الإخوة الأحباء في منتدى الرياضيات
تحية المساء ، أما بعد
تُسعدني المشاركة معكم في مونديال الرياضيات الثاني 2007 وسأقدم لكم اليوم موضوعاً شيقاً عن مربعات الأعداد ، فكثيراً ما يواجه الطلبة في الإمتحانات إيجاد مربع عدد ما فيعتمد على الآلة الحاسبة في حين أن القليل من التفكير يوصلنا إلى مربع العدد ، وبعملية عكسية نستطيع أيضاً إيجاد الجذر التربيعي بطريقة سلسة ، وسأبدأ اليوم بأبسطها وأتدرج إلى آخر ما توصلت إليه من أفكار وملاحظات بطريقة الاستقراء الرياضي .
1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 هي متوالية حسابية حدها الأول 1 وأساسها 2
ونلاحظ أن مربع العدد 1 هو الحد الأول من المتتالية
ومربع العدد 2 هو مجموع الحدين الأول والثاني ، أي أن : مربع العدد 5 هو مجموع الحدود الخمس الأولى 1+3+5+7+9 = 25
ولإيجاد مربع العدد 6 نضيف 11 إلى 25 فيكون الجواب 36 .
وهكذا 36+13 = 49 وهو مربع العدد 7 ، إذاً كيف نوظف هذا الاستقراء الرياضي في إيجاد مربعات الأعداد ؟ بمتابعة المحاكمة السابقة نستطيع أن نكتب :
36+6+7 = مربع السبعة ، أي أن :
مربع 7 إذا أضفنا له 7 ثم 8 لكان الناتج مربع 8 .
هذا يعني أن مربع العدد 25 إذا أضفنا إليه 25 + 26 يعطيني مربع 26 ( وكما تلاحظون أن 25+26 = 51 وهو الفارق بين مربعي العددين المتتاليين 25 و 26 ) أو 25×2 + 1 كما لاحظ أغلبكم .
وبالفعل 25 للتربيع هو 625 وإذا أضفنا له 51 أي 25+26 لأصبح الناتج 676 وهو مربع 26 .
حاولوا تجريب هذا الأسلوب بالعكس أيضاً ، فإذا كان 14 للتربيع هو 196 فإن طرح 14 و13 يوصلني إلى مربع 13 ( 196 - 14 - 13 = 169 ) أي نطرح ( 13×2 +1 )
آتي الآن إلى مربعات الأعداد التي آحادها خمسة ، لأنها تتصف بخاصية فريدة ويمكن حفظها بسهولة ، مثال :
15 25
15× بالفصل نجد أن 15×
225 225
نفصل الآحاد عن العشرات ونضرب خمسة بخمسة ونضع الجواب ، ثم نضيف 1 إلى إحدى العشرات فتصبح 2 ونضرب العشرات بالعشرات المضافة 1×2=2 ونضعه بفئة المئات فيكون الجواب 225 .
مثال 2 لتثبيت الفكرة :
65 75
65× لأنه بالفصل 65×
4225 4225
وسأعتمد على هذه الأسلوب المعروف في التوصل إلى مربعات الأعداد الأكبر ، وليكن 125 ، إليكم الطريقة :
125 بحذف العشرات 2
125× بحذف الآحاد والعشرات 25 ، أي أن الحذف يتم بشكل الحرف اللاتيني L
15625
ماذا يبقى لدينا بعد الحذف :
15
1×
15 وهي في خانة الآلاف ونعلم أن مربع 25 هو 625 كما علمنا في الفقرة السابقة ليصبح الجواب 15625 وهو مربع العدد 125 .
( لاحظوا سرعة إيجاد الجواب )
وإذا أردنا معرفة مربع العدد 126 نضيف 125+126 أي 251 إلى 15625 فيصبح 15876 ومعظم هذه العمليات يمكن إجراءها ذهنياً وبدون أي لبسٍ فيها .
سأكتفي اليوم بهذه المرحلة لأرى ردود فعلكم حولها ، وأرحب بكل الأسئلة التي تودون طرحها ، جربوا أعداداً من عندكم وستجدون متعة في إيجاد الأجوبة بكل يسر وسلاسة ، وفقكم الله والشكر الجزيل للمشرفين والمشرفات على منتدانا وأخص منهنَّ الأختين فاطمة العلي و Maths وإلى الملتقى .
أخوكم وانيس بسام يعقوبيان
حلب - سوريا
melyac@scs-net.org
عرض المشاركات