Advanced Search

عرض المشاركات

هنا يمكنك مشاهدة جميع المشاركات التى كتبها هذا العضو . لاحظ انه يمكنك فقط مشاهدة المشاركات التى كتبها فى الاقسام التى يسمح لك بدخولها فقط .


مواضيع - فاطمه العلي

صفحات: [1] 2
1
الرياضيات العامة اللامنهجية / الرياضيات والمجتمع
« في: أغسطس 12, 2007, 02:23:04 مساءاً »
السلام عليكم
أنا أختكم خلود
أسمحوا لي أن أنقل لكم هذا الموضوع بدل أختي فاطمه العلي فقد دخلت بإسمها بعد ماطلبت مني ذلك
فهي تمر بظروف صحيه صعبه هذه الأيام
وبعثت لي بمواضيع عده حتى أضعها هنا ....


الرياضيات والمجتمع

خالد بن عبدالمحسن الطريقي



التقدم المعلوماتي الذي يعيشه العالم اليوم ، أصبح واقعاً أقرب إلى الحلم ؛ فقبل سنوات معدودات تبتسم عندما يقال لك أن بإمكانك قراءة ومطالعة جريدتك المفضلة وأنت في بيتك ومن غير أن تصل الجريدة إلى منزلك ، وبالمثل تصفح آلاف الكتب ، وانسدال الكثير من المعلومات بضغطة زر ، ودون حيز بالبيت يذكر .

والشواهد كثيرة ، من تدفق فضائي للمعلومة بمبلغ زهيد وبجهد قليل ........  ومصدر هذا التقدم الهائل وقائده هو أم العلوم ( الرياضيات )  عبر الخطوات المنطقية ، وأسلوب حل المشكلات ، وعلم الرياضيات الذي سيطر على العالم أجمع ، وأصبح ومع مرور الأيام علم له أهميته الاستراتيجية للدول من كافة الأصعدة ، في التخطيط المستقبلي  ودراسة السكان ، والاقتصاد ، والأمن .....

حيث يبرز دورها في تعزيز الجوانب السلوكية الإيجابية في حياتنا ، من تنظيم الوقت في الطاعات ، والصلة ، والبر . وفي احترام المواعيد ودقتها التي هي قبل كل شيء خلق إسلامي نبيل .

فصاحب الرياضيات يتعامل مع الأجزاء ويهتم بها قبل الكل ، فزيادة السرعة بمقدار قليل يعتبر تجاوز للسرعة . والتأخر عن العمل دقائق كالمتأخر أكثر ، فهو يؤمن بأن المجموعة الجزئية للمجموعة تحمل خصائص المجموعة بشكل عام .

 أما دورها في كبح وتحجيم الجوانب السلوكية السلبية ، من تحديد وحصر للمشكلة بمحيطها ، وجمع المعلومات حولها وربط المواقف المختلفة وفرض الفروض لها ، واتخاذ القرار الناجع بعد توقع تبعاته ومقارنته بغيره من القرارات . حيث أن للرياضيات خصائصها ومزاياها فهي تعلم وتنمي التفكير والتبرير ، وتدرب الطالب على حل مشكلاته وكيف يكون ناجحاً وواثقاً من نفسه .

إذ أن الطبيعة المجردة للعديد من المفاهيم  والأفكار الرياضية تجعل من تعليمها وتعلمها عملية تحتاج لجهد أكبر  مقارنة بغيرها من العلوم.  

وبعد هذه التوطئة المختزلة ما هو دورنا تجاه المجتمع في التقليل من الفجوة العالقة في الاذهان عن الرياضيات وفائدتها وصعوبتها ؟

لعلي أذكر لكم مقاطع من دراسة أجريتها حديثاً تحوي نتائج وتوصيات

·  سبب دراسة المشكلة :

تعد الرياضيات من المقررات التي تخاطب عقل الطالب وتنمي فيه الاكتشاف وحل المشكلات ، والقدرة على التعامل المنطقي مع ما حوله ، وهذه المادة تعتمد على الفهم و التطبيق ، أكثر من الحفظ والتذكر ومن هذا المنطلق تجد عدم القبول والاستيعاب ، لهذه المادة من قبل الطالب ، مما كان له الأثر الكبير في معرفة أسباب الفجوة والوقوف على الأسباب ومعرفة أسباب أخرى تحول بين الطالب وبين مادة الرياضيات ، وقد حصرت الأسباب من خلال المسابقات التحصيلية ، والاختبارات المركزية والزيارات الصفية بإدارة التربية والتعليم بمحافظة الزلفي  والمقابلات الشخصية ، والمراجع العلمية .

 · أسئلة الدراسة

 تهدف هذه الدراسة إلى الإجابة عن السؤالين التاليين :

1-      ما الأسباب التي تحول بين الطالب وبين مادة الرياضيات ؟

2- ما المشكلات التي تعيق  معلم  الرياضيات  للقيام بمهامه التربوية والتعليمية ؟  

·   فروض البحث :

 انطلاقاً من الاطلاع على بعض البحوث السابقة والرسائل التي تناولت أسباب ضعف الطلاب في مادة الرياضيات ، وتحول بينهم وبينها ، نستطيع أن نحدد فروض البحث بما يلي : -

أ‌)       لا يشعر الطالب بمدى أهمية مادة الرياضيات وارتباطها في حياته للأسباب التالية : -

-           عدم ربط الرياضيات بواقع وبيئة الطالب من خلال المقرر الدراسي  .

-           كثرة المواضيع التي من شأنها أن تحول بين المعلم وبين ربط الرياضيات بواقع واحتياجات الطالب  .

-           مدى تأثير تدريس الرياضيات في الحصص الأخيرة من اليوم الدراسي .

ب‌)  ثمة مشكلات تعيق المعلم لأجل  القيام بمهامه التربوية والتعليمية  .

·     أهداف البحث :

1)       معرفة مدى قيام المعلم  بالمهام الموكلة إليه.

2)       حصر الأسباب وترتيبها من وجهة نظر الطالب ، والاستفادة منها في الميدان  .

3)   معرفة المشكلات التي تعيق المعلم من القيام بمهامه التربوية والتعليمية لمادة الرياضيات  ، من خلال تشخيص بعض العوامل المؤئرة في العملية التعليمية  .

4)       معرفة أسباب تعيق تحصيل الطالب في مادة الرياضيات  .

·     حدود البحث :

الحدود الزمانية :  تم تطبيق هذه الدراسة خلال الفصل الدراسي  الثاني من العام الدراسي 1423/1424هـ .

الحدود المكانية : -  يقتصر هذا البحث على طلاب المرحلة المتوسطة والثانوية  بإدارة التربية و التعليم بمحافظة الزلفي  ( بنين ) .

الحدود الموضوعية : -  يقتصر البحث على طلاب المرحلة المتوسطة والثانوية في التعليم العام بإدارة التربية و التعليم بمحافظة الزلفي  ( بنين )  بالمملكة العربية السعودية .

·     أهمية البحث :  

من المأمول أن تفيد نتائج البحث الحالي فيما يلي : -

1- تقديم بعض المقترحات لرفع مستوى تحصيل تدريس الرياضيات  في مدارس التعليم العام .

2- التعرف على مدى قيام المعلم بالمهام والمسؤوليات الموكلة لهم في عملية التعليم .

3- تقديم بعض المقترحات لتطوير أداء المعلم من خلال حصر الأسباب وترتيبها حسب رأي الطالب .

·     الدراسات السابقة :

                1) دراسة الدكتور عبداللطيف الحليبي والدكتور حمزه الرياشي ( كلية المعلمين بالأحساء ، بعنوان العوامل المرتبطة بانخفاض التحصيل الدراسي لطلاب الرياضيات ، تناولت العديد من العوامل ومنها الازدحام ، وعدم الاهتمام بالضعفاء من الطلاب ، وعدم الربط بين ما يدرس والحياة ، وعدم تنظيم الطالب واهتمامه بالمذاكرة ، والقلق أثناء الاختبار ، عدم حل المعلم لأمثلة وتمارين كافية ، عدم وضوح الهدف من دراسة الرياضيات للمتعلم المعلم لا يقرب المفاهيم الرياضية بالوسائل المناسبة .

2) دراسة الدكتور شكري أحمد بعنوان  قلق التحصيل في الرياضيات .

وأسفرت على أن قلق التحصيل في الرياضيات يمثل ظاهرة مركبة الأبعاد ، يساهم في إحداثها تركيب معقد من العوامل المتعلقة بالاتجاهات ، والقلق ، وأنماط التفضيل الشخصي وغيرها من العوامل المعرفية والنفسية الأخرى .

ومن توصياته :

تأكيد المعلم المستمر لطلابه بأهمية الرياضيات  ، حتى يدرك الطالب أهميتها بشكل جيد ، وخاصة في المراحل الدراسية الأولى وغيرها من التوصيات واحتياج دراسته لمزيد من الدراسات حول الموضوع لمحدودية دراسته .

 3) دراسة الدكتور عبدالعزيز الرويس بعنوان التنبؤ بالتحصيل الرياضي لطلاب الصف الثاني المتوسط ( الثامن ) في المملكة من خلال الابتكار الرياضي والاتجاه نحو تعلم الرياضيات ودرجات الطلاب المدرسية في الرياضيات . ركزت الدراسة على العلاقة بين تحصيل الطلاب في الرياضيات وبين العوامل الثلاثة التالية :

1) الإبداعية الرياضية .

2) اتجاهات الطلاب نحو تعلم الرياضيات .

3) العلامات المدرسية في الرياضيات .

 4)دراسة الدكتور شكري أحمد بعنوان الاتجاهات نحو الرياضيات تلعب دوراً هاماً في مجال تعلم الرياضيات وتوصل إلى أن الطلاب ذوي التجاهات السالبة نحو الرياضيات ينخفض تحصيلهم الدراسي فيها ، والعكس صحيح

 

الأسباب التي تحول بين الطالب وبين تحصيله لمادة الرياضيات من وجهة نظر الطالب
 
1_عدم قناعته بفائدة المادة
 
2_عدم فهم الموضوعات في الأعوام السابقة
 
3_عدم تمكن المعلم من توصيل المادة
 
4_كثرة مواضيع المقرر في الفصل الواحد
 
5_إحساسه بعدم ارتباطها بالحياة
 
6_عدم مناسبة المقرر للمرحلة الدراسية  
 
7_تفاوت المعلمين في إيضاح المعلومة للطالب
 
8_تدريس الرياضيات في الحصة الأخيرة
 
9_قلة الأمثلة والتطبيقات التي ينفذها الطالب في الفصل  
 
10_قلة تمارين الواجبات المدرسية
 
11_دور الإعلام في زرع الفجوة بيننا وبين الرياضيات
 
12_أثر الجليس في التخويف من الرياضيات
 

· النتائج :

بينت الدراسة التي تم تحليلها من البيانات الإحصائية ما يلي :

1)  توزيع المقررات الدراسية في اليوم الدراسي بناءً على طبيعة المادة ، وتحقيق مصلحة الطالب .حيث يرى 42.47%  من العينة أن تدريس الرياضيات في الحصص الأخيرة تأثيره كبير على استيعاب الرياضيات ..ومن وضع تأخير تدريس حصص الرياضيات هو السبب الأول والرئيس في وجود الفجوة بينه وبين الرياضيات ونسبتهم    20.5%  

2) قناعة معظم الطلاب بأهمية وفائدة المادة حيث أن اختيارهم لتأثيرها الكبير أفرز أقل نسبة وهي 19.18%  .  

3) التمارين المقدمة للطالب في الفصل والمنزل مناسبة ولم يذكر أحداً من العينة أن التمارين الفصلية قليلة ونسبة من يرى مناسبتها   100%  ، ومن يرى قلة الواجبات المنزلية ووضعها بالمرتبة الأولى من حيث التأثير هو 5.5 %  .

4) تفاوت المعلمين في الشرح وتوصيل المعلومة للطالب حيث يشكل نسبة للتأثير كبيرة 43.84 %  ترتبط بكثرة مواضيع المقرر من وجهة نظر الطالب 61.64 % بسبب التركيز على العموميات ، وقلة  التركيز على المهارات الأساسية لأهداف الدرس  .

5) عدم فهم الموضوعات  في الأعوام السابقة من يرى تأثيره كعامل بالدرجة الأولى نسبتهم 15.10 % .

· التوصيات :

1)الاهتمام بالجوانب التطبيقية للرياضيات والتركيز على المحسوس ، والعمل على تفعيل معامل الرياضيات بالمدارس .

2) تدريب الطالب على الممارسة للوسيلة لا على مشاهدة الوسيلة التعليمية .

3) تأمين الوسائل المحسوسة للرياضيات وتوظيف تقنيات التعليم لإنتاجها .

4) التركيز على الأنشطة الطلابية المصاحبة للمادة لتشويق الرياضيات للطلاب ، وإبراز الصورة المضيئة والمشرقة والفاعلة للرياضيات  .

5)الاهتمام بمعلم الرياضيات من الصفوف الأولية ، بتوفير المعلم المتخصص ، وتمييزه في جميع المراحل ، نظراً لطبيعة المادة وحاجتها إلى الجهد والتركيز .

6) تأثير نجاح طلاب المراحل الدراسية بنتيجة ضعيفة ، إذ يكفي حصول الطالب على   30 % من الدرجة للنجاح  ، إذ أفرزت هذه النتيجة طلاباً ذا مستوى في الرياضيات ضعيفاً .

7)تطبيق الدرجة الموزونة لطلاب الصف الثاني الثانوي طبيعي ، حيث يدرس الطلاب     ست حصص أسبوعية في الرياضيات ولا يوجد ما يميز هذا العدد من الحصص عن غيرها من المقررات في درجة الاختبار مما يقلل الدافعية لدى الطالب .

8)                أن يقوم الإعلام بدور كبير في بيان أهمية الرياضيات للطالب وللمجتمع لدورها الفاعل في حل المشكلات ، وزرع الثقة .

9)       استخدام المعلم لطرائق تدريس مختلفة ومتجددة وعدم التركيز على طريقة واحدة يكون الدور للمعلم فقط حيث أن التنوع في الطريقة مدعاة لجذب الانتباه وتحقيق الهدف ، فالتعلم الذاتي والتعاوني ، خطوة ناجعة وفاعلة لتعلم التلميذ من التلميذ ومن نفسه بإشراف من المعلم ، واستخدام الاكتشاف وحل المشكلات وغيرها من الطرق فيه إبعاد للملل واكتشاف للموهبة ، وتنمية للقدرة .

10)    يلعب مدير المدرسة دوراً كبيراً في تقليل الفجوة بين الطلاب وبين الرياضيات ، وذلك بتوظيف الإذاعة المدرسية ، والهيئة الإدارية لتحقيق مصلحة الطالب في توزيع حصص الرياضيات في اليوم الدراسي ، بحيث تكون في الحصص المبكرة .

11)          تقويم الأداء الوظيفي للمعلم يرتبط بمدى استخدامه وتوظيفه  للوسيلة التعليمية التي تحقق هدف التعلم .

12)تنفيذ المسابقات التحصيلية على مستوى المدارس ، لغرس التنافس بين المدارس ، وذلك بوضع آلية مناسبة تضمن تحقق الأهداف التربوية والتعليمة ، من تقديم أفكار تربوية ونماذج من الأسئلة تنمي الفكر الرياضي للطالب .

13)تحديد المهارات الأساسية في الرياضيات ليس للمرحلة الأولية فقط بل يتجاوزه إلى الصف الثالث الثانوي الطبيعي بحيث يعرف الطالب المهارات المطلوبة لهذا الصف ، وتزيد من تركيز المعلم على هذه المهارات أكثر من تركيزه على جزئيات بعينها .  


نقلته لكم أختكم خلود
ولاتسوا فاطمه العلي من دعواتكم
والله يحفظكم ويرعاكم




2
الرياضيات العامة اللامنهجية / أمير الرياضيات
« في: أغسطس 10, 2007, 04:06:24 صباحاً »
بسم الله الرحمن الرحيم

أمير الرياضيات





لم يكن عمر جاوس يتجاوز 7 سنوات عندما قدم أولى ملاحظاته الرياضية النبيهة. حياة هذا العالم الكبير ارتبطت بالأرقام التي منحته أسرارها ونجح من خلالها في تحقيق الكثير من الإنجازات العلمية في مجال الرياضيات البحتة والعملية.

 

أحدث التلاميذ جلبة شديدة في الفصل فقرر المدرس معاقبتهم بإعطائهم مهمة صعبة ينشغلون في حلها. المهمة التي طُلب من التلاميذ القيام بها هي جمع الأعداد ما بين 1 وَ 100.
ظن المعلم أن الهدوء سيعود إلى الفصل وأن انهماك التلاميذ في حل هذه المسالة الحسابية سيستمر ساعات، لكن لم تمض بضعة دقائق حتى تقدم صبي من المعلم وقال له أن محصلة جمع الأعداد هي 5050. (انعقد لسان المعلم من الدهشة ثم سأل الصبي: كيف توصلت إلى هذه الإجابة الصحيحة؟). فقال الصبي: إنه لاحظ أن ناتج جمع 1 + 100 هو 101، وناتج جمع 2 + 99 هو أيضا 101، وناتج جمع 3 + 98 هو كذلك 101، ويتكرر الأمر حتى نصل إلى 50 + 51، إذا كل ما علينا هو أن نضرب 101 في 50 وهي عدد مرات التكرار فيكون الناتج 5050.

 

كان هذا الصبي النبيه، ابن السبعة أعوام، هو الرياضي الألماني العبقري كارل فريدرش جاوس.
وقد دلت هذا الحادثة على دقة ملاحظته، ورهافة فهمه لعلم الرياضيات كوسيلة مبتكرة لفهم وتوصيف الظواهر الطبيعية.
ارتبط جاوس منذ صغره بعالم الأرقام،
حتى أنه نفسه كان يقول أنه تعلم الحساب قبل تعلم الكلام.
 واستمرت هذه العلاقة الحميمة طيلة حياته، نجح خلالها في اكتشاف طبيعة الأعداد الأولية، واستطاع تطوير مفهوم الأعداد المركبة، التي ساعدت في حساب الكثير من الظواهر الفيزيائية.
ولم يرتضِ هذا الرياضي الكبير أن تظل أفكاره مجردة تعيش في عالم الجبر والحساب، فاستثمر نظرياته وملاحظاته في مجالات مفيدة من الحياة العملية، مثل قياس سطح الأرض وحساب مسار الأجسام الفضائية وتحديد موعد عيد الفصح فلكيا.

يتبع ـــ>>>

3
الحلزونات بين الرياضيات والطبيعة


 موسى ديب الخوري


يزداد اهتمام العلماء بدراسة أشكال الحلزونات في الرياضيات وفي الطبيعة. هل يمكن أن تخضع قوقعة ومجرة للقانون الهندسي نفسه؟

في الحقيقة يمكننا القبول أن وظيفة الصمامات الصغيرة في أمعاء القرش هي إبطاء دخول كميات الطعام. ولكن كيف نفهم أن طيران مستعمرة من الخفافيش المكسيكية تتبع الأسلوب ذاته؟ إن منحنيات خاصة محددة هندسياً تحديداً كاملاً تنطبق على عدد هائل من التنوعات الطبيعية، من الجزيئات إلى المجرات والسدم، مروراً بالنفثات الملتفة لدخان لفافة تبغ. ونجد آلية الالتفاف هذه في الحقل المغنطيسي للشمس، الذي بيّن السابر أوليس أنه يتطور حلزونياً، وفي نحو 80000 نوع من الرخويات التي تنمو معظم أصدافها ومحاراتها حلزونياً، إلى الطيران اللولبي لبذور القيقب والدردار (الجناحيات من الثمار وحيدة البذرة) التي تسقط في حركة تدومية عندما تنفصل عن الشجرة، إلى الأذن الداخلية التي بفضل تصميمها الحلزوني يمكننا سماع الأصوات.كذلك فإن حبلنا السُري وشعرنا عندما لا يكون أملساً وبصماتنا لها التفاف حلزوني. وهو نفسه التفاف أنياب الماموت الذي استمر في شكل خطم الفيل، كما واستدارات كريات الريش الزرقاء لذكور طيور الفردوس على طرف ذيلها. ونذكر أيضاً الظاهرات التي أُثبتت مؤخراً ضمن تفاعلات كيميائية تحرك ثاني أكسيد الكربون تحت ضغط عالي، وهي تسمى بتفاعلات بيلوسوف ـ زابوتنسكي، ونكتشف فيها كيف أن تغيراً في درجة الحرارة ينظم آنياً أشكالاً حلزونية غير متوقعة في مثل هذه المادة.

ما هو التعريف الرياضي لهذه الحلزونات، وما هي أنواعها؟

يعرف عالم الرياضيات د‘لامبير الحلزون بأنه عموماً خط منحن، يبتعد باستمرار عن مركزه، منجزاً دورات كثيرة حوله. ووفق د‘ارسي تومسون فإن الحلزون عموماً هو منحن يتميز بنقطة أصل، وينقص انحناؤه كلما ابتعدنا عن هذه النقطة. ولهذا يتم التمييز وفقه بين الحلزونات واللوالب التي لا يحقق دورانها ابتعادا عن المركز. وكان أول من حدد حلزوناً معيناً هو أرخميدس ويُعرف الحلزون باسمه. والمنحني الذي يرسمه منتظم. وقد عرّفه أرخميدس من منظور حركي، معتبراً نقطة تتحرك على مستقيم بسرعة ثابتة في حين يدور هذا المستقيم بسرعة زاوية ثابتة حول إحدى نقاطه. وفي هذه الحالة تزداد اللفات بشكل عددي. أما النمط الثاني من الحلزونات فاكتشفه ديكارت عام 1638. وهو يشتمل على الحلزونات المسماة باللوغاريتمية، أي التي يزداد عدد لفاتها وفق متتالية هندسية. وتمثل القوقعة بامتياز هذا النوع من الحلزونات. فهي تتميز بازدياد مستمر في سعتها وفق معامل ثابت. ومع نمو القوقعة، الذي يوافق إضافة حجيرة جديدة إليها، تكون كل إضافة مماثلة هندسياً تماماً للشكل السابق. ويساعد على ذلك المادة التي تتكون منها هذه القواقع، وهي من كربونات الكالسيوم المنحل في مياه البحار. ويمكن اعطاء أمثلة لا تنتهي على هذه القواقع الحلزونية. ولعل أحد أروع الأمثلة على هذه الحلزونات هو شبكة العنكبوت. فخيوط الشبكة اللولبية تتراص وتتقارب من بعضها كلما اقتربت من المركز. وعند مسافة معينة فإنها تتوقف فجأة، ويظهر الحلزون الاضافي الذي لم يُدمَّر في منطقة المركز فيكمل نحو المركز بدورات أكثر فأكثر تقارباً. ويكاد الشكل الناتج يطابق الوصف الرياضي

ماذا عن هذه الحلزونات في المملكة الحيوانية الأكثر تعقيداً؟

ترجع أقدم الدراسات التي أشارت إلى وجود بنية حلزونية في الحيوانات إلى عام 1668 . ففي دراسة لأمعاء سمك القرش، دهش العلماء لشكله المميز. فثمة في جهازه الهضمي صمام حلزوني، يحقق شكلاً هندسياً يقتصد كثيراً في المساحة التي يشغلها. وهو عبارة عن حلزون لولبي يسمح له بهضم فرائس كبيرة الحجم. ويستند هذا اللولب من أحد طرفيه على جدار الأمعاء. وسبب ذلك هو إبطاء دخول وجبات الطعام من أجل المساعدة على الهضم. فالطريق الحلزوني يجعل الغذاء يستغرق وقتاً طويلاً للمرور على الرغم من قصر المسافة المباشرة. وقد استلهم أحد المعماريين فيما بعد من هذا الشكل الحلزوني لأمعاء القرش شكل درج برج متحف اللوفر ثم مرصد باريس، وهو درج حلزوني إنما لا يرتكز على محور حامل! وقد بينت الدراسات اللاحقة أن هذا الشكل موجود عند أنواع أخرى مثل سمكة اللياء أو الري. ويميز العلماء اليوم أربعة أنواع من الصمامات، وأهمها وأكثرها إدهاشاً عند سمكة الري إذ يتميز بمحور مركزي ساند مما يزيد من تأخير مرور الغذاء. إن هذه الصمامات تسمح بامتصاص أفضل للمادة الغذائية بعد تعرضها للعصارة المعدية، وتضاعف هذه الصمامات السطح الماص بين ثلاث إلى ست مرات أكثر بالنسبة إلى أمعاء لا تحتوي على مثل هذه الصمامات الحلزونية.

هل يمكن لعدة أنواع من الحلزونات أن تلتقي في تشكيل عضوية حية؟

كان د’ارسي تومسون قد حلل بعمق التزاوجات بين اللوالب والحلزونات اللوغاريتمية. واستطاع بدراسة قرون الوعل أو العنز البري تحديد إمكانية تزاوج هذين الحلزونين. إن الحلزون اللوغاريتمي، الذي يميز نمو القوقعة بزاوية ثابتة، له شكل مسطح. وفي حالة قرون البقريات، فإن هذه القرون تتشكل وفق هذه الحلزونات ، لكنها تراكب فوقها لولباً يرتفع في الفراغ على شكل مخروط. ومهما كان الأمر ، بالنسبة للقواقع أو لقرون الحيوانات، فإن الحلزونات اللوغاريتمية تميز النسج الميتة وليس النسج الحية. وهذا هو السبب في أن هذه البنية تكون دائماً مزينة  أو مترافقة بخطوط النمو، وهي شواهد على الأشكال والحجوم المتلاحقة التي مرت بها المتعضية. إن أكثر ما يدهش العلماء في هذه القرون الحلزونية هو خصائصها التناظرية. فالقرون تنمو مثنى مثنى، باستثناءات نادرة جداً، لكنها تنمو بحيث يبدو أحدها كصورة للآخر في المرآة، فالقرنان لا يلتفان بالتالي في الاتجاه نفسه. ويفتح هذا الامر مجالات واسعة للبحث. ويزداد العلماء دهشة عندما لا يكون الانتظام الحلزوني في متعضية واحدة بل صفة لمجموعة من الكائنات معاً! ومثال ذلك الطيران الذي يقوم به آلاف من الخفافيش المكسيكية التي تحيا في مستعمرات في كهوف جنوب الولايات المتحدة. وتخرج هذه الخفافيش كل يوم من كهوفها وترتفع على نسق واحد ودون أي تغير راسمة لولباً هائلاً يلتف دائماً إلى اليمين. ولم يمكن برهان أية فرضية حتى الآن حول سبب اتجاهها اليميني عند ارتفاعها الجماعي. إن وجود هذه الاشكال الحلزونية في الطبيعة جعل بعض العلماء يعتقدون أن هناك قانوناً ناظماً على المستوى الفيزيائي والبيولوجي يحكم تشكل الكائنات وفق أنساق حلزونية. ومع ذلك يرى فريق آخر أنه على الرغم من التشابه الكبير فيما بين هذه الأشكال، لكنها لا تبدي في الواقع أية صلة بيولوجية . ولهذا فقد يستحيل وجود قانون فيزيائي أو ديناميكي وحيد ، في حين أنه يمكن أن يوجد بالتأكيد قانون نمو رياضي يفسر توافق هذه الأشكال كلها.

4
ا

لسلام عليكم
القصة هذه قرأتها وأحببت أن أنقلها لكم


غزا الإنسان الفضاء ( بعقله ), وسيبقى هذا العقل عاجزاً عن إدراك أمور وأمور,


قد يكون عالماً كبيراً, ولكنه يقع مثلاً ضحية (الأعداد الكبيرة), فيبقى عقله محدوداً عاجزاً.


وكم كبير عقل وفكر,كان ضحية للأرقام الكبيرة, كما وقع ضحيتها (شرهام) ملك الهند, عندما أراد أن يكافىء وزيره(سيسا بن ظاهر)لاختراعه لعبة الشطرنج وإهدائها له, فتظاهر الوزير الماكر برغبة تبدو متواضعة للغاية فقال لسيّده الملك كما تروي القصة القديمة :




(( مُر لي يا مولاي بحبة قمح توضع على المربع الأول من رقعة الشطرنج, وبحبتين على المربع الثاني, وأربع حبّات على الثالث, وثمان حبات على المربع الرابع, وهكذا.. بمضاعفة العدد لكل مربع تالٍ , مر لي يا مولاي بحبات من القمح تكفي لتغطية مربعات الرقعة الأربعة والستين )).



فأجاب الملك :


( لقد أوتيت سؤالك يا وزيري المخلص, فإنك لا تطلب كثيراً ).



ثم أمر بإحضار صاع من القمح


وأخذ يضع حبة للمربع الأول
وحبتين للثاني
وأربع حبات للثالث.. وهلم جراً..


v
v
v


فنفد الصاع الأول قبل أن يعد ما يكفي للمربع العشرين,


فأمر بإحضار (صاعات) أخرى, ولكن تزايد حبات القمح اللازمة للمربعات التالية, كانت من السرعة بحيث أصبح واضحاً أن الملك لا يستطيع أن يفي بوعده لوزيره (سيسا بن ظاهر), حتى لو جمع لهذا الغرض


جميع محصول الهند من القمح.





..............................................................


إذ كان يحتاج الملك (شرهام) ليفي بوعده إلى:

( 18,446,744,073,709,551,615 ) حبة من القمح


ولو حسبنا ما في الصاع الواحد, وحسبنا متوسط محصول العالم كله من القمح في العام الواحد, لوجدنا حبات القمح التي التمسها الوزير المتواضع (الماكر) تعادل محصول العالم كله لمدة (ألفي سنة) تقريباً.

وهكذا وجد (شرهام), ملك الهند, نفسه غارقاً في الدَّين لوزيره مدى حياته, وكان عليه إما أن يواجه طلباته الملّحة المتكررة التي تضايقه أو أن يضرب عنقه, وأغلب الظن أنه لجأ إلى الأمر الثاني.


 '<img'>  '<img'>  '<img'>  '<img'>

5
الرياضيات العامة اللامنهجية / عــلــمـــاء رياضيين
« في: أغسطس 06, 2007, 10:06:45 صباحاً »
السلام عليكم
أتمنى أن تكونا بخير جميعا
ضمن فعاليات مونديال الرياضيات الثاني
هنا أنقل لكم بض الأعلام الرياضيه
وأبرز إنجازاتهم

ـ جوزيف لاغرانج Joseph Lagrange


قدم في تأملات حول الحلول الجبرية للمعادلات Réflexions sur la résolution algébrique des équations مساهمة أساسية لعلم الجبر.
............................................................

أندريي كولموغوروف Andreï Kolmogorov


وضع المسلمات الأساسية لنظرية الاحتمالات.
................................................................
ألسكندر جروثنديك Alxander Grothendiek


يبدأ بنشر أعمال أثرت بشكل عميق على نظرية الفضاءات الطبولوجية والجبر التقابلي والهندسة الجبرية.



يـــــتــــــــــــبـــــــع ـــــ>>




6
الرياضيات العامة اللامنهجية / العدد 37 !!!!
« في: أغسطس 05, 2007, 01:28:52 مساءاً »
السلام عليكم
عجائب الأرقام كثيره وهنا أنقل لكم مايحمل الرقم 37
إذا ضربت العدد 37 في العدد 3 فإنك تحصل على عدد مكون من ثلاثة أرقام متشابهة ، وهو العدد 111 ، وإذا ضربته بمضاعفات العدد ثلاثة فإنك تحصل على عدد أرقامه متشابهة أيضاً :

3 × 37 = 111
6 × 37 = 222
9 × 37 = 333
12 × 37 = 444
15 × 37 = 555
18 × 37 = 666
21 × 37 = 777
24 × 37 = 888
27 × 37 = 999

أو بصيغة أخرى

1×3×37=111
2×3×37=222
3×3×37=333
4×3×37=444
5×3×37=555
6×3×37=666
7×3×37=777
8×3×37=888
9×3×37=999

7
هندسة الدماغ والقابلية الرياضية

أ.موسى ديب الخوري



تبين الأبحاث الحديثة أن أحد أسس الحساب وتصور الأرقام يرتكز على قاعدة بيولوجية عامة.فقد نُظّم في عام 2000 مؤتمر حول الرياضيات ألقيت فيه بعض الأبحاث الجديدة حول الأسس الدماغية للتفكير الرياضي. يثير دماغ الرياضيين العلماء منذ وقت طويل.
وبشكل عام حاول العلماء أن يفهموا الدماغ والآليات التي يستطيع بها نسيج من الخلايا العصبية ونقاط الاشتباك العصبية أن تحول مجموعة من المعلومات إلى نظريات.
وما هي التمثيلات العقلية والبنى العصبية التي تعطي للدماغ البشري ـ وللدماغ البشري وحده ـ إمكانية استكشاف الحقائق الرياضية.
ولا يخفى الإمكانية الهائلة التي تنفتح أمام العلم وخاصة العلوم المعلوماتية لو أمكن التقدم في هذا المجال. ولا ننسى أن دماغ (العالم ألبرت أينشتين) كان موضوع أبحاث كثيرة أجريت عليه خلال حياته وبعد موته في محاولة لفهم آليات الإبداع العلمي لديه.
 وفي عام 1985، استطاع أحد العلماء في جامعة بركلي أن يبرهن على وجود كثافة عالية اكثر من المعتاد من الخلايا التي تشكل محيط الخلايا القشرية في المنطقة الجبهية من القشرة الدماغية لدماغ أينشتين.
وفي عام 1999، أي بعد أربعين سنة من وفاة أينشتين، برهن أحد العلماء على وجود تشوه غير مألوف في البنية التشريحية لدماغ هذا العالم. وكان هذا التشوه كبيراً إلى حد أن منطقة كاملة من القشرة الدماغية هي الطباق الجبهي كانت غائبة من القشرة الدماغية.
وعلى الرغم من أهمية هذه الأبحاث لكنها لا تشير إلى شيء واضح بالنسبة للقدرات الدماغية. من جهة أخرى وضع العلماء برنامجاً لدراسة أدمغة علماء الرياضيات بشكل مقارن،
ويقول أحدهم إن الأدوات الرياضية تتطابق ولا بد مع حالات فيزيائية في دماغنا، بحيث لا بد في النهاية من رصدها بطرق تجريبية بفضل تطوير تقنيات التصوير الدماغي. وتسمح فعلاً التقنيات بالتصوير بالرنين المغنطيسي الوصول إلى دراسة تجريبية لكيفية تمثل الدماغ لأبسط الأدوات الرياضية التي يتقاسمها البشر كلهم ألا وهي الأعداد الصحيحة.

لماذا وقع اختيار العلماء على الأعداد بالذات؟
 لأن الأعداد تشكل أحد البنى الأساسية للرياضيات على مر العصور، وكانت من أولى الاكتشافات التي حققها البشر. ولأن مسألة أساس الحساب تحتل مكاناً أساسياً في فلسفة الرياضيات، منذ أفلاطون وديكارت وحتى راسل وهيلبرت وغيرهم.
ويرى العلماء أن أحد أسس الحساب، وهو تصور مفهوم الرقم أو العدد، يرجع في أصله إلى الهندسة البنيوية لدماغنا. وحدس مفهوم العدد متأصل ومتجذر في تلافيف قشرتنا الدماغية إلى حد أننا عندما نجري الحسابات لا ننتبه أبداً إلى أهمية ذلك .
فنحن ندرك دون بذل أي مجهود أن 3 أصغر من 5.
ويبدو لنا من المنطقي جداً أن 2 + 2 = 4، ولا ندرك أن الهندسة البنيوية للدماغ هي وراء هذه النتيجة.
ولم يدرك العلماء أهمية الدماغ في هذه العملية إلا منذ نحو ثمانين سنة، عندما انتبهوا إلى أن تشوهاً دماغياً في المنطقة الجبهية في سن البلوغ وما قبل يمكن أن يؤدي إلى عدم فهم كامل لمعنى أو لمفهوم العدد. ويمكن أن يصل الأمر إلى حد عدم إمكانية قراءة وفك رموز الأعداد. وفي حالات أخرى قد يحفظ بعض المصابين ألفاظ الأعداد بل وحتى جدول الضرب، لكنهم لن يفهم أبداً معنى عملية جداء عددين ولا نتيجتها. وفي إحدى الحالات لم يستطع مصاب في حادث تعرض لتشوه في الفص الجبهي الأيمن أن يعرف معنى طرح عددين. وهذا يشير إلى أن العدد في النهاية مرتبط ارتباطاً وثيقاً ببنية دماغنا.

ما هي النتائج التي يصل إليها العلماء من دراساتهم هذه؟
هناك عدد كبير من هذه الحالات أصبح مسجلاً في دراسات منهجية. وهي تشير كلها إلى أن تشوهات تلافيف المنطقة الجبهية تترافق باضطرابات حادة في إمكانيات حدس الكميات. إن عسر الحساب مماثل عند الأطفال لعسر القراءة، وهو يتراوح بين 3 إلى 6 % عند الأطفال بحسب النشرات الإحصائية القليلة المتوفرة.
 وبعض هؤلاء الأطفال يعانون من نقص حاد في الحساب يماثل النقص الذي نجده عند البالغين الذين تعرضوا لحادث أثر على دماغهم. ومن الأبحاث الهامة التي يعتمد عليها العلماء دراسات تمت على شاب عادي الذكاء ويعاني من صعوبات كبيرة في التعامل مع الأرقام. وهذا الشاب يملك مؤهلات ممتازة، فهو دكتور في علم النفس ويتقن اللغة إتقاناً ممتازاً.
ومع ذلك فهو يحتاج دائماً للعد على أصابعه لإنجاز العمليات الحسابية. وبينت التحليلات النفسية أنه ليس لدى الشاب أي تصور لمفهوم العدد، وهو غير قادر على تحديد عدد الأشياء الموجودة أمامه مثلاً حتى وإن كانت 2 أو 3، هذا إذا لم نترك له الوقت لعدها على أصابعه. وهو يحتاج دائماً إلى العد ليعرف إن كان العدد 9 أكبر من العدد 2. وبين التصوير بالرنين المغنطيسي وجود تشوه في الموضع نفسه الذي افترض العلماء أنه توجد فيه السيالات الخاصة بالفهم الكمي للأشياء، أي في المنطقة الجبهية السفلى. ويبدو أنه حتى قبل الولادة يمكن أن يحدث تشوه او ارتحال غير عادي او ناقص في أعصاب القشرة الدماغية.
 ويبدو أن بعض الأمراض الوراثية أو حتى بعض العوامل مثل التعرض للإدمان على الكحول خلال الحمل يؤدي إلى مثل هذه التشوهات الدماغية المبكرة. إن العلماء يؤكدون حالياً أن نقص القدرة الحسابية الكبير يرجع إلى البنية الدماغية.
وكان يُعتقد أن الرياضيات هي بناء يرجع إلى أساس ثقافي وبيئي يرتكز على اختراع الرموز والقواعد الشكلية، أو أنها لغة عالمية تصف البنية الكونية. لكن يبدو أن هذه اللغة لا يصبح لها معنى إلا لأن دماغنا مزود منذ الولادة بتيارات عصبية قابلة لإدراك البنية الحدسية للمجال الذي سيصبح الرياضيات. فإن كانت الرياضيات العالية تبنى بفضل اللغة والتعليم لكن أساسها أكثر اولية ويكمن في مفاهيم بسيطة مثل الأعداد والفضاء والزمن والعمليات… وهي مفاهيم أولية لا بد أنها موجودة في الدماغ بشكل أولي. لكن وجود قاعدة عالمية بيولوجية لمعنى العدد لا يعني أن بعضهم يمكن أن يلدوا مزودين بكم أكبر أو بقدرة أعلى على التعامل بالأعداد وبالرياضيات. بل على العكس، فإن الحدس العددي هو حصيلة مورثية موجودة عند الجميع، وهي تنمو بدرجات مختلفة بحسب الفرص والاهتمام الذي ينصب عليها.


أختارته لكم فاطمه العلي .....(مونديال الرياضيات الثاني )
ودمتم بخير جميعاً .




8
منتدى علم الطب / أستفسار الله يرضى عليكم
« في: أبريل 07, 2007, 01:49:14 صباحاً »
السلام عليكم
أسعد الله أيامكم بالطاعه

أتمنى الأجابه عن سؤالي
التنميل في الأطراف بصوره مزعجه
والألم في العظام وكأنه لسع كهرباء يؤلم بقوه ,,,,, ماهو تشخيصه  وأسبابه

شاكرة ومقدره
ـــــــــــــــــــــــ
فاطمه العلي

9
الدراسات والتعليم الجامعي / الدوال التحليليه
« في: فبراير 08, 2007, 03:00:01 مساءاً »
بسم الله الرحمن الرحيم
الدوال التحليليه          "Anaytic Function"
نتناول هنا الدوال في متغير مركب

دوال المتغير المركب

لتكن Sفئه من الأعداد المركبه *.f داله على S * نعني بهذا التعبير أن هناك قاعده تحدد لكل عدد zفي s عدد مركب wيقال له قيمة الداله f عند z... يعني


مــــــــلاحـــــظـــــــــه
(تناولنا دراسة الأعداد المركبه مسبقاً هنا )
 
صورة الداله f
 نفرض  أن
 
هي قيمة الداله f عند أي أن


uوv عددان حقيقيان يعتمدان على المتغيرين الحقيقين x وy  
فمثلاً

وبذلك نجد

إذن نستطيع أن نعبر عن دالة المتغير المركب z بواسطة زوج مرتب من الدوال الحقيقيه في المتغيرين الحقيقين x وy :  



النهايات
لتكن  
 داله معرفه لجميع نقط جوار ما للنقطه اللهم عند فيما عداالنقطه
 
يكون العدد المركب عندما تقترب من

ونكتب      

يعني أن النقطه w يمكن أن نجعلها قريبه قرباً اختياري من بأختيار مناسب للنقطه z بحيث تكون قريبه قرب كافي من
أي أن
لكل عدد حقيقي موجب
يوجد عدد حقيقي موجب
بحيث

طالما كان

نكمل لاحقاً بعون الله
شكراُ .....

10
الرياضيات العامة اللامنهجية / مراجع باللغه الأنجليزيه
« في: سبتمبر 14, 2006, 09:37:47 صباحاً »
السلام عليكم ورحمة الله
في البدء طابت أيامكم أخواني الكرام
والله إن الأنسان يشعر بالحرج من تقصيره وأخذه دون عطاء من المنتدى لكن لعل أعترافه هنا يخفف من تقصيره .... فالمعذره وتحملوا طلببي

أنا أريد مراجع باللغه الأنجليزيه تتحدث عن المرونه Elasticity

                         وكتاب عن فرضيات الأجسام المستمره

وأكون لكم من الأعماق شاكره ......




11
الدراسات والتعليم الجامعي / التعميه ..... علم التشفير
« في: أغسطس 23, 2006, 11:15:06 مساءاً »
بسم الله الرحمن الرحيم

أقدم لكم هنا أحدى الطرق المستخدمه في الحفاظ على سرية الرسائل المرسله عبر قنوات الإتصال المختلفه
إن العلم المعني بهذا الأمر هو علم التعميه أو علم التشفير
ونحتاج في هذا الموضوع لحساب المصفوفات قياس n وفكرة التحويلات وطريقة الحذف لجاوس

يهتم علم التعميه بالمحافظه على سرية الرسائل المهمه المرسله عبر قنوات الأتصال المختلفه

وبهذا الموضوع نبدأ نعرف بعض المصطلحات المستخدمه في علم التعميه

النص الواضح : الرساله قبل تعميتها

النص المعمى : النص اللذي نحصل عليه  بعد إجراء التعميه

التعميه والتشفير :تحويل النص الواضح إلى  نص معمى  

فك التعميه : تحويل النص المعمى إلى النص الواضح

مفتاح التعميه :هي مجموعة القيم التي تستخدم في وصف عملية التعميه

ولايفوتنا أن من أبسط عملية التعميه هي طريقة التعويض وهي إبدال كل حرف بحرف أخر
وهذه الطريقه لاشك أنها سهله الكسر أي من السهل فك الشفره ومعرفة النص الواضح وذلك من حساب نسبة التكرار لكل حرف في النص المعمى

ومن إحدى أحد الطرق المستخدمه للتغلب على مشكلة ضعف طريقة التعميه هي تقسيم النص إلى مجموعات متساويه من الحروف ثم تشفر كل مجموعه على حده وتدعى هذه الطريقه في التعميه بالطريقه "الـتــــعـــدديـــه "

وسأقدم لكم هنا طريقه هِـــل في التعميه (Hil Ciphers)

وتعتمد هذه الطريقه على استخدام المصفوفات كتحويلات خطيه

أعود بعد قليل لإنقلها لكم متمنية أن أكون وفقت بأختيار الموضوع

12
الدراسات والتعليم الجامعي / المتجهات .بصوره مختصره
« في: أغسطس 09, 2006, 06:52:00 مساءاً »
بسم الله الرحمن الرحيم

هنا نعطي صوره عامه مختصره عن المتجهات لكل مبتدئ نسأل الله أن تكون واضحه لأخواننا المبتدئين وتذكير لمن مرت عليه هذه المعلومات

1_المتجه : هو كميه لها مقدار واتجاه مثل القوه والأزاحه والسرعه يرمز له بالرمز



2_يرمز لطول المتجه

 
3_ يتساوى المتجهان

إذا كان لهما نفس المقدار والأتجاه ..

4_ المتجه اللذي له اتجاه عكس أتجاه ونفس مقداره يرمز له بالرمز

5_ متجه الوحده هو متجه طوله الوحده

6_ يمكن تمثيل أي متجه  


في ثلاث أبعاد بمساقطه على محاور الأأحداثيات  

ومساقطه لتكن هي    

ويكون طوله



أعتذر من أخواني إن كانت مقالاتي دائم قصيره فلظروف صحيه تعيق البقاء طويلاً على الجهاز أعتذر منكم .......... وأتمنى أن تكون معلومه سهله جيده ماأضفتها لكم اليوم
أعود لكم بعون الله




13
بسم الله

كتب العالم فيرما على هامش إحدى صفحات كتابه ديفانتس العباره التاليه

"" إن من المستحيل كتابة مكعب حاصلاً لجمع مكعبين ، وكذلك من المستحيل كتابة عدد مرفوع للقوه أربعه كحاصل جمع عددين مرفوعين للقوه أربعه ، .... وبصوره عامه يستحيل كتابة أي عدد مرفوع لأي قوه أكبر من 2 حاصلاً لجمع عددين مرفوعين للقوه نفسها ....
                               إن لدي البرهان لهذه الحقيقه المذهله ولكن للأسف الشديد
                             مساحة الهامش صغيره جداً بحيث لاتتسع لكتابة البرهان ""

من المحتمل أن يكون لدى فيرما الحل لهذا اللغز في ذلك الحين ومن المحتمل أيضاً أن برهانه كان خاطئاً ولكن ظل ماذكره فيرما يسمى من ذلك الحين بحدس فيرما الشهير

وقد حاول علماء الرياضيات حل حدس فيرما ولك كان مايصلون إليه براهين لحالات خاصه ..
وكذلك الأكاديميه الألمانيه خصصت قبل الحرب العالميه الأولى مبلغ مائة ألف مارك جائزه لمن يستطيع حل حدس فيرما ..... وحاول الكثير طمعاً في الحصول على الجائزه ولم يفلح أحد
وتمكن الرياضي الشهير "" أندرو وايلز " من جامعة برنستون بمساعدة أحد تلاميذه من برهان حدس فيرما في عام 1994 م





هذه صوره للعالم "اندرو وايلز"         مقتبسه من موضوع الأخ الفاضل Roger Penrose
صوره جميله من قسم الفيزياء




14
الدراسات والتعليم الجامعي / نسترجع دروس في الجبر
« في: يوليو 02, 2006, 03:12:26 صباحاً »
بسم الله الرحمن الرحيم
بــعــد الــتحيــه
 أخذت على نفسي عهداً أن أقضي اجازتي مع الجبر ودروسه استرجع فيه مادرست
وأضيف الجديد لي ولكم هنا

أنا سأجمع لكم بعض ماسأتناوله بهذه الإجازه هنا .... عساي أقدم لكم ماتنتفعون به
وهي فرصه حتى تختبروا أختكم فاطمه هل هي طالبه مجده أولا ؟؟؟؟

انتظروا الطالبه المجده غداً ................ أو بعد غد  ':201:'

15
بسم الله
بعد حمد الله والصلاة والسلام على نبينا محمد معلمنا الأول

نبدأ نتعلم الدرس الأول من الأعداد المركبه
وكلي أمل أن تعم الفائده للجميع .... مع العلم أننا سنسير خطوه خطوه مع أخواننا المبتدئين
نفع الله الجميع .... نبدأ على بركة الله ..

بسم الله الرحمن الرحيم

الأعداد المركبه   * Complex  Numbers    *

يمكن أن نعرف العدد المركب   Z على صورة زوج مرتب

إذا أخذت Z   الصوره التاليه




حيث


* أعداد حقيقيه *

لو كانت قيمة العدد الحقيقي X  مساويه الصفر فإن


تسمى Z عدد تخيلي .
وعلى ذلك فإن *X * هو الجزء الحقيقي  Real Part
و * y *  الجزء التخيلي Imaginary Part

ونكتب إختصاراً



## بمشيئة الله تكون وضحت صورة العدد المركب بجزئيه الحقيقي والتخيلي ##

الأن لدينا العددين



نقول أنهما متساويان إذا وفقط تساوى جزئيهما الحقيقيان
وتساوى الجزئان التخيليان لهما أي أن


جمع الأعداد المركبه
نجمع الجزئين الحقيقين معاً والتخيلين معاً



ضرب الأعداد المركبه
نتبع القاعده التاليه



نواصل لاحقاً وأتمنى أن تتضح الصوره

صفحات: [1] 2