مواضيع

46

منتدى علوم الحاسب / الكمبيوتر المحمول

« في: أغسطس 26, 2003, 12:41:52 مساءاً »

السلام عليكم
هذه فكرة عامة عن الحاسب الآلي المحمول نشرته في مجلة المواقف البحرينية
http://www.angelfire.com/ab2/shukri/mawaqf/labtop.htm
الجدول الكامل موجود في الشبكة حتى 1997 فيما اعتقد

47

منتدى علوم الحاسب / ملفات الحاسب الآلي

« في: أغسطس 23, 2003, 09:31:59 صباحاً »

**************** الملفات في الحاسب الآلي *****************
   من الطبيعي أن يكون الاهتمام الأكبر في الحاسب الآلي هو الملفات بكافة امتدادها لما تلعبه من دور كبير في تشغيل الحاسب الآلي وتنفيذ كافة البرامج المتعلقة به كلاً في اختصاصه وسنسرد هنا كافة الطرق لحفظ الملفات خلال السنوات الأخيرة:
(1) فقد بدأت الملفات تحفظ على القرص الصلب (Hard disk) الذي تطور تطوراً سريعاً خلال سنوات قليلة فتعدى حجمه (Size) مئة جيجابايت ( 100 GB) وأصبح من الصعب الحصول على فئة 5، 10 جيجابايت ويبقى حفظ الملفات على القرص الصلب الأساس بقصد الثقة والسرعة
(2) القرص المرن (Floppy disk) بحجم 1.4 ميجابايت ولا يمكن مقارنته بحجم القرص الصلب السالف الذكر ولكنه يلعب دوراً أساسياً في نقل الملفات من جهاز لآخر وقد واجهنا مشكلة الملفات ذات الحجم الأكبر من 1.4 وهذا ما أوجد  برامج لضغط الملفات على أكثر من قرص مرن (WinZip) بقصد نقلها من جهاز لآخر وما زال هذا القرص يستخدم بدرجة لا بأس بها في عملية نقل الملفات.
(3) قرص الليزر (CD-RW) بحجم 700 ميجابايت وهي سعة تعادل وهي سعة كبيرة جداً بالنسبة للقرص المرن وهو ما يعني عدم استخدام برنامج (WinZip) سالف الذكر حال توفره في الحاسب فأصبح الحفظ عليه أمر سهل وبالتالي يستخدم في أي جهاز آخر بوجود مشغل الأقراص المضغوطةD-RW) أو CD-R) وأقراص الليزر هذه أصبحت هي السائدة اليوم لحفظ الملفات والبرامج.
(4) البريد الإلكتروني يعتبر وسيلة لنقل الملفات حيث يكتب الملف في جهاز المنزل مثلاً ويرسل الملف كملحق (Attach) مع رسالة عبر البريد الإلكتروني حيث يستقبله في الحاسب في العمل مثلاً ويعتمد حجم الملفات هنا على الحجم المعطى لصاحب الشأن في البريد الإلكتروني وبالطبع الأمر مكلف هنا مالياً ووقتاً وخاصة للملفات ذات الحجم الكبير ولا مانع استخدامه للملفات الصغيرة.
(5) الصفحة في شبكة الإنترنت (Home page) فإذا كنت أمتلك صفحة عبر الشبكة خاصة بي ( يمكن عملها مجاناً) فبالاستطاعة نقل الملفات عيرا الصفحة هذه بأن يتم رفع الملف (Upload) إلى الصفحة من حاسب البيت وبعدها يتم تنزيله (Download) على حاسب العمل من الصفحة نفسها عبرا برنامج خاص بنقل الملفات وتنزيلها مثل WS_FTP أو عبر فتحها من الشبكة وحفظها على القرص مثلاً
(6) استخدام كيبل النقل (Lab link) وهو يصل جهازين باستخدام مخرج (الطابعة مثلاً) حيث يكون أحد الجهازين رئيسي والآخر فرعي وكان يستخدم بكثرة قبل وجود أقراص الليزر وما زال يستخدم للآن
(7) القرص الصلب نفسه بما يحويه من الملفات المطلوب نفلها يتم نقله من جهاز لآخر حيث تجرى عمليات نقل الملفات وهو أسرعها ولكن أخطرها ويحتاج لفني لعمل ذلك
( على القرص الصلب أو غيره لنقل ملفات من مكان لآخر مثل من C: إلى D: كتجزئة للقرص الصلب وتتم عمليات النقل باستخدام النسخ واللصق (Copy, Paste) مثلاً
(9) النقل عبر الشبكة المحلية عن طريق Sharing لمجلد في جهاز وقراءة المجلد في جهاز آخر
فيما ذكر أعلاه لكل طريقة تفصيلاتها في عمليات النقل للملفات وحفظها وعمل نسخة احتياطية منها خوفاً من التلف سواء على ما ذكر أو خلافه كوجود أقراص خاصة بحفظ البيانات الكبيرة شهرياً أو سنوياً وهو ما يستخدم في المؤسسات الكبيرة وما ذكرناه هو الشائع عند معظم مستخدمي الحاسب الآلي.
                 محمد شكري الجماصي
 مجلة المواقف العدد 1305 بتاريخ 2 / 6 / 2003م

48

منتدى علوم الحاسب / الحساب والحاسوب

« في: أغسطس 22, 2003, 03:40:26 مساءاً »

السلام عليكم
منذ بدء الخليقة "إني جاعل في الأرض خليفة" فكان آدم عليه السلام ثم حواء وأبناءهم ثم ... وكانت الحرب مستمرة منذ قوله تعالى"أهبطوا منها " آدم عليه السلام والشيطان لعن الله عليه وكلاً يجد ويجتهد في ما هو عليه فذرية آدم قسمان لا ثالث لهم الأول ينادي للحق والجنة والنار والثاني على عكسه وكان وما زال الأمر صعب لكل منهما وهدفي هنا هو التوصل لنقطة واحدة سئلت فيها كثيراً كيف يحاسب الله الناس وكيف يعلم بكل صغيرة وكبيرة وما الشيء المقنع لكل ذلك فكانت فكرة مجرد فكرة وليس على الله سبحانه وتعالى أي أمر صعب على الاطلاق هذا لمثلي وأمثالكم ممن يؤمنون بالله واليوم الآخر.
كنت صغيراً وأنا استمع للبلورة السحرية بل كنت أدفع ربع رغيف من الخبز لأتفرج على الصندق السحري أو صندوق العجائب أو كنت أنصت بعنف لقصص بلاد الواق الواق والغولة وما إلى ذلك وقد تأكدنا اليوم من وجود سينما غير ناطقة ثم ناطقة ثم ظهر الراديو وبدأنا نسجل على أشرطة كاسيت كبيرة دائرية الشكل ثم اختصرت لأشرطة الكاسيت المتداولة اليوم نسجل بها من الاذاعة أو غيرها بمعنى بدأنا نقف أمام الميكروفون ونسجل ما نقول ثم نسمعه في وقت لاحق وتعدى الأمر للبلورة السحرية (التلفزيون) وانتقلنا للفيديو فنذهب للرحلة ومعنا كاميرا الفيديو ونسجل الكثير ونعود في وقت لاحق نعرض ما حدث بالضبط ومن ثم الحاسب الآلي بداية لحفظ البيانات مع بداية القرن العشرين على أجهزة كمبيوتر بحجم لا يصدق بما هو عليه اليوم ومنذ فترة بسيطة عايشناها مع كمبيوتر سنكلير لحفظ البيانات على شريط كاسيت العادي ثم تطور الأمر لأٌقراص 5.25، 3.5 بسعة لا تزيد عن 1.4 ميجا بايت ولم يقتنع بني البشر بذلك فازداد الأمر لأقراص صلبة(Hard disk) بمساحة 10 ميجا ثم ... مع رام 640 أو 1 ميجا حتى وصلنا اليوم لأقراص تجاوزت 120 جيجا بايت ورام تجاوزت 512 ميجا بايت لي ولك ولكن هناك أرقام رهيبة عند غيرنا وحتي الآن بين أيدينا أقراص الليزر التي يمكن كتابة عليها بيانات لا يمكن تصديقها والتي يمكن إعادتها متى نشاء وتطور الكثير مما يصب في خانة واحدة وهي ما يمكن أن تفعله الآن يمكن أن نريك إياه في أي وقت آخر حتي ليوم الحساب وهنا انطلقت الفكرة فكرة تسجيل البيانات والتي تتم كلها على شريط بدأ بالامتار (ممغنط) حتى وصل لقرص الليزر وغيره ولكن يبقى تحت طائلة مادة نكتب عليها بطريقة ما ونستعيدها في وقت لاحقة بطريقة ما سواء كانت سينما أو فيديو أو تلفزيون أو كمبيوتر وكل له بداية ونهاية بمعنى الشريط بطول ألف متريبدأ من الملم الأول حتى الأخير أي بطول محدود وفترة زمنية محدودة وكل هذا من صنعنا بني البشر ولكن سبحانه رب السموات والأرض وهو القادر على كل شيء وسنقف أمامه يوم الحساب فيعرض علينا كل صغيرة وكبيرة بتسجيل من صنعه فالمرء لحظة الوفاة يعرض له كل ما مر به (تجاوزاً) ولكن صنع الله ليس كصنعنا فتأمل معي الأرض تسير بدأ من لحظة معينة ولطول معلوم لله ولزمن عنده سبحانه وتعالى كحال الشريط ولكن هنا الشريط هو المسار الهوائي الذي حولنا الذي تمر عليه الأرض يتم تسجيل كل ما على الأرض وما في باطنها وكل حركة عليها منا بل كل ما نفكر به يجري تسجليه على هذا الشريط الهوائي لمرة واحدة فقط ولا يمكن للأرض الرجوع إليه مرة أخرى بالرغم من محاولات بعض العلماء بتصوير مكان جلوس شخص بعد لحظة تركه للمقعد ففشلوا في ذلك بالرغم من ادعاءهم بنجاحهم أولاً فإن قلت أن محمد شكري لحظة ولادته كانت الأرض عند النقطة أ في الزمن ب ولحظة وفاته(الله يطول في عمره) كانت الأرض عند النقطة أ1 في الزمن ب1 وهنا ينزل القبر وفي الواقع يعود للنقطة أ ويعيش حياته من جديد يرى صغيرها وكبيرها وتقام عليه العدالة بتنفيذ العذاب (حياة البرزخ) إن كان يستحق ذلك أو يطيب له عشق الجنة فلا احساس بالوقت (فالقبر أما حفرة من حفر جهنم أو روضة من رياض الجنة) وعليه تكون الحجة قد اكتملت عليه فهو آت ليوم أكبر يوم الحساب وقد رأي بنفسه ما صنعه وهذا يعني بأن الإنسان وعلى مر الزمن يتناقص عمره شيء فشيء وما بين الحساب والبعث سنوات بعمر من تقوم عليهم القيامة وضرورة العمل يومها(من كان بيده غرسة فليغرسها)
مع الاعتذار عن الأخطاء وعدم الدقة في الآيات والأحاديث ومن المؤكد هذا مجرد فكر لا غير فإن الله سبحانه ليس كمثله شيء - سبحانه وتعالى عما يصفون

49

الرياضيات العامة اللامنهجية / الأعداد

« في: أغسطس 18, 2003, 06:34:20 مساءاً »

العدد الأولى كل عدد(عدا الواحد الصحيح) له قاسمان فقط نفسه والواحد الصحيح
العدد التام ما كان مجموع عوامله يساويه 6 = 1 + 2 + 3 ، 28 ، 496 ، 8128 وبتكرا جمع أرقامه فالناتج 1
العددان المتحابان ما كان مجموع عوامل أحدهما يساوي الآخر مثل العددان 220 و284

50

الرياضيات العامة اللامنهجية / المدرس

« في: أغسطس 10, 2003, 01:43:31 صباحاً »

على المدرس أن يجمع أمور :
(1) التلميذ بكل ما يتعلق به مع معرفة أوجه الخلاف بين تلميذ وآخر
(2) طريق المدرس في القاء المادة من اعداد لها وعرض
(3) معرفته الجيدة بالمادة وهي من أهم سمات المدرس الناجح بعلمه بكل ما يدور حول موضوع الدرس وتوقع كل الاحتمالات المفروض أن يسألها التلميذ وألمامه الكامل بكل موجودات الموضوع في كتب غير الكتاب المدرسي

يبقى شيء يقال ليس للتلميذ بل للإنسان نفسه بأن العلم يوجب الاستعداد سواء لتعلمه أو لتعليمه وأن يكون الهدف من عملية عرض مادة ما على آخرين تحمل الفائدة الطيبة ولا تكون محل للسخرية أو الاستنفار من قبل الآخرين.

51

الرياضيات العامة اللامنهجية / الفهرسة والقوانين ومساعدة

« في: يوليو 21, 2003, 10:39:32 مساءاً »

حاولت إيجاد صورة سبق أن وضعتها في المنتدى فتوقعت من الفهرسة الحصول عليها وهذا صعب لعدم وجود عنوان مفهوم
أود أن أكتب كل القوانين في مراحل التعليم الثلاث وقد بدأت بالفعل وسوف أعرضها هنا كمجموعات فبرجاء المساعدة للمهتمين بالإشارة للغير موجود أو الخطأ وما الهدف إلا المساعدة لأبناءنا الطلبة ووضع شيء مفيد ولكن قد يكون من سبقني في ذلك فأوفر الوقت وقد وجدت ذلك في بعض المنتديات ولكن ليس بالصورة التي أرغب بها
تحياتنا للجميع
http://www.angelfire.com/ab2/shukri/laws/laws.htm

52

الدروس والمناهج الدراسية / ملاحظة وأمثلة(بقية)

« في: مارس 08, 2003, 08:32:40 صباحاً »

ملاحظـة وأمثلة :
    هذا القانون صحيح لجميع قيم ن عدا ن = –1 حيث يكون ناتج التكامل قيمة غير معرفة لأن المقام سيكون صفر ولكن س–1 تكاملها لوس + ث (اللوغاريتم للأساس هـ)كما ورد في الجدول السابق ويجب هنا القول بأن تكامل د س هو س + ث أي
     ò د س = ò س^0 د س =  [س^(0 + 1)]÷ (0 + 1) + ث = س + ث
مثال :
    ò 2س د س = 2س2 ÷ 2 + ث = س2 + ث
مثال آخر :
   ò حتا س د س = حا س + ث

مثال ثالث :
    ò 4 س3 . د س = 4 س4 ÷ 4 + ث = س4 + ث

--------------------------------------------------------------------------------
التكاملات غير القياسية :ـ
     هي التي لا وجود لها في الجدول السابق أو بعيدة عنها ولا بد من عرض قاعدتين تساعدنا على إيجاد تلك التكاملات غير القياسية وليس كلها فالقاعدة الأولى لمجموع عدة دوال حيث يكون :
    ò ( ع ±  ق ±  ف ) د س =  òع د س ±  ò  ق د س ±  ò  ف د س
والقاعدة الثانية بوجود ثابت مع متغير أي :
   ò ث ع د  س = ث ò ع د س  حيث ث ثابت
فمثلاً :  ò (4 س3 + 2 س – 5). د س =  4ò س3 د س + 2 ò س د س – ò 5  د س
       ò (4 س3 + 2 س – 5). د س =  س4 +  س2 – 5 س + ث
مع التنبيه بالنسبة للدوال المثلثية في الجدول يقسم على الثابت حال وجوده مع المتغير مثال ذلك : ò حتا2س د س = ½ حا2س + ث    
لاحظ : في تكامل 4 س3 أضفنا 1 للأس(3 + 1 = 4) وقسمنا على 4 عكس التفاضل ضربنا في الأس(4) وأنقصنا منه 1 (4 – 1 = 3) هو ما دفعنا للقول بأن التكامل عملية عكسية لتفاضل.

 مثال :
    ò (2 حا س + 3 قاس طاس – قا2س) د س = –2حتاس + 3قاس – طاس + ث ( اشتق الجواب ، ماذا تلاحظ ؟ )
--------------------------------------------------------------------------------
    يجب أن نتقن التكاملات الموجودة في الجدول السابق مع القاعدتين السابقتين ولنتعرف الآن على دوال غير موجودة في الجدول فيكون الحل لها أما بوجود قاعدة لها أو معالجتها للوصول لما ورد في الجدول ولنعطي مثال لذلك حتا^2(س) غير موجودة في الجدول فنقول حتا^2(س) = 2حتا2س – 1 ومن هنا نحسب حتا^2(س) = ½(حتا2س + 1) فيكون :
 ò حتا^2(س) د س = ò ½(حتا2س + 1) د س = ½ò(حتا2س + 1) د س = ½ [ ½ حا2س + س + ث ] = ½ [ ½ حا2س + س] + ث
والحال نفسه مع الدوال المثلثية المشابهة كمربعات للدوال المثلثية الستة ذكرنا إحداها وهذه الثلاثة الأخرى :
    حا^2(س) = ½(1 – حتا2س) ، طا^2(س) = قا^2(س) – 1 ،
    طتا^2(س) =  قتا^2(س) – 1

وماذا يكون الحال مع الأسس الأخرى مثل  حا^3(س) ، حا^4(س) ، ... وغيرها فالأمر يعود لإعادتها لما سبق مع إجراء جبري وسنقدم مثالين
الأول :
ò حا^3(س) د س =   ò حا^2(س) حا س د س = ò (1 – حتا^2(س) ) حا س د س = ò(حا س –حتا^2(س)حا س) د س = – حتا س + (حتا^3(س)) ÷ 3 + ث
الثاني :
òحا^4(س) د س = ò (حا^2(س))^2 د س

                   = ò [½(1 – حتا2س)]^2 د س

                   = ò ¼[1 –2حتا2س + حتا^2(2س) ] د س  

                   =ò ¼[1 – 2حتا2س + ½(حتا4س + 1)] د س  

                   = ò ¼(1 – 2حتا2س + ½ حتا4س + ½) د س      ½ مشترك

                   = ò ⅛( 2 –4 حتا2س + حتا4س + 1 ) د س  

                   = ò ⅛( 3 –4 حتا2س + حتا4س ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –4 × ½ حا2س + ¼ حا4س ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –4 × ½ × 2حاس حتاس + ¼ × 2حا2س حتا2س ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –4 حاس حتاس + ¼ × 2 × 2حاس حتاس(1 – 2حا2س ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –4 حاس حتاس + حاس حتاس – 2حا3س حتاس ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –3 حاس حتاس – 2حا3س حتاس ) +  ث

وهذا يقودنا للأس الفردي (ن فردية) نضع حا^ن(س) = حا^ن–1(س) حاس ، وفي حالة الأس زوجي (ن زوجية) نضع حا^ن(س) = (حا^2(س))½ن

ملاحظة : سنجد قوانين لهذه الحالات لاحقاً ولكن غير مقبولة للحل في المرحلة الثانوية

53

الدروس والمناهج الدراسية / حساب مثلثات

« في: فبراير 25, 2003, 09:42:58 مساءاً »

54

الدروس والمناهج الدراسية / التكامل

« في: فبراير 17, 2003, 12:49:15 صباحاً »

التكامل
مقدمـة : ـ مقدمـة : ـ
    التكامل وبكل بساطة هو عملية عكسية للتفاضل وبالتالي أصعب من التفاضل كما هو متعارف عليه بأن العمليات العكسية أصعب كالقسمة والضرب والتربيع وإيجاد الجذر التربيعي، ومن المفيد أيضاً معرفتنا المسبقة بكل قواعد التفاضل والتحليل وحساب المثلثات وما إلى ذلك من القوانين التي سيكون لها الأثر الفعال في التكامل، فإذا فرضنا أن ع مشتقة ص بالنسبة إلى س أي ع = ص¯ تستعمل عندما تكون ص معلومة والمطلوب إيجاد مشتقتها الأولى ع ، وبصورة أخرى نقول أن ع . د س هو تفاضل ص بالنسبة إلى س أي ع . د س = د ص تستعمل إذا كانت ع معلومة والمطلوب تكامل تكاملها(ص) فبالتعريف  نقول تكامل الدالة ع بالنسبة إلى س هو الدالة التي مشتقتها الأولى بالنسبة إلى س هي ع أو التي تفاضلها بالنسبة إلى س هي ع . د س فيكون الدالة ص تكامل الدالة ع بالنسبة إلى س ونكتب ذلك بالصورة ص = òع . د س حيث ò
رمز التكامل وهو غالباً من تكبير حرف S من كلمة Sum التي تعني الجمع حيث سنبين ذلك لاحقاً بأن التكامل لدالة هو المسحة تحت منحنى الدالة والتي تحسب بمجموع المستطيلات كما أن د س تدل على التفاضل وأمثلة ذلك :
ص = س3     فإن     ع = ص¯ = 3 س2     فنقول     ص = ò  ع . د س = ò 3 س2 . د س = س3  
ص = 2س3 + 3 س   فإن   ع = ص¯ = 6 س2 + 3    فنقول     ص = ò ع . د س =ò (6 س2 + 3) . د س = 2س3 + 3 س
ص = حاس     فإن     ع = ص¯ = حتا س     فنقول      ص =  ò  ع . د س = ò  حتا س . د س =  حا س
ص = حتاس     فإن     ع = ص¯ = – حا س     فنقول    ص = ò  ع . د س =  ò  – حا س . د س =  حتا س   وهكذا ...
التكامل غير المحدود :
    مشتقة الدوال د(س) = س3 + 5    ،     د(س) = س3 + 15    ،    د(س) = س3 – 12 لها ناتج واحد هو 3 س2 لأن مشتقة الثابت = 0 فالمشتقة الأولى لأي دالة هي دالة معينة دوماً بصرف النظر عن كون الدالة بسيطة أم مركبة وهذا ليس صحيحاً في التكامل فالدالة 2س يكون تكاملها س2 + 2   أو    س2 – 12 أو ... وبصورة عامة  س2 + ث حيث ث ثابت لا يتوقف على س ويعرف بثابت التكامل ولذا يسمى ò ع . د س بالتكامل غير المحدود لأن ناتج  ò  ع . د س يشمل كل الدوال التي لها نفس المشتقة الأولى ولكن تختلف عن بعضها البعض في قيمة المقدار الثابت ث(الاختياري).
وللحصول على تكامل دالة ع نبحث عن دالة تكون مشتقتها الأولى ع وهو ما يعني معرفتنا بالمشتقة الأولى لها وهو ما يعرف بالدالة المقابلة للدالة ع بمعنى أكثر وضوحاً
    ق(س) دالة مقابلة للدالة د(س) في [أ ، ب] إذا كانت ق¯(س) = د(س) " س '[أ ، ب] ، وأنَّ : ق(س) + ث هي مجموعة الدوال المقابلة للدالة د(س) ، حيث ث ثابت التكامل ، أي  ò  د(س) د س = ق(س) + ث وهو التكامل غير المحدد للدالة د(س) .
    من أجل ذلك يجب التعرف على الدوال الأساسية وهو ما يعرف بالتكاملات القياسية البسيطة نوردها هنا في الجدول الآتي :

ملاحظـة وأمثلة :
    هذا القانون صحيح لجميع قيم ن عدا ن = –1 حيث يكون ناتج التكامل قيمة غير    معرفة لأن المقام سيكون صفر ولكن س–1 تكاملها لوهـس + ث كما ورد في الجدول أعلاه ويجب هنا القول بأن تكامل د س هو س + ث أي
     ò د س =  ò س0 . د س =  س0 + 1÷ (0 + 1) + ث = س + ث
مثال :
    ò  2س . د س =2س2 ÷ 2 + ث = س2 + ث
مثال آخر :
    ò  حتا س . د س = حا س + ث
مثال ثالث :
    ò  4 س3 . د س = 4 س4 ÷ 4 + ث = س4 + ث

55

الدروس والمناهج الدراسية / امتحان عجبني

« في: فبراير 11, 2003, 10:42:28 صباحاً »

56

الرياضيات العامة اللامنهجية / كلمة شكر

« في: فبراير 07, 2003, 10:15:41 مساءاً »

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
لا بد من كلمة شكر للقائمين على المنتدى والمشاركين فيه على الفرصة الطيبة التي منحنتها لكتابة دروس التفاضل والتكامل وجعلتني أعيش تلك الفترة من الرياضيات التي تركت تدريسها منذ سنوات وبالرغم من انتهاء الدروس ضمن حدود المرحلة الثانوية في معظم دول الخليج العربي فما زلت مستعداً لإضافة العديد من الموضوعات أو الأمثلة والتمارين حتى تكون الدروس ذات فائدة أكبر مما هي عليه الآن
بودي أن يرتقي مستوى الكتابة للرياضيات في المنتدى إلى مرحلة أكثر مما هو عليه الآن بالرغم من الكّم الهائل من الرموز التي أوجدهل العديد من المشاركين والتي ما زالت أقل مما يمكن استخدامه في الفرونت بيج XP المباشر على الشبكة وهي ليست مشكلة المنتدى هنا بل كل المنتديات فأرجو بذل المزيد في هذا المجال وأكرر شكري لكل من شجعني لهذا العمل وان شاءالله سنلتقي قريباً مع دروس النكامل بعد استكمال مادة التفاضل وزيادة الأمثلة والتمارين ولا يمكن أن يتم هذا إلا بتشجيعكم لنا
مع الاعتذا للأخطاء أن وجدت
وكل عام وأنتم بخير

57

الدروس والمناهج الدراسية / إيجاد الثوابت لمنحنى

« في: فبراير 07, 2003, 10:06:49 مساءاً »

التفاضـل
القسم الأخير
إيجاد الثوابت
     في هذا النوع من المسائل يكون المنحنى مشتمل على عدة مجاهيل ثابتة القيمة وتعطى معلومات تفيد الحصول على تلك المجاهيل أو الثوابت كإعطاء نقاط العظمى والصغرى والحرجة وما إلى ذلك من معلومات ومنها نكون مجموعة من المعادلات نقوم بحلها للحصول على تلك الثوابت أو المجاهيل وهذا يعني معرفتنا المسبقة لتلك المعلومة التي تعطى في نص المسألة وغالباً ما تتكون تلك المسائل من منحنيات معلومة الثوابت مثال ذلك ص = 3 س4 + 4 س3 – 12 س2 حيث نتعرف على كل ما يمكن معرفته منه كنقاط الرجوع والعظمى والصغرى و ... ومن ثم نقدم المسألة بالصورة المبينة في المثال الأول التالي.

مثال(1) : إذا كان للمنحنى ص = ب س^4 + حـ س^3 + دس^2 نقاط حرجة(رجوع) عند  س = – 2 ، وصغرى محلية عند (1 ، – 60)  فأوجد قيمة الثوابت ب ، حـ ، د واكتب معادلة المنحنى ثم بين نقاط العظمى والصغرى الأخرى ونقط انقلاب
الحـل :
    نقاط الرجوع تكون عندها ص¯ = 0 فنكون معادلتين من معادلة المشتقة الأولى بوضع  س = 1 ، س = –2 وثالثة من (1 ، – 60) التي تحقق معادلة المنحنى فيكون لدينا 3 معادلات بحلها بأي طريقة نحصل على الثوابت ب ، حـ ، د
    ص¯= 4 ب س^3 + 3 حـ س^2 + 2 د س     ........... (1)
س = 1 :  ص¯= 0 في (1) : 0 = 4 ب + 3 حـ + 2 د     ............. (2)
س = –2: ص¯= 0 في (1) : 0 = – 32 ب + 12 حـ – 4 د
بقسمة هذه المعادلة على 4  :  0= – 8 ب + 3 حـ –  د     ............. (3)
(1 ، – 60) على المنحنى :  – 60 = ب + حـ + د     .................... (4)
بجمع (3) ، (4) : – 60 = – 7 ب + 4 حـ     .............................. (5)
جمع(3) ×2 مع (1) : 0= – 12 ب + 9 حـ  
بقسمة الأخيرة على3: 0= – 4 ب + 3 حـ      .............................. (6)
بضرب (5) × 3 : – 180 = – 21 ب + 12 حـ
بضرب (6) × 4 :         0= – 16 ب + 12 حـ
بالطـــــــــــــــــــــــرح : – 180 = – 5 ب
بالقسمة على – 5 نحصل على  ب = 36
بالتعويض في (6) نحصل على  حـ = 48
بالتعويض في (4) نحصل على   د = – 144
معادلة المنحنى هي : ص =  36 س^4 + 48 س^3 – 144 س^2
 ص = 12(3 س^4 + 4 س^3 – 12 س^2 )
ص¯= 12(12س^3 + 12س^2 –24س)    ........ (7)
ص¯= 144س( س^2+ س – 2)
ص¯= 144س( س+ 2)( س – 1)
ص¯= 0 فإن س = 0 ، س = 1 ، س = – 2 نقاط حرجة
س = 0 فإن ص = 0 ( 0 ، 0 ) نقطة حرجة
س =- 2 فإن ص = - 384 فإن (-2 ، -384) نقطة حرجة
ص// = 12(36س^2 + 24 س –24)
ص// = 144(3س^2 + 2 س –2)
س = 0 فإن ص// = –2 كمية سالبة أي (0، 0) نقطة عظمى محلية
س = -2 فإن ص//= 864 كمية موجبة أي (-2 ، -384) نقطة صغرى محلية
ص// = 0 فإن : 3س^2 + 2 س –2 = 0
المميز = ب^2– 4 أ حـ = 4 – 4 × 3 × –2 = 28 = 4 × 7
س = [–2 ± 2 جذر(7)] ÷ 2×3 = [ –1 ± 2.65)] ÷3
س = 0.55 ،  س = – 1.22 عندها نقاط انقلاب
(0.55 ، – 32.3) ، ( – 1.22 ، – 221.7) نقط انقلاب
 
مثال(2) : إذا كان منحنى الدالة ص = ب س^3 + حـ س^2 + د س + هـ يمس المستقيم 2 ص – 18 س – 7 = 0عند النقطة (3 ، – 1) وله نقطة حرجة صغرى عند (2 ، – 5) . أوجد معادلة المنحنى وبين وجود نقطة حرجة عظمى محلية وارسم المنحى
الحل :
    أربع مجاهيل ب، حـ، د، هـ فنحتاج 4 معادلات، معادلتين من النقطتين لوقوعهم على المنحنى ، والحرجة يعني المشتقة الأولى صفر والتماس
ميل المماس = –  معامل س ÷ معامل ص = – (– 18) ÷ 2 = 9 وهذا عند (3 ، – 1) أي ص¯= 9 عند س = 3
ص¯= 3 ب س^2 + 2 حـ س + د ، بوضع  ص¯= 9 ،  س = 3
9 = 27 ب + 6 حـ + د     ................ (1)
0 = 12 ب + 4 حـ + د     ................ (2) من النقطة الحرجة ص¯= 0 عند س = 2
– 1 = 27 ب + 9 حـ + 3 د + هـ    ... (3) من (3 ، –1) الواقعة على المنحنى
– 5 = 8 ب + 4 حـ + 2 د + هـ      ... (4) من (2 ، –5) الواقعة على المنحنى
من (1) ، (2) والطرح : 9 = 15 ب + 2 حـ    .......... (5)
من (3) ، (4) والطرح : 4 = 19 ب + 5 حـ + د  ...... (6)
من (2) ، (6) والطرح : 4 = 7 ب + حـ      ............. (7)
(7) ×2، (5) والطرح : 1 = ب  أي      ب = 1
في (7) عن قيمة ب : 4 = 7 + حـ فإن  حـ = –3
في (2) 0 = 12 – 12 +  د      فإن      د = 0
في (4) – 5 = 8 – 12 + 0 + هـ  فإن هـ = – 1
معادلة المنحنى هي : ص = س^3 – 3 س^2 – 1

رسم المنحنى :
     ص =  س^3 – 3 س^2 – 1
    ص¯= 3 س^2 –  6 س
   صفر = 3س(س – 2)
    س = 0 ، س = 2 نقاط حرجة وبالتعويض في معادلة المنحنى يكون :
   ص = – 1 ، ص = – 5 أي (0 ، 1) ، ( 2 ، – 5) نقاط حرجة
    ص// = 6 س –  6 وبوضع س = 0 فإن ص// قيمة سالبة أي :
    (0، – 1) عظمى محلية
    صفر = 6 س –  6
    س = 1 عندها نقاط انقلاب
   ص = – 3
    ( 1 ، – 3 ) نقطة انقلاب
نقاط إضافية
س = – 1 فإن ص = – 5  أي ( – 1 ، – 5)
س =  3   فإن ص = – 1  أي (– 3 ، – 1 )
س =1.5 فإن ص = –4.4 أي (1.5 ، – 4.4)

 

58

الدروس والمناهج الدراسية / تطبيقات عملية على

« في: فبراير 01, 2003, 11:14:59 مساءاً »

التفاضـل
القسم الثاني عشر
تطبيقات عملية على النهايات العظمى والصغرى
    المسائل العملية التي تتطلب الوصول لأكبر ما يمكن أو أقل تكاليف أو ما شابه ذلك والتي تشتمل على عدة متغيرات محددة في نص المسألة والتي يجب الوصول لمعادلة وبإيجاد المشتقة لها نحصل على المطلوب الذي ليس في حاجة للبحث عن نهايته التي غالباً تذكر في نص المسألة صراحة بكونها عظمى(أكبر ما يمكن) أو صغرى(أصغر ما يمكن) أو أي مفهوم آخر يبين ذلك
    في الغالب تعطى معلومة لربط متغير بآخر ومعلومة النهاية الكبرى والصغرى التي ستشكل بمساعدة المعلومة الأخرى للوصول للمطلوب كقولنا مستطيل محيطه 30 سم وهي معلومة لربط بعديه وجعل أحد بعديه بدلالة الأخر( ص = 30 – س ) ونص آخر بأن تكون مساحته نهاية عظمى فالمساحة م = س × ص فبحذف ص نحصل على معادلة في المتغير س حيث نشتقها فتكون ص¯ ممثلة للنهاية العظمى لتكون صفراً كما سبق دراسته.
    كأن الهدف الحصول على معادلة بمتغيرين أحدهم يحمل صفة النهاية المطلوبة والثاني أحد مطلوبات المسألة أن لم يكن هو المطلوب والأمثلة الآتية تبين هذا المعنى.
    سنورد هنا متطلبات العديد من المسائل لحساب المساحة والحجم لبعض الأشكال والمجسمات المشهورة بالترميز س للطول ، ص للعرض ، نق لنصف القطر، ل طول ضلع مثلث، ع الارتفاع، ق القاعدة .
 
مثال(1) : مستطيل محيطه ثابت 30 سم أوجد بعدي المستطيل لكي تكون مساحته نهاية عظمى.
الحـل :
    الهدف تكوين معادلة للمساحة  النهاية العظمى بمتغير واحد  لتكون مشتقتها مساوية للصفر مستفيدين من معلومة المحيط المعطى
    بفرض طول أحد بعدي المستطيل(الطول) = س فيكون البعد الآخر(العرض) = ص والمساحة م فإن :
    2( س + ص ) = 30     قانون محيط المستطيل وبالقسمة على 2
     س + ص = 15    
     ص = 15 – س ............... ( 1)
    م = الطول × العرض
    م = س × ص    من المعادلة (1) بحذف ص يكون
    م = س (15 – س)
    م = 15 س – س^2  النهاية إلى م والمتغير س فنشتق بالنسبة إلى س
    م¯ = 15 – 2 س
     المساحة نهاية عظمى أي م¯ = صفر فيكون
    15 – 2 س = 0
    س = 7.5    الطول
    ص = 7.5    العرض
لاحظ : م// = – 2 كمية سالبة دلالة لوجود نهاية عظمى ، وأن الشكل مربع
============================================
مثال(2) : يراد عمل بركة للسباحة على شكل متوازي مستطيلات قاعدتها على شكل مربع على أن تكون محيط القاعدة مضافاً لارتفاع البركة 36 متراً دائماً أوجد أبعاد البركة لتكون سعتها أكبر ما يمكن.
الحـل :
     القاعدة مربعة الشكل فنفرض طول ضلعها س وبفرض أن ع ارتفاع البركة يكون
         4 س + ع = 36
          ع = 36 – 4 س    .......... (1)
      سعة البركة أي حجمها أي حجم متوازي المستطيلات وهو الطول × العرض × الارتفاع
          ح = س × س × ع    بالتعويض من (1)
          ح = س^2( 36 – 4 س )
          ح =  36 س^2 – 4 س^3  وهي المعادلة المطلوب اشتقاقها
         ح¯= 72 س – 12 س^2  
    السعة(الحجم) أكبر ما يمكن وهذا يعني ح¯= صفر أي
        72 س – 12 س^2 = 0
        12 س( 6 – س ) = 0
        س = 0(غير منطقي فهو مرفوض) أو س = 6 متر
    بالتعويض في (1) يكون :
        ع = 36 – 4 × 6 = 36 – 24 = 12 متر
    أبعاد البركة هي 6، 6، 12 متر

لاحظ : ح// = 72 – 24 س
         ح// = 72 – 24 × 6 = كمية سالبة ( نهاية عظمى)
========================================
مثال(3) : أوجد أكبر حجم لمخروط يمكن قطعه من كرة نصف قطرها 18سم ورأسه على سطح الكرة ويمس محيط قاعدته سطح الكرة.

الحـل :
 
    هندسة الشكل ضرورية هنا لإيجاد العلاقة بين المتغيرين نق ، ع والتي يمكن الحصول عليها من نتيجة لنظرية فيثاغورث أو من تقاطع وترين في دائرة فحسب نتيجة فيثاغورث في المثلث هـ ب د القائم في هـ لكون ب د قطر حيث ب م ارتفاع المخروط ، م حـ نصف قطر المخروط وعليه يكون :
    (حـ م)2 = م ب × م د
     نق^2 = ع (36 – ع)
     نق^2 = 36ع – ع^2     .......... (1)
أو من تقاطع الوتران ب د ، حـ هـ في م فيكون
    م حـ × م هـ = م ب × م د
       نق × نق =  ع × (36 – ع)
     نق^2 = 36ع – ع^2  وهي نفس المعادلة السابقة
والآن نوجد العلاقة الأخرى التي تمثلت في حجم المخروط ليكون نهاية عظمى
        ح =(1÷3)ط نق2ع     .......... (2)
      ح =(1÷3)ط (36 ع – ع2)ع
        ح = 12ط ع^2–(1÷3) ط ع^3
        ح¯= 12ط ع – ط ع^2    بوضع ح¯= 0 لكون ح نهاية عظمى
         0 = ط ع(12 – ع)
        ع = 0 (مرفوض) أو ع = 12 سم
في(1) :   نق^2= 36 × 12 – 144 = 12 × 24 = 288
في (2) : ح =(1÷3) ط × 288 × 12 = 1152ط سم3

لاحظ : ح// = 12ط – 2 ط ع
         ح// = 12ط – 2 ط × 12= كمية سالبة (نهاية عظمى)
مثال(4)
   يراد عمل خزان للمياه اسطواني دائري قائم لسع 300 ط  متر مكعب من الماء، وعمل له غطاء على شكل نصف كرة مجوفة وكان تكاليف المتر المربع من القاعدة 40 ريال، ومن الجوانب 20 ريال، ومن الغطاء 10 ريال، فأوجد أبعاد الخزان لكي تكون التكاليف أقل ما يمكن.
الحـل :
    بفرض نق نصف قطر القاعدة ،  ع ارتفاع الخزان (لاحظ الشكل)
 
    حجم الاسطوانة = ط نق2ع
    300 ط =  ط نق^2ع  وبحذف ط
    300 = نق^2ع     نحصل منها على متغير(ع) بدلالة الآخر(نق)
    ع = 300 نق^(-2)    ............... (1)
    التكاليف(ت) = تكاليف القاعدة + تكاليف الجوانب + تكاليف نصف سطح الكرة(الغطاء)
    التكاليف(ت) = ط نق^2 × 40 + 2 ط نق ع × 20 + 2 ط نق^2 × 10
    التكاليف(ت) = 60 ط نق^2 + 40 ط نق ع     .............. (2)
    بالتعويض من (1) في (2) عن قيمة ع للحصول على معادلة التكاليف بمتغير واحد هو نق
    ت = 60 ط نق^2 + 40 ط نق × 300 نق^(-2)
    ت = 60 ط نق2 + 12000 ط نق^(-1)     بالاشتقاق بالنسبة إلى نق
    ت¯ = 120 ط نق – 12000 ط  ، ت أقل ما يمكن يعني ت¯= 0
    صفر= 120 ط( نق – 10) ، ط ¹ 0
    نق = 10متر
نوجد المشتقة الثانية لمعرفة النهاية في حالة نق = 10
 ت// = 120 ط  = كمية موجبة أي توجد نهاية صغرى للدالة ت (أقل ما يمكن)
  وفي (1)  ع = 300 ÷ 100 = 3 متر
    أبعاد الخزان المطلوبة هي 10 ، 3 متر
تنبيه : المشتقة الأولى للدالة ت = مالانهاية عندما نق = 0 مقدار ليس له قيمة عملياً
مثال(5): حائط رأسي ارتفاعه 8 أمتار ويبعد  مسافة 3.375 متر عن واجهة منزل رأسية مقامة على الأرض الأفقية المقام عليها الحائط. أوجد طول أصغر سلم يمكن أن تصل حافته العليا لواجهة المنزل ومرتكزة حافته السفلى على الأرض خارج الحائط
 
مثال(6) قطعة أرض على شكل قطعة دائرية طول قاعدتها 96 متر وارتفاعها 32 متر يراد إقامة بناء على هذه القطعة الدائرية قاعدته على شكل مستطيل، أوجد أبعاد أكبر قاعدة للبناء.
    الحــل :
        هندسة الشكل ضرورية هنا وخاصة معرفة القطعة الدائرية التي تنشأ من رسم وتر الدائرة فتتولد قطعة صغرى وأخرى كبرى ما لم يمر الوتر بمركز الدائرة(قطر) ففي الشكل المرفق الوتر ب حـ قسم الدائرة إلى قطعتين صغرى فوقه وكبرى تحته وإن ارتفاع القطعة الصغرى هو د هـ = 32 متر في حين طول قاعدة القطعة يساوي طول الوتر ب حـ = 96 متر وقاعدة البناء هي المستطيل ل م ن ك سنفرض أن م ن = 2 س ، ل م = ص ، و هـ عمودي على كل من الوتر ب حـ ، الوتر ل ك فهو ينصفهم(و مركز الدائرة) أي ل ر= س، رهـ =32 – ص ، طول ب حـ=96 متر فإن ب ى=48 متر
   
 في المثلث هـ ب ز القائم في ب ، ب ى عمودي على هـ و
(ب ى)^2 = هـ ى × ى ز    نتيجة لنظرية فيثاغورث أو من التشابه
48 × 48 = 32 × ى ز
ى ز = 72
في المثلث ل هـ ز القائم في ل ، ل ر عمودي على هـ ز
    (ل ر)^2= هـ ر × ر ز     نتيجة لنظرية فيثاغورث أو من التشابه
     س^2= ( 32 – ص ) ( 72 + ص )
     س^2= 2304 –40 ص – ص^2
 
 والمساحة ح أكبر ما يمكن أي ح¯ = صفر وهذا يعني  أما البسط = صفر أو المقام = مالانهاية وعليه يكون :
    2304 × 2 ص – 120 ص^2 – 4 ص^3 = 0  
    4 ص(1152 – 30 ص – ص^2) = 0
    ص = 0 أو 1152 – 30 ص – ص^2 = 0 (استخدام القانون العام لحل المعادلة بعد القسمة على – 1(إن شئت)
    ص = 0 أو ص = – 52.11  أو ص = 22.11 والقيم 0 ، – 52.11  غير عملية فتكون  ص = 22.11  
   عند ص < 22.11 (مثل 2) نجد أن ح¯ قيمة موجبة
   عند ص > 22.11 (مثل 22.2) نجد أن ح¯ قيمة سالبة
فتوجد قيمة عظمى
 والمساحة ح أكبر ما يمكن أي ح¯ = مالانهاية وعليه يكون المقام = صفر أي القيمة تحت الجذر التربيعي = صفر
    2304 ص^2 – 40 ص^3 – ص^4 = 0
    ص^2(2304 – 40 ص – ص^2) = 0
    ص = 0 أو ص = – 72 أو ص = 32 وكلها قيم غير عملية
إذن قيم ص = 22.11 القيمة الوحيدة التي تعطي أكبر ما يمكن وبالتعويض في (1) للحصول على قيمة س يكون :
    س = 30.51
الأبعاد المطلوبة هي 30.51 ، 22.11

59

الدروس والمناهج الدراسية / رسم المنحنيات

« في: يناير 31, 2003, 12:45:58 صباحاً »

التفاضـل
القسم الثاني عشر
رسم المنحنيات
    سبق دراسة رسم منحنى دالة الدرجة الأولى والثانية بإعطاء قيم للمتغير س ثم إيجاد قيم ص المناظرة لها ووضع هذه البيانات في جدول ومن تعين النقاط في مستوى الإحداثيات المتعامدة ووصل تلك النقط للحصول على المنحنى وهذا لا يفيدنا بصورة عملية لكونه يدرس جزء يسير من المنحنى ، وهنا سوف نكون أكثر دقة عن ذي قبل لمعرفتنا باتجاه المنحنى ونقط النهايات العظمى والصغرى ونقط الانقلاب وكون الدالة متزايدة أو متناقصة ومما يعطي صورة أفضل للمنحنى معرفة نقط تقاطعه مع محوري الإحداثيات بوضع ص = 0 وعرفة قيم س المناظرة( نقط تقاطعه مع محور السينات) ووضع س = 0 وتعين قيم ص المناظرة (نقط تقاطعه مع محور الصادات ).
طريقة رسم منحنى دالة
(1) اجعل الدالة في صورة مقبولة للاشتقاق (الطريقة التي تراها مناسبة كفك الأقواس إن وجدت أو جعلها بالصورة ص = .... )
(2) أوجد المشتقة الأولى للدالة المعطاة ( ص¯ مثلاً )
(3) ضع ص¯ = 0
(4) أوجد قيم المتغير س بحل المعادلة الناتجة من (3) ( قيم س الناتجة يكون عندها نقاط حرجة وقد تكون نهايات عظمى أو صغرى)
(5) يفضل تكوين جدول يبين قيم س من(4) وتحديد الإشارة حولها كما يلي :
    (أ) إن كانت الدالة بالصورة د(س) = أ س + ب فتكون الإشارة على يمين س = – ب ÷ أ نفس إشارة أ في د(س) وعكسها على يسارها
    (ب) إن كانت ص = أس2 + ب س + حـ  فإن إشارة ص عكس إشارة أ بين جذري أس2 + ب س + حـ = 0 ونفس إشارة أ خلاف ذلك.
          سيتم توضيح ذلك في الأمثلة ولكننا نورده الآن بصورة عامة في الشكل الآتي:
 
(6) بحث اطراد الدالة (يكفي تبيان ذلك في الجدول المذكور أعلاه بعمل أسهم للدلالة على التزايد والتناقص للدالة)
(7) تحديد القيم العظمى والصغرى من الجدول
( أوجد المشتقة الثانية ص//
(9) ضع ص// = 0 لإيجاد نقط الانقلاب
(10) بين اتجاه تقعر المنحنى بإضافة إشارة ص//  للجدول فيكون + تقعر المنحنى لأعلى ، – تقعر المنحنى لأسفل
(11) اختار نقاط إضافية قبل وبعد نقط النهايات العظمى والصغرى ، وضع س = 0 وأوجد ص ، ضع ص = 0 وأوجد س
(12) حدد في مستوى الإحداثيات موضع النقاط العظمى والصغرى والانقلاب والنقط الأخرى
(13) صل بين النقط للحصول على المنحنى المعروف
تنبيه : يجب أن يكون لدينا معرفة بشكل منحنى الدالة فمنحى دالة الدرجة الثالثة له شكل معروف وكذلك الرابعة و ...
(14) إيجاد الخطوط القاربية الرأسية(س = قيم س التي تجعل المقام = 0) والأفقية (ص = نهاية الدالة عندما س تقترب من مالانهاية)

مثال(1) : أرسم منحنى الدالة ص = س3 – 6 س2 + 9 س – 1
الحـل :
نوجد المشتقة الأولى
    ص¯ = 3 س2 – 12 س + 9     بوضع المشتقة الأولى = 0
     3 س2 – 12 س + 9  = 0      بالقسمة على 3 نحصل على
    س2 – 4 س + 3 = 0             بتحليل المقدار الثلاثي نجد أنَّ
    ( س – 1 )( س –  3 ) = 0    
    س –  1 = 0     ،     س –  3 = 0
    س = 1     ،     س = 3     عندها نقاط حرجة، نوجد قيم ص المناظرة
    س = 1 فإن ص = 1 – 6 + 9 – 1 = 3     ،  ( 1 ، 3 ) نقطة حرجة
    س = 3 فإن ص = 27 –54 +27 –1 = –1، (3 ، –1) نقطة حرجة
عند ( 1 ، 3 )
من الجدول توجد عظمى محلية
عند ( 3 ، – 1 )
من الجدول توجد صغرى محلية
من الممكن إيجاد المشتقة الثانية وبحث الإشارة كالتالي
    ص// = 6 س – 12
عند س = 1 تكون ص//  = – 6 كمية سالبة فتوجد عظمى محلية
عند س =3 تكون ص//  = 6  كمية موجبة فتوجد  صغرى محلية
 ص// = 6 س – 12 وبوضع ص// = صفر يكون
    6 س – 12 = 0
    س = 2 عندها نقطة انقلاب ، ونحسب قيمة ص المناظرة
س = 2 فإن ص = 8 – 24 + 18 – 1 = 1
    ( 2 ، 1 ) نقطة انقلاب     لاحظ بحث الإشارة في الجدول للمشتقة الثانية وموضعها بين التقعر لأسفل، والتقعر لأعلى
 
من الجدول نجد أن :                                                              
(1) في ] 1 ، 3 [ الدالة متناقصة ( اطراد الدالة يعني التزايد والتناقص )
(2) في ح – [ 1 ، 3 ] الدالة متزايدة
(3) في ] – ¥ ، 2 [ المنحنى مقعر لأعلى     لاحظ المنحنى يقع فوق مماساته
(4) في ] 2 ، ¥ [ المنحنى مقعر لأسفل        لاحظ المنحنى يقع تحت مماساته
(5) القيمة العظمى للدالة تساوي 3 وهي عند س = 1
(6) القيمة الصغرى المحلية للدالة – 1 وهي عند س = 3
نقاط إضافية :
س = 0 فإن ص = – 1     ( 0 ، – 1 )
س = 4 فإن ص = 3        ( 4 ، 3 )
لا داعي هنا لوضع ص = 0 لصعوبة معرفة قيم س من معادلة الدرجة الثالثة
تنبيه : لاحظ الأسهم والتقعر في الجدول بمقارنتها مع الشكل العام للمنحنى
 
مثال(2) : إذا كانت د(س) = (س – 3)2(س + 2) أوجد للدالة د(س) كلاً من :    ( الصورة المعتادة في الامتحان )
    (1) النقاط الحرجة (إن وجدّت).
    (2) فترات التزايد والتناقص.
    (3) القيم الصغرى والعظمى المحلية (إن وجدّت).
    (4) نقط الانقلاب (إن وجدّت).
    (5) فترات تقعر المنحنى.
    (6) ارسم منحنى د(س) رسماً تقريبياً.
الحـل :
    صورة الدالة هنا تحوى أقواس وهذا يسهل معرفة قيم س عندما ص = 0 أي د(س) = 0أو ص¯ = 0 أي د¯(س) = 0 وفك الأقواس بصورة صحيحة تكون عملية إيجاد المشتقة أفضل من وجود الأقواس حيث الاشتقاق يكون لحاصل ضرب دالتين وللدالة الأسية وسوف نستعرض الحالتين بكوننا نشرح مثال وعلى الطالب أن يحدد إحداها بل يجب أن يكون معتاد على طريقة واحدة وقد يجمع بين الاثنتين فلا مانع في ذلك بأن يشتق بعد فك الأقواس ويحدد قيم ص في نص المسألة وهو الأسهل عند إيجاد قيم ص
    د(س) = (س – 3)^2(س + 2) ............. (1)
    د(س) = س^3 – 4 س^2 – 3 س + 18 .... (2)  بفك الأقواس ، يمكن وضع ص بدلاً من د(س)
   د¯(س) = 3 س^2 – 8 س – 3              لاحظ مشتقة 18 هي صفر
  3 س^2 – 8 س – 3 = صفر                  بوضع   د¯(س) = صفر
  (3 س + 1)( س – 3) = 0                  من تحليل المقدار الثلاثي
3 س + 1 = 0 ،  س – 3 = 0
س = – 1 ÷ 3    ،   س = 3        لحساب قيمة ص نعوض في (1) أو (2)
  س = – 1 ÷ 3   فإن  ص = 500 ÷ 27   أي (–1 ÷ 3 ، 500 ÷ 27) نقطة حرجة
  س = 3  فإن  ص = صفر                 أي ( 3 ، صفر) نقطة حرجة
    د//(س) = 6 س – 8
    صفر = 6 س – 8
    س = 4 ÷ 3      لحساب قيمة ص نعوض في (1) أو (2)
    ص = 250 ÷ 27
    ( 4 ÷ 3 ، 250 ÷ 27) نقطة الانقلاب
 
بعد تكوين الجدول ومعرفة قيم س التي تجعل المشتقة الأولى والثانية تساوي الصفر فالمطلوب يكون :
(1) النقاط الحرجة هي :  (– 1 ÷ 3 ، 500 ÷ 27) ، ( 3 ، صفر)
(2) الدالة متناقصة في ]– 1 ÷ 3 ، 3[ ومتزايدة في ح – ]– 1 ÷ 3 ، 3[
(3) القيمة العظمى  عند (– 1 ÷ 3 ، 500 ÷ 27) قيمتها 500 ÷ 27
     القيمة الصغرى عند ( 3 ، 0) وقيمتها صفر .
(4) نقطة الانقلاب هي ( 4 ÷ 3 ، 250 ÷ 27)
(5) المنحنى مقعر لأسفل في ] – ¥ ، 4 ÷ 3[ المنحنى واقع تحت مماساته ، ومقعر لأعلى في ]4 ÷ 3 ، ¥ [ المنحى واقع فوق مماساته.
(6) الشكل التالي يبين منحنى الدالة بصورة تقريبية
 
بدون فك الأقواس يكون
 د(س) = (س – 3)^2(س + 2)
د¯(س) = (س – 3)^2 × 1 + 2(س – 3) × 1 × (س + 2)    الاشتقاق كحاصل ضرب دالتين
د¯(س) = (س – 3)^2 + 2(س – 3)(س + 2)
د¯(س) = (س – 3)[ س – 3 + 2(س + 2)]    بأخذ العامل المشترك
د¯(س) = (س – 3)[ س – 3 + 2س + 4]    بفك القوس
د¯(س) = (س – 3)(3 س  + 1)   اختصار هي نفس النتيجة التي وصلنا إليها سابقاً
بوضع د¯(س) = 0 نحصل على قيم س كما سبق ونوجد قيم ص المناظرة كما سبق
د//(س) = (س – 3) × 3 + 1 × (3 س  + 1) الاشتقاق كحاصل ضرب دالتين
د//(س) = 3 س – 9 + 3 س + 1
د//(س) = 6 س – 8     وهي نفس النتيجة التي توصلنا إليها سابقاً
    يمكننا أن نكمل الحل كما سبق
==========================================
مثال(3) ارسم منحى الدالة ص = س^4 – 6 س^2 +8 س – 3
الحـل :
    ص¯= 4 س^3 – 12 س + 8  
بوضع س = 1 تكون قيمة س^3 – 3 س + 2 = 0 فيكون س –  1 عامل
بقسمة س^3 – 3 س + 2 على س – 1 ينتج س^2 + س – 2(قسمة مطولة)
ص¯ = 4( س^3 – 3 س + 2)
ص¯ = 4(س –  1)(س^2 + س – 2)
ص¯ = (س – 1)(س + 2)(س – 1) .......... (1)
بوضع ص¯ = صفر نجد أن :
س = 1  أو س = – 2 وبالتعويض للحصول على قيم ص المناظرة نجد أن:
عند س = 1 فإن ص = 1 – 6 + 8 – 3 = 0 أي ( 1، 0 ) نقطة حرجة
عند س = – 2 فإن ص = 16 – 24 – 16 – 3 = – 27 أي ( –2 ، –27) حرجة
ص// = 12 س^2 – 12
عند س = 1 يكون ص// = صفر
وهذا يعني العودة للتعويض ما قبل وبعد 1 في (1) كالتالي
س < 1 فإن ص¯ = – × + × – = +
س > 1 فإن ص¯ = + × + × + = +
   لم تتغير إشارة ص¯ فتكون النقطة (1 ، 0) حرجة ولكنها ليست عظمى أو صغرى
عند س = –2 يكون ص// =  12 × 4 – 12 = كمية موجبة وعليه يكون :
النقطة ( –2 ، –27) حرجة وصغرى محلية
بوضع ص// = 0 يكون
صفر = 12(س2 – 1) أي :
(س – 1)(س + 1) = 0 أي
    س = 1 أو س = – 1  عندها نقط انقلاب وبالتعويض لإيجاد ص
عند س = 1 فإن ص = 1 – 6 + 8 – 3 = 0 فتكون (1 ، 0) نقطة انقلاب
عند س = –1 فإن ص = 1 – 6 – 8 – 3 = – 16 أي (–1 ، –16) نقطة انقلاب
نقاط إضافية :
بوضع س = 0 تكون ص = - 3 أي (0 ، - 3)
الحد المطلق في ص هو –3 عوامله 1 ، 3 ، –1 ، –3 وعليه يكون
ص =(س –1)^3(س + 3)
     أو
بوضع س = 1 نجد أن ص = 0 أي س – 1 عامل وبقسمة ص عليه يكون
ص =(س –1)(س^3 + س^2 – 5 س + 3)
بوضعه س = 1 في س^3 + س^2 – 5 س + 3 يكون الناتج صفر أي س – 1عامل وبالقسمة يكون
ص = (س – 1)(س – 1)(س^2 + 2 س – 3) أي
ص = (س – 1)(س – 1)(س – 1)(س + 3)
بوضع ص = 0 يكون س = – 3 ، س = 1(أخذت سابقاً) نأخذ (–3 ، 0)
 
مثال(4) : ارسم منحنى الدالة ص = – س^2 ÷ (س^2– 4) مبيناً الخطوط التقاربية للمنحنى
الحـل :
 ص = – س^2 ÷ (س^2– 4)    .............. (1)
ص¯ = [(س^2– 4) × (– 2 س) – ( – س^2) × 2 س] ÷ (س^2– 4)^2
ص¯ = (–2 س^3+ 8 س +2س^3) ÷ (س^2– 4)^2
ص¯ = 8 س ÷ (س^2– 4)^2  ............ (2)
بوضع ص¯= صفر لتحديد النقاط الحرجة
صفر = 8 س ÷ (س^2– 4)^2  
8 س = 0  فإن س = صفر وفي (1) نجد أن ص = صفر
   (0 ، 0 ) نقطة حرجة
في (2) وبحث الإشارة
س < 0 فإن : إشارة ص¯= – ÷ + = –
س > 0 فإن : إشارة ص¯= + ÷ + = +
تغيرت إشارة ص¯ من – إلى + عند (0، 0) فتوجد صغرى محلية.
س = 1 فإن ص =1÷ 3
س= –1 فإن ص = 1 ÷ 3
س = ± 2 فإن ص = مالانهاية (خطوط  تقاربيه)
س = ± 3 فإن ص = – 1.8
س = ± 4 فإن ص = – 4 ÷ 3
نقاط : (1، 1÷ 3)، (–1، 1÷ 3)، (3، – 1.، (–3، – 1.، (4، – 4 ÷ 3)، ( –4، – 4 ÷ 3) " تزداد أو تنقص س فإن ص تنقص باستمرار"
نشتق المعادلة (2) للحصول على ص//  
ص// = [(س^2– 4)^2 × 8  – (8 س) × 2(س^2– 4) × 2س] ÷ (س^2– 4)^4
ص// = [8 (س^2– 4)( س^2– 4 – 4 س2)] ÷ (س^2 – 4)^4
ص// = –8(3س^2+ 4) ÷ (س^2– 4)^3
 س = 0 فإن : إشارة ص// – ÷ – = + أي توجد صغرى محلية عند (0، 0)
الخطوط التقاربية :
 
المنحنى المطلوب
 
 

60

الدروس والمناهج الدراسية / المشتقات المتتالية

« في: يناير 29, 2003, 10:46:35 مساءاً »

التفاضـل
القسم الحادي عشر
المشتقات المتتالية
    المشتقة الأولى للدالة ص = د(س) هي ص¯ دالة أيضاً في المتغير س كقولنا ص = 2 س^4 فإنَّ ص¯ = 8 س^3 وهي دالة في س أيضاً فيمكن إيجاد مشتقتها الثانية كما سبق عند إيجاد المشتقة الأولى فالناتج يكون هو المشتقة الثانية للدالة ص بالنسبة إلى س والتي يرمز لها بالرمز ص// أو د//(س) ويمكن تكرار ذلك للمشتقة الثالثة والرابعة فيكون ص// = 24 س^2، ص/// = 48 س ، ...
المشتقة النونية لبعض الدوال :
(1) الدالة ( أ س + ب )^ن
    المشتقة الأولى = أ ن ( أ س + ب )^(ن - 1)
    المشتقة الثانية = أ^2 × ن(ن – 1) ( أ س + ب )^(ن-2)
    المشتقة الثالثة = أ^3 × ن(ن – 1) (ن – 2)( أ س + ب )(ن-3)
    المشتقة النونية = أ^ن ن(ن –1)(ن –2)(ن –3).... [ن – (ن –1)](أ س+ ب)^(ن - ن)
    المشتقة النونية = أ^ن ن(ن –1)(ن –2)(ن –3).... × 1
    المشتقة النونية = أ^ن ن!
    بوضع أ = 1 ، ب = 0 يكون
    المشتقة النونية = ن!
مثلاً المشتقة الرابعة للدالة د(س) = س^4 هي 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
(2) الدالة  ( أ س + ب )^–1
    المشتقة الأولى = أ × – 1( أ س + ب)^–2
    المشتقة الثانية = أ2 – 1 × – 2( أ س + ب)^–3
    وهكذا ...
    المشتقة النونية = أن ×(– 1)(– 2)(– 3) ... (–  ن) (أ س + ب)^–(ن + 1)
   المشتقة النونية =  (– 1)^ن أ^ن ن! (أ س + ب)^–(ن + 1)
(3) الدالة حا(أ س + ب)
    المشتقة الأولى = أ حتا(أ س + ب) = أ حا(أ س + ب + ط/2)
    المشتقة الثانية = أ × أ حتا(أ س + ب + ط/2) = أ^2 × حا(أ س + ب + 2ط/2)
    المشتقة الثالثة = أ^2 × أ حتا(أ س + ب + 2ط/2) = أ^3 × حا(أس + ب + 3ط/2)
وهكذا ...
    المشتقة النونية = أ^ن × حا(أس + ب + ن ط/2)
في حالة أ = 1 ، ب = 0 يكون
    المشتقة النونية = حا( س + ن ط /2)
(4) الدالة حتا(أ س + ب)
    المشتقة الأولى = – أ حا(أ س + ب)
    المشتقة الأولى = أ حتا(أ س + ب + ط/2)
    المشتقة الثانية = – أ × أ حا(أ س + ب + ط/2)
    المشتقة الثانية = أ^2 × حتا(أ س + ب + 2ط/2) بالمثل يكون
    المشتقة الثالثة = أ^3 × حتا(أ س + ب + 3ط/2)
    وهكذا ...
    المشتقة النونية = أ^ن × حتا(أ س + ب + ن ط/2)
في حالة أ = 1 ، ب = 0 يكون
    المشتقة النونية = حتا( س + ن ط/2)
(5) الدالة أ هـ^(ب س)
    المشتقة الأولى = أ ب هـ^(ب س)
    المشتقة الثانية = أ ب2 هـ^(ب س)
    المشتقة الثالثة = أ ب3 هـ^(ب س)
    وهكذا ...
    المشتقة النونية = أ ب^ن هـ^(ب س)
    في حالة أ = ب = 1 يكون
    المشتقة النونية = هـ^س
(6) الدالة لـوهـ (أ س + ب)
    المشتقة الأولى = أ ( أ س + ب )^–1
    المشتقة الثانية = (–1) أ^2 × ( أ س + ب )^–2
    المشتقة الثالثة = (–1) × (–2) أ^3 × ( أ س + ب )^–3
    وهكذا ...
    المشتقة النونية = (–1) × (–2) ×–1) ... ×[–(ن–1)] × ( أ س + ب )^– ن
    المشتقة النونية = (–1)^(ن - 1) أ^ن × (ن – 1)! × ( أ س + ب )^– ن
    في حالة أ = 1 ، ب = 0 يكون
    المشتقة النونية = (–1)^(ن - 1) × (ن – 1)! × س^– ن
تنطبق الطرق السابقة على أي دالة أخرى بما في ذلك الدوال الضمنية أو الدوال كحاصل ضرب دالتين
مثال : أوجد المشتقة الثانية ص// من المعادلة س^2 + ص^2 = 9
الحل :
    2 س + 2 ص ص/ = 0
    ص/ = – س ÷ ص
    ص// = – ( ص × 1 – س ص/ ) ÷ س^2
    ص// = – [ ص × 1 – س × (– س ÷ ص) ] ÷ ص^2
    ص// = – ( ص^2 + س^2 ) ÷ ص^2
    ص// = – 9÷ ص^2
مثال آخر: إذا كانت ص = أ حتا(لو س) + ب حا(لوس) فأثبت أن: س^2 ص// + س ص/ + ص = 0
الحل :
     ص = أ حتا(لو س) + ب حا(لوس)  .................... (1)
    ص/ = – أ حا(لوس) × 1/س + ب حتا(لوس) × 1/س     بالضرب × س
    س ص/ = – أ حا(لوس) + ب حتا(لوس)   بالاشتقاق
    س ص// + ص/ = – أ حتا(لوس) × 1/س – ب حا(لوس) × 1/س  بالضرب × س
    س^2  ص// + س ص/ = – أ حتا(لوس) – ب حا(لوس)  ............... (2)
بجمع (1) ، (2) يكون :
 س^2  ص// + س ص/ + ص = 0

مثال :إذا كانت ص = هـ^(- س) ×حا2س فإن ص// = 5 هـ(- س)× حا(2 س - 126.87)
الحل :    
    بتطبيق القانون أعلاه نجد أن :
    المشتقة الثانية = (1 + 4 ) هـ^(- س) ×حا(2 س + 2 طا-1(–2))
    المشتقة الثانية = 5 هـ^(- س) × حا(2 س + 2 × 63.433)
     المشتقة الثانية = 5 هـ- س حا(2 س + 126.87)
تمرين : أوجد المشتقة الرابعة للدالة ص = هـ^(- 2س) × حتا(2 س + 3)
تمرين : أوجد المشتقة النونية للدالة د(س) = لـوهـ[(2 + 3 س) ÷ (2 – 3 س)]

مع الاعتذار للخطأ إن وجد