيمه موجبه ثم تلتها قيمه سالبه او العكس فطالما انها مستمره على فتره مغلقه يتحتم إن تمر بنقطه داخل الفتره تنعدم عندها الداله وطبعا النتيجه بديهيه لكن لن ندرج لها برهان لانه صعب برهانها ففي الرياضيات كلما كانت النتيجه بديهيه صعب برهانها فقد حاول كل من كوشي وبلزانو برهانها وفشلا حتى اعتمدا بجانب تعريف الاتصال للداله على خاصيه من خصائص الاعداد الحقيقيه وهي مسلمة تفرض انه لاي مجموعه غير خاليه من الاعداد الحقيقيه التي لها حد اعلى لها اصغر حد اعلىوطبعا تستخدم طريقة التنصيف لفتره معينه ثم نعرف متتابعتين احدهما تزايده والاخر تناقصيه تتقاربا إلى نقطه واحده ونوظف خاصية الاتصال لاحداث تناقض يثبت النظريه وهذا ليس موضوعنا بل موضوع كبير جدا اسمه التحليل الحقيقي
وطبعا هناك جورج ريمان الذي وضع اللمسات الاخيره على التكامل فسمي باسمه
طبعا كان الاعتقاد السائد إن كل الدوال المتصله قابله للاشتقاق ماعدا بعض الدوال التي تكون عند بعض النقط المعزوله غير قابله للاشتقاق إلى إن اوجد فيرستراش داله متصله ولكن غير قابله للاشتقاق عند أي نقطه ولن اذكر هذه الداله لانها تتعلق بمفاهيم عاليه لاثبات اتصالها تحتاج إلى مختص بالتحليل الحقيقي
طبع هذه المشكله دفعت العلماء مثل كانتور وديدكند إلى إن تؤخذ الاعداد النسبيه نقطة انطلاق لبناء الاعداد الحقيقيه
طبعا هذا مختصر سريع جدا جدا عن التفاضل والآن أترككم مع اولا المفاهيم
وطبعا لحل التمارين الوارده بالمحاضرات وللتساؤلات وطرح وجهات النظر خصص موضوع كامل في قسم الدراسات والتعليم الجامعي
من هنا لساحة النقاش
ومع تمنياتي لكم بالتوفيق
G H Hardy:
بسم الله الرحمن الرحيم
وبه نستعين
الفترات
اشهر المجموعات جميعا وتمثل اجزاء مستقطعه من مجموعة الاعداد الحقيقه ولذا فهي مجموعات غير منتهيه تمثل عناصرها القيم التي ياخذها المتغير داخلها وقد تكون الفترات مغلقه اذا احتوت النقط الطرفيه لها ومفتوحه اذا كانت عكس ذلك ونرمز للطرف المغلق بالرمز [ ] بينما الطرف المفتوح ( ) طبعا من جهة كان الانفتاح او الانغلاق
فمثلا لو قلنا
(5,8]
هذه معناها فتره مغلقه من اليسار مفتوحه من اليمين أي إن العدد 5 يدخل ضمن الفتره بينما العدد 8 لايدخل
مثال اخر
(5,9)
هذا معناها فتره مفتوحه من الطرفين أي إن العدد 5 والعدد 9 لايدخل ضمن المجموعه انما العدد الذي يلي 5 يدخل ضمن الفتره والعد الذي يسبق 9 يدخل في الفتره وطبعها الاعداد الحقيقيه كثيفه جدا ويمكن فالاعداد النسبيه كثيفه داخل الاعداد الحقيقيه لذلك من الصعب تحديد العدد بل من المستحيل لذلك نكتفي بالقول إن العدد 9 او 5 لايدخل فقط
طبعا لو حصل وكان لدينا الفتره تحوي في احد طرفيها الكميه اللانهائيه فانها تكون مفتوحه لان الكميه لانهائيه ليست عدد بحد ذاته لذلك من الصعب التكلم عن انتمائها إلى فتره مثلا
وهكذا
طبعا يمكن تعميم العمليات الجبرية على الفترات
1-2 الدالة
1-مفهوم الدالة
لرياضي القرن التاسع عشر كان كلمة داله تعني علاقة رياضيه محدده كان نقول
بحيث تنسب لكل قيمه x قيمه وحيده f(x) والتي بمقتضاها يمكن تمثيل الداله بيانيا لكنه لوحظ مع تعدد الامثله واختلاف انماطها اننا نفاجأ احيانا بالاتي
1-ليست لكل قيمه x توجد قيمه f(x) معرفه كما في العلاقه
والتي تكون قيمة الداله غير معرفه عند الصفر
2-ليست لكل قيمه حقيقيه x توجد قيمه حقيقيه f(x) كما في العلاقه
3-قد تمثل الداله f(x) بصيغ مختلفه باختلاف مكان وقوع x كما في الحاله التي تكافيء العلاقتين y=x للقيم
و y=-x للقيم x
طبعا كما وعدتكم سابقا اني سوف اتكلم ببساطه لذلك لن اتعمق اكثر من ذلك
جد المجال والمدى للداله f اذا كان
الحل
القيم التي ياخذها المتغير x هي كل الاعداد الحقيقيه وبناء على ذلك يكون Df=R بينما دائما
f>0 او تساويه لكل المتغيرات بالتالي المدى يكون
الحل
القيم التي يمكن التعويض بها هل كل الاعداد الحقيقيه ماعدا اصفر المقام بالتالي يكون المجال هو جميع الاعداد الحقيقيه ماعدا (1-) ولحساب مدى الداله يكون لدينا
اي ان x غير معرفه عند القيمه y=1 بالتالي المدى هو كل الاعداد الحقيقيه ماعدا العدد واحد
الحل
قيم x التي يمكن التعويض بها هي التي تحقق المتباينتين التاليتيين معا(سوف نتكلم لاحقا عن المتباينات)
حتى تكون الداله حقيقيه بالتالي يكون المدى هو الفتره
Df=[0,4
وحيث انه لكل x تنتمي للمجال فان الداله غصبن عنا لازم تحقق المتباينه
بالتالي يكون مدى الداله هو
الحل
هذه مجالها الاعداد الحقيقيه لكن ماهو مداها
عريف
اذا كانت f , g دالتين فاننا نعرف المجموع والفرق وحاصل الضرب وخارج القسمه كالتالي
طبعا يكون المجال في الحالات الثلاث الاولى هو تقاطع مجال الدالتين اما في الحاله الاخيره فهو التقاطع باستثناء النقط التي تكون عندها g(x)=0
مثال لو كان لدينا
اذا
[/QUOTE][/QUOTE]
-صفات هندسيه
من الصفات الهندسيه صفة التماثل وهي التي تتمتع بها الدوال الزوجيه أي إن منحنى الداله يكون متماثل حول محور الصادات اذا كانت الداله تحقق
f(-x)=f(x)
بينما يكون المنحى متماثل حول نقطة الاصل اذا كانت الداله فرديه أي تحقق
f(-x)=-f(x)
ومن الصفات المهمه كذلك صفة الاطراد وهي إن تكون الداله على تزايد مستمر او تناقص مستمر مع تزايد قيمة x في كل حاله ومن الامثله على الدوال المتزايده باطراد
طبعا ليس من الضروري إن تكون الداله زوجيه او فرديه او تزايديه او تناقصيه ومثال ذلك
فهذه لازوجيه ولافرديه ولا متزايده ولا متناقصه
3-الدوال الاوليه
طبعا هناك دوال كثيره من اشهرها
1-دالة القوه وشكلها
حيث n عدد صحيح موجب و a`s ثوابت
وهناك الداله الكسريه
حيث تكون عباره عن قسمة كثيرتي حدود
وهناك داله جذريه حيث تحتوي على جذور
وهناك الدوال الاسيه وللوغاريتميه والزائديه لكن هذه نتكلم عنها لاحقا
والدوال المثلثيه لكن قبل ذلك نريد إن ناخذ زياره سريعه للداله العكسيه وشروط وجودها
4-الداله العكسيه
لتكن
داله
1-تكون الداله احاديه اذا حققت الشرط
2-تكون الداله f شامله اذا كان مدى الداله هو B اي ان لكل y تنتمى الى مدى الداله نستطيع ايجاد x تنتمى الى المجال بحيث يكون
f(x)=y
3-نسمي الداله تقابلا اذا كانت احاديه (متباينه) وشامله(غامره)
مثال اثبت ان الداله
f(x)=x^3
احاديه وشامله
الحل
لنفرض ان x,y اعداد حقيقيه بحيث انهما غير متساويين
اذن
ومن ثم فان الداله f احاديه كذلك لكل x
بالتالي فان الداله شامله
طبعا على حسب كثرة التمارين يتعود الشخص على سرعة الحل
ليكن لدينا تقابل
بما ان الداله f شامله فانه لكل عنصر y في المدى يوجد عنصر x في المجال على الاقل بحيث يكون f(x)=y وبما ان الداله احاديه فان هذا العنصر وحيد بالتالي نستطيع تعريف داله على الشكل
تعريف
اذا كان الداله
تقابلا فان معكوس الداله
التي تحقق
,ولاحظ ان
كيفية ايجاد المعكوس
اذا كان لدينا داله f تقابل فان الخطوات التاليه تساعدنا على ايجاد المعكوس
1- ضع
2- من تعريف دالة المعكوس نجد ان x=f(y)
3-حل هذه المعادله لايجاد y بدلالة x ان امكن ذلك
مثال
جد معكوس الداله
الحل نحن نعرف ان الداله تقابليه بالتالي ضع x=f(y) ومن ثم فان
وبحل هذه المعادله نجد ان
G H Hardy:
السلام عليكم
الدوال المثلثيه
هناك الكثير من المواضيع التي تتكلم عنها بالمنتدى مثل دروس الاستاذ محمد شكري الجماصي
وسوف اتكلم الان بشكل سريع عن الدوال المثلثيه العكسيه
1-دالة الجيب العكسيه
لو كان
فان
2-دالة جيب التمام العكسيه
لو كان
فان
3-دالة الظل العكسيه
لو كان
فان
4-دالة القاطع التمام العكسيه
لو كان
فاني اترككم تفكرون
5-دالة القاطع العكسيه
لوكان
فان
6-دالة الظل التمام العكسيه
فان
طبعا فكرة تحديد هالمجالات بالذات راح ابينها لكم بالرسم لاني مهما تكلمت فالصوره ابلغ واجمل
والان من المناسب التكلم عن المسافه بين نقطتين
وعذرا على هذا التباين الشديد بالمواضيع لكن هذا تحضير لموضوع النهايات والاتصال والذي سوف نقف فيه ثم نتدرج بشكل اكثر انبساط
طبعا نحن كلامنا عن المستوى الديكارتي اي محور السينات يتقاطع مع محور الصادات
وسمي ديكارتي على مايبدو انه نسبه الى عالم الرياضيات ديكارت الذي هو اول من استخدم الجبر لتمثيل المفاهيم الهندسيه
لنفرض ان لدينا نقطتين
فلكي نحسب المسافه بينهما نستخدم القانون الذي اتركه لكم لكي تبرهنوه
مثال احسب المسافه بين النقطتين
الحل
ومن المناسب الان التكلم عن المعادلات التي تمثل المستقيمات بالمستوى ونسرد الان بعض الحقائق التي يجب ان يكون القاريء ملما بها
1-يعرف ميل مستقيم غير الراسي والمار بالنقطتين
بالشكل
حيث m هي الميل
2-اذا كان المستقيم راسيا فان ميله غير معرف (لماذا؟)
3-يمكن كتابة معادلة المستقيم بعدة طرق منها
والتي يمكن تحويلها الى الشكل
حيث m هو الميل
4-تكون المستقيمات متوازيه اذا كان لها نفس الميل
5-لو كان لدينا L و T مستقيمين ميلهما على التوالي n,m بحيث ان n لاتساوي الصفر يكونا متعامدين اذا وفقط اذا تحقق التالي
mn=-1
وبرهانها تمرين للقراء وعذرا على كثرة التمارين لكن المجهود الصعب هو الذي يترك الاثر الفعال والنير في معرفتنا
7-معادلة المستقيم الموازي لمحور السينات هي
y=a
8- معادلة المستقيم الموازي لمحور الصادات هب
x=a
مثال
جد معادلة المستقيم الذي ميله 2 ويمر بالنقطه (1و-5)
الحل
معادلة المستقيم هي
اذا بجعل m=2
والان
اترككم مع هذه الرسمه التي تعبر عن الميل واثره على المستقيم
G H Hardy:
السلام عليكم
امثله
امثله
1-جد
الحل
بما إن
فان
2-جد
الحل بما إن -1
G H Hardy:
تمارين
أ-اوجد المجال والمدى للدالهf في الحالات
ب- بين أي من الدوال التاليه زوجيه او فرديه او خلاف ذلك
ج-في التمارين التاليه جد لكل من الدوال التاليه
د-في التمارين التاليه اوجد f+g ,fg ,f/g
اذا كانت
هـ - اثبت مايلي
و- في مصنع لانتاج الحلويات وجد إن تكلفة انتاج الكيلوغرام الواحد5 ريالات ويضاف إلى ذلك تكلفة انتاج ثابته مقدارها في الاسبوع الاول2000 ريال اذا فرضنا إن كل الكمية المنتجه في الاسبوع x كيلوغرام قد تم بيعها بسعر 7.5 ريالا للكيلوغرام الواحد فجد ربح المصنع بدلالة x
ز- يراد صنع صندوق مفتوح من قطعه مستطيله من الورق المقوى (لونه اخضر) طولها 16 cm وعرضها 10 cm وذلك بقطع مربعات متساويه من اركانها الاربعه (طول ضلع كل منهاcm x) ثم ثنيها كما في الشكل ج جد حجم الصندوق v بدلالة x ثم جد مجال الداله
انتهت المحاضره الاولى
اتمنى ان تعجبكم
وانا ارحب باي نقد بناء واستقبل اي ملاحظه على الشرح
وللاسف هناك اخطاء بمثال بالاعلى سوف اعمل على تعديله بسبب خلل في نقل المعادلات
واشكر الاستاذ ابومعاذ على جهوده معنى
تحياتي
بنروز
تصفح
[0] فهرس الرسائل
[#] الصفحة التالية
الذهاب الى النسخة الكاملة