الرسائل

76

الدراسات والتعليم الجامعي / مواضيع في التفاضل والتكامل من مجلات MAA

« في: أغسطس 29, 2007, 12:16:57 صباحاً »

جميل والفكرة بالأساس واحدة في تحويل الدائرة إلى شكل هندسي آخر بنفس الطريقة.

77

الدراسات والتعليم الجامعي / مواضيع في التفاضل والتكامل من مجلات MAA

« في: أغسطس 28, 2007, 09:41:31 صباحاً »

ورقة أخرى:

العنوان: Proof Without Words: Area of a Disk is

الكاتب:
Russell Jay Hendel

المجلة:
Mathematics Magazine
يونيو 1990
المجلد 63
العدد3
صفحة واحدة.

رابط الورقة:
http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma018.pdf

يثبت الكاتب هنا بطريقة مدهشة وبسيطة بالرسم فقط، وبدون أي كلمة، أن مساحة الدائرة تساوي العدد باي مضروبا في مربع نصف القطر.

78

الدراسات والتعليم الجامعي / مواضيع في التفاضل والتكامل من مجلات MAA

« في: أغسطس 28, 2007, 09:33:06 صباحاً »

السلام عليكم

طبعا لاشك أن هذه المواضيع مفيدة لكل دارسي التفاضل والتكامل وليس للمتخصصين في الرياضيات فقط. نرجو من كل من يقرأ أحد هذه المواضيع أن يحدثنا عنها بشكل مختصر.

وأنا سأحدثكم الآن عن موضوعين:

العنوان: The Function (sin x)/x

الكتّاب:
William B. Gearhart
Harris S. Shultz

المجلة: The College Mathematics Journal
مارس 1990
المجلد الحادي والعشرين، العدد الثاني
عشر صفحات.


يقول كاتب الورقة التالية أن دارسي التفاضل والتكامل يعرفون جيدا احد أهم استخدامات الدالة  
حيث أن أبسط طرق إيجاد مشتقات الدوال المثلثية واكثرها شيوعا يعتمد على النهاية


   
ولكن القليل منهم من يعرف أن هذه الدالة تلعب دورا أساسيا في كثير من المجالات الرياضية وتطبيقاتها.

يصف كتّاب هذه الورقة بعض الأدوار التي تلعبها هذه الدالة في كثير من المجالات الرياضية وتطبيقاتها( تحليل فورييه، التحليل العددي، نظرية التقريب). ولكنه قبل ذلك يذكر خواص الدالة باختصار ويقدم بعض الأمثلة الهندسية التي تظهر فيها هذه الدالة ومن خلالها تظهر اثباتات على صحة النهاية أعلاه. وهذه الأمثلة كما يقول الكاتب يمكن فهمها من قبل الطلاب وربما تلفت انتباههم  لهذه الدالة وأهميتها. ثم يوجه القارئ المهتم إلى عدة مصادر متعلقة مفيدة.

رابط الورقة:
The Function (sin x)/x

79

الدراسات والتعليم الجامعي / مواضيع في التفاضل والتكامل من مجلات MAA

« في: أغسطس 28, 2007, 09:08:49 صباحاً »

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته،

نشر موقع جمعية الرياضيات الأمريكية MAA مواضيع مختلفة في التفاضل والتكامل صدرت في أعداد سابقة من المجلات التي تصدرها الجمعية. هذه المواضيع مناسبة ومفيدة جدا لطلاب الرياضيات مع تفاوت مستوياتها واختلاف موضوعاتها.

يمكنك من خلال الرابط التالي تصفح هذه المواضيع:
http://www.maa.org/pubs/calc_articles.html


نبذة عن المجلات التي تصدرها الجمعية:

American Mathematical Monthly
وهي مجلة موجهة للجمهور العريض من طلاب إلى رياضيين محترفين إلى باحثين. حيث تختار مواضيعها على أساس فائدتها لأكبر عدد من القراء.

Mathematics Magazine
هذه المجلة مخصصة للمستوى الجامعي لمرحلة البكالوريوس حيث تقدم مقالات وملاحظات في مواضيع مختلفة مناسبة لهذا المستوى بأسلوب شارح مناسب للطالب.

The College Mathematics Journal
محتوى هذه المجلة يركز على تقديم مواد مفيدة لطالب السنة الأولى والثانية من الدراسة الجامعية.

80

الرياضيات العامة اللامنهجية / أحداث رياضية تاريخية في شهر أغسطس

« في: أغسطس 23, 2007, 10:39:56 صباحاً »

تاريخ 9 أغسطس

عام 1207: تم انشاء معهد تعليمي لدراسة أعمال الرياضي والفلكي الهندي Bhaskara.

الرياضي Bhaskara عاش في القرن الثاني عشر الميلادي وله اسهامات عديدة في الجبر وحل المعادلات ونظم الأعداد والمثلثات والفلك وغيرها.

عام 1537: ولد الرياضي والفلكي الإيطالي فرانسيسكو باروزي Francesco Barozzi أو باللاتينية Franciscus Barocius.

له كتاب مهم ترجم فيه شرح الفيلسوف Proclus لكتاب اقليدس " العناصر" ونشر الكتاب في عام 1560. إذ يعتبر شرح Proclus مصدر رئيسي لتاريخ الهندسة عند اليونانيين

81

الرياضيات العامة اللامنهجية / أحداث رياضية تاريخية في شهر أغسطس

« في: أغسطس 23, 2007, 10:39:04 صباحاً »

السلام عليكم

تاريخ 8 أغسطس:

عام 1576: تم وضع حجر الأساس لمرصد تيكو براهي المسمى بـ Uraniborg
 "يوانيبورج" في جزيرة "فِن"Ven، بالسويد.

تم بناء هذا المرصد بتمويل من ملك الدنمارك آنذاك "فريدريك". و زوّد بمعدات ضخمة ودقيقة واحتوى جزءه الأسفل الواقع تحت الأرض على مختبر كيميائي.
عام 1584 بنى تيكو مرصدا آخر بقرب مرصد يورانيبورج وسمي مرصد سبيرنبرج.

من منتدى علم الفلك:
أحداث علم الفلك والاختراعات، لفترة عصر التنوير


عام 1900:



ألقى الرياضي ديفيد هلبرت خطابه الشهير "مسائل الرياضيات" في المؤتمر العالمي الثاني للرياضيين الذي عقد في باريس.

كانت لهجة هلبرت أثناء إلقاءه هذا الخطاب مليئة بالتفاؤل لمستقبل علم الرياضيات في القرن العشرين. واعتقد أن وجود مسائل مفتوحة (أي لم يتم حلها بعد)في  فرع أو موضوع ما في الرياضيات يعدّ علامة على حيوية هذا الفرع.

ومما قال في هذا الخطاب:

" إننا نسمع من داخلنا ذلك النداء الأزلي: هناك مسألة. ابحث عن الحل. يمكنك إيجاده بالتفكير التجريدي، فليس هناك في الرياضيات شيء لا يمكن معرفته."

82

الرياضيات والتربية / تطور الفكر الرياضياتي

« في: أغسطس 21, 2007, 09:49:41 صباحاً »

نقول إن الرياضيات المعاصرة لن تأتي –بالطبع- بجدول جديد للضرب، لكن أسلوبها ومنهجها –كما ذكرنا- في معالجة القضايا المطروحة من قبل، أو التي لم يسبق طرحها، بأسلوبها المتميز بالدقة الشديدة عند تعريف مفرداتها أو عرض مفاهيمها، لكن-من أسف- أنه ليس من شك في أن "مشكلة الرياضيات المعاصرة" قائمة في بلادنا العربية، وجذورها غائرة في المدرسة الثانوية، بل والإعدادية (المتوسطة)، قبل الجامعة، ومظاهر هذه المشكلة متعددة ابتداءا بما يواجهه طلابنا المبتعثون عند التحاقهم بالجامعات الأوروبية والأمريكية، وانتهاءا بإنتاج أساتذتنا المحدود: كما وكيفا وأصالة.

وقد صار تدريس الرياضيات وتطويرها في بلادنا العربية –جامعات ومدارس- كما رآها كاتب هذه السطور وعايشها، إذ شاء له ربه أن يعمل بجامعات عربية متعددة، في خطوط متوازية- غالبا- قد يعلو خط على خط لكن البعد بين الخطين –في الأعم- ليس هائلا، لكنه في نفس الوقت ليس مهملا.

وكان التطوير في أحيان كثيرة في مدارسنا العربية- وهو أساس للدراسة بالجامعة فيما بعد- مثيرا للتساؤل، عما إذا كان بهذه الشاكلة يفي بالمطلوب، ذلك أنه قد انحصر فيها في التعرف على أبجديات لغة المجموعات، ثم التعامل معها كمسائل حسابية ليس غير!! أما في الهندسة التحليلية المستوية فقد استبدل حساب المتجهات بطرائق الحساب التقليدية، وكفى الله المؤمنين القتال!!

إذن فهو تطوير في "المسميات" وفي هوامش ضيقة جدا. ونحن نفهم –طبعا- أن سببا رئيسا من أسباب هذا القصور-أو حتى العجز- في التطوير كان يمكن أن يكون في إعداد مدرس الرياضيات المعاصرة، الذي لم يدارسها بالجامعة ليس بالأمر السهل أو الميسور، ولا هو بالأمر الذي يمكن إنجازه بسرعة. لكن ما يمكن أن نتعلل له به وقد أصبحت الكثرة الكاثرة من مدرسينا قد درست بالجامعةشيئا من الرياضيات المعاصرة يغطي مساحة لا بأس بها إطلاقا بالقياس إلى ما هو مطلوب لمدرس المرحلة الثانوية؟!

وصحيح أن مدرس الرياضيات في بلادنا- في الأغلب الأعم- ليس هو "ألرجل الأمثل" الذي يمكن أن يناط به مثل هذا العمل بالغ الدقة، فهو –غالبا- لم يختر دراسة الرياضيات عن حب –أو حتى عن قناعة- وإنما كانت دراسة الرياضيات بالنسبة له هي أفضل المتاح في تصوره، أو تصور ذويه، أو ربما تصور مجتمعه بأسره، وفقا لمجموع درجاته الذي اجتازه في امتحان الثانوية العامة، هو في المعتاد ليس مجموعا جيدا جدا، صحيح كل هذا، لكن الصورة في مجملها ليست بالغة القناعة. ولقد كان يمكن أن يكون التطوير أعمق مما تم بدرجة ليست مهملة، ونعني بأعمق أن يتجاوز التطبيقات الحسابية لتلك المفاهيم المجردة إلى الغوص تحت المفاهيم، وتعلم كيفية تلمس الطريق إلى البناء المجرد، بدءا بالتعريفات، ثم تبني المسلمات والفروض، ثم انشاء النظريات والقوانين. بعبارة أخرى، تكوين عقلية علمية رياضياتية، وليس عقلية حسابية مهما كانت مهاراتها في الحساب- كما هي الحال الآن- وكما نرى صورتها بجلاء في امتحانات الثانوية العامة في كثير من بلادنا العربية.

وبعد،،،

فيقول بعض الناس: "إن الصراع بين القديم والجديد أزلي، ولكن الغلبة دائما للجديد".. ويعتقد كاتب هذه السطور أن هذا القول به حاجة إلى تقييد، فما كان القديد الواعي دائما يناجز الجديد الجيد، ولا كان أبدا له خصيما، ولم يكن الجديد دائما أفضل من القديم! لكن العبرة بالأنفع، "فأما الزبد فيذهب جفاء، وأما ما ينفع الناس فيمكث في الأرض" صدق الله العظيم. ولقد قاوم "بعض" ونؤكد "بعض" وليس "كل" فالذين ابتدعوا الرياضيات المعاصرة كانوا في الأصل من أهل الرياضيات التقليدية، الذين حذقوها وتمكنوا منها، وبلوا حلوها ومرها فوقفوا على عوارها ومثالبها –نعم، لقد قاوم بعض أهل الرياضيات التقليدية الرياضيات المعاصرة، ولكنها ثبتت لهم وصمدت، ثم طلعت علينا –بأخرق- في بلادنا، قلة قليلة من شباب أهل الرياضيات، وهم محسوبون على الرياضيات المعاصرة، ذلك أنهم تلقوا تعليمهم وإجازاتهم في الجامعات الأوروبية والأمريكية، واجتازوا درجاتهم العلمية في موضوعات ليست منبتة الصلة بالرياضيات المعاصرة، لنقول إنه من السخف أن الأوروبيين والأمريكيين قد نكصوا على أعقابهم، وتراجعوا عن الرياضيات المعاصرة إلى التقليدية، بعدما ثبت فشل المعاصرة!! ولا ندري والله كيف يكون هذا الفشل؟!

لقد كان البقاء دائما للأصلح، وستبقى الرياضيات المعاصرة أمرا يعلمه علام الغيوب، إلى أن تصبح بدورها تقليدية، وتحل محلها رياضيات معاصرة، بلغة مقبل الزمان وقادم الأيام.. سنة الله في كونه، ولن تجد لسنة الله تبديلا.

83

الرياضيات والتربية / تطور الفكر الرياضياتي

« في: أغسطس 21, 2007, 09:49:00 صباحاً »

وكمثال تطبيقي على ما سبق نذكر هذه المسألة من الحياة اليومية، التي يتأتى حلها باستخدام بعض ما أوردناه:

يعبر رجل سبيلا تفرع إلى سبيلين: إحداهما سبيل رشد وهي يسكنها قوم خير يصدقون الناس الخبر، والأخرى سبيل غي وضلال يقطنها قوم سوء يكذبون الناس الخبر. التقي الرجل فتى عند نقطة التفرع. والمطلوب أن يلقى الرجل على الفتى بعبارة يكون الرد عليها بنعم أو لا، ومن الإجابة يعرف الرجل سبيل الرشاد!

ولنعرض الآن لبعض هذه الأبنية الممكنة لنظرية المجموعات:

لدينا –أولا- الفرض القائل بأن لأي عنصر ولأية مجموعة فلابد أن تتحقق مقولة واحدة بالضبط من المقولتين الآتيتين:

(1) ينتمي العنصر إلى المجموعة.
(2) لا ينتمي العنصر إلى المجموعة.

وكذلك الفرض: توجد على الأقل مجموعة واحدة، ولأي عنصر فإنه توجد مجموعة ينتمي إليها هذا العنصر.

وهناك –ثالثا- فرض "تساوي مجموعتين"، وينص على أن مجموعتين متساويتان إذا كانتا تتألفان من نفس العناصر.

وتعرّف المجموعة الجزئية س من المجموعة ص بأنها مجموعة كل عناصرها تنتمي إلى المجموعة ص.

والآن لدينا فرض رابع، فرض "المجموعة الجزئية"، وينص على أنه إذا كان لدينا مجموعة ما س، وكان لدينا خاصة معينة يمكن التحقق بالنسبة لكل عنصر من عناصر س إذا كان له هذه الخاصة أم لا، فإنه تنشأ لدينا مجموعة جزئية من س، وهي تلك المجموعة التي تتكون بالضبط من كل عناصر س التي لها هذه الخاصة.

ثم نعرف تقاطع مجموعتين س، ص بأنه المجموعة الجزئية من س التي تنتمي عناصرها إلى ص أيضا. ويمكن "البرهنة" –نعم البرهنة- ببساطة على أن هذا التقاطع مجموعة.

وهنا نحتاج إلى فرض خامس: "فرض الاتحاد" ، الذي يقول بأنه لأي مجموعتين س، ص توجد مجموعة تسمى اتحاد س، ص، عناصرها هي بالضبط العناصر التي تنتمي إلى س أو إلى ص. ونلاحظ أننا هنا لا نملك البرهنة على أن الاتحاد بهذا التعريف في هذا السياق مجموعة، نقيض الحال عند التقاطع، ولهذا احتجنا إلى الفرض القائل بأنه مجموعة!

وهكذا دواليك: تعريفات وفروض ثم نظريات. وكما ترى فإن كل هذه الفروض من البدائة التي نحس صدقها، لكننا لا نملك لها برهانا بالمعنى الدقيق لمفردة "برهان" وهذا مستوى من الدقة يوجد ما هو أعلى منه، بل ربما أعلى منه بكثير. وهو الأساس الذي ينبغي له أن يمتد أفقيا، ثم يعلوه بناء كل الرياضيات المعاصرة الشامخ.

كان هذا عن "لغة المجموعات" أساس الرياضيات المعاصرة.

ثم كانت من بعد لغة "الفصائل" أو "المراتب" Categories التي ابتدعها العالم الأمريكي "سوندرز ماك لين Saunders MacLane ، علم أعلام الجبر في القرن العشرين، المولود في "كونكتيكت" سنة 1909، فتقدم لها ببحثه "المشاركة الطبيعية والإبدالية"
Natural Associativigy and Commutztivity الذي ظهر ضمن بحوث مجلة جامعة رايس Rice University Studies المجلد 49 عام 1963، ثم أخرج كتابه "المراتب للرياضي المشتغل" Categories for the Working Mathematician عام 1971، وفيه قدم النظرية بالتفصيل، وجب كل ما كتب عنها منذ عام 1963 (عام إنشائها)، إلى عام 1971، عام ظهور كتابه.

ولغة "المراتب" تتعامل مع المجموعات، وكل البنى الجبرية مثل "الزمر" Groups ، والحلقات Rings والمعدلات Modules و" الفراغات الخطية" Linear Spaces
، و... و.. بطريقة فرقية، فهي تضع النظريات العامة التي تصلح لكل هذه الأبنية، مع التفرقة بينها حين تجب التفرقة بطبيعة الحال. ولم تكن قيمة هذه النظرية في قدرتها الفائقة على "التجريد" وحسب، بل كانت المفارقة الكبرى أن ظهرت تطبيقات هذه اللغة، وفي علوم الحاسبات على وجه الخصوص!!

84

الرياضيات والتربية / تطور الفكر الرياضياتي

« في: أغسطس 21, 2007, 09:46:32 صباحاً »

وهناك بنايات مختلفة الرقي أو المستوى للنظرية. وقبل أن نعرض لأحد هذه الأبنية، نود أن نشير إلى أن "المنطق" لهذه الرياضيات هو ذلك المنطق الشائع المألوف المتعارف عليه بين الناس. بعبارة أخرى للتوضيح فإننا سنعني الآن بدراية "صدق التقارير المركبة"، وسنفصل الأمر على النحو التالي:

التقرير المركب من تقريرين مرتبطين بحرف عطف "و" سيكون صحيحا فقط في حالة إذا كان كلا التقريرين صحيحا، أي سيكون خاطئا إذا كان أحد التقريرين أو كلاهما خاطئا، فإذا قلنا: "قرأ زيد معلقة زهير "و" ذهب إلى المسرح.. فسيكون التقرير صادقا، أو صحيحا، إذا كان زيد قد أدى الفعلين وسيكون خاطئا إذا كان قد قرأ المعلقة ولم يذهب إلى المسرح، أو أنه ذهب إلى المسرح، لكنه لم يقرأ المعلقة، أو أنه لا قرأ المعلقة، ولا ذهب إلى المسرح.

أما إن كان التقريران مترابطين بحرف العطف "أو"، على نحو "قرأ زيد معلقة زهير" أو "ذهب إلى المسرح" فسيكون التقرير المركب صحيحا دائما إلا في حالة أن يكون كلا التقريرين خاطئا، أي في هذا المقال، التقرير المركب خاطئ فقط في حالة أن زيد لا هو قرأ معلقة زهير، و لا هو ذهب إلى المسرح.

أما التقرير المركب من التقريرين س، ص على النحو التالي: "س يضمن ص" فسيكون صحيحا دائما إلا في الحالة التي يكون فيها س صحيحا، ص خاطئا.

وكمثال ندرس التقرير: "مذاكرتك تضمن نجاحك" والآن إذا كان المخاطب قد ذاكر ونجح، فالتقرير صحيح بالطبع، وإن كان المخاطب قد ذاكر لكنه لم ينجح فالتقرير خاطئ. أما إن كان لم يذاكر، فسواء نجح أو لم ينجح، فالتقرير نعتبره صادقا- أو صحيحا- لأنه لم يقرر شيئا في حالة عدم المذاكرة. وهذا التقرير يقال له أحيانا: "س كاف لـ ص" أو " ص ضروري لـ س".

والآن فالتقرير " س يضمن ص و ص يضمن س" هو تقرير مركب من التقريرين "س يضمن ص"، " ص يضمن س، ارتباط بحرف العطف "و" وبتطبيق قاعدة الربط بـ "و" يتضح أن هذا التقرير المركب سيكون صحيحا إذا كان كلا التقريرين صحيحا أو كلاهما كان خاطئا، وسيكون خاظئا إذا كان أحدهما صحيحا والآخر خاطئا والمثال هذه المرة: "مذاكرتك تضمن نجاحك، ونجاحك يضمن مذاكرتك" وهكذا يكون التقرير المركب صحيحا إذا كان المخاطب ذاكر ونجح، أو أنه لم يذاكر ولم ينجح. وهذا واضح لأن عدم المذاكرة يضمن من الشق الثاني في التقرير المركب " نجاحك يضمن مذاكرتك" أنه لم ينجح. وهذا التقرير "س يضمن ص و ص يضمن س يقال له أحيانا "س إذا كان وفقط إذا كان ص" أو "س يكافئ ص" أو "س ضروري وكاف لـ ص" وكلها صيغ "متكافئة" متسقة مع المنطق المألوف والشائع بين الناس.

أما التقرير "نفي س" فهو تقرير صحيح إذا كان س خاطئا، وهو خاطئ إذا كان س صحيحا.

وهناك مثال مشهور جدا، نستخدمه كثيرا، بل لقد استخدمناه توا دون أن نلحظ، ذلك هو أن:

التقرير "س يضمن ص" حيث س، ص تقريران، يكافئ التقرير "نفي ص يضمن نفي س".

وهو واضح كذلك من المنطق العادي، إذ أن عدم تحقق ص يؤكد عدم تحقق س، وإلا لتحقق ص! وهذا المثال نعتمده كثيرا في البراهين، ويسمى أحيانا "البرهان بالتناقض".

85

الرياضيات والتربية / تطور الفكر الرياضياتي

« في: أغسطس 21, 2007, 09:45:46 صباحاً »

كانت هذه مرحلة في تطور الفكر الرياضياتي، تلتها المرحلة العربية الإسلامية التي كان أبرز أعلامها محمد بن موسى الخوارزمي المتوفي سنة 232 هـ، صاحب كتاب "الجبر والمقابلة"، وكان العرب –كما يقول كاجوري- أول من استعمل مفردة "جبر" للدلالة على ذلك العلم المعروف لدينا الآن، وعنهم أخذ الفرنجة نفس الكلمة
Algebra
. حقق كتاب "الجبر والمقابلة" الأستاذان: علي مصطفى مشرفة، والدكتور محمد مرسي أحمد، عليهما رحمة الله، يقول مشرفة: "صحيح أن حل المعادلات الجبرية يرجع إلى ما قبل الميلاد بألفي سنة (البابليين) وأن قاعدة حل معادلات الدرجة الثانية كانت معروفة عند الإغريق وعند الهنود، ولا شك أن الخوارزمي قد اطلع على ما لدى الهنود والإغريق من علم رياضي، ولكننا لم نعثر على كتاب واحد يشبه كتاب الخوارزمي" ويقول: إنه يميل إلى الظن بأنه لم يكن قبل الخوارزمي من علم يسمى علم الجبر، ويردف: "وتتجلى عبقرية الخوارزمي في أنه خلق علما من معلومات مشتتة عُرفت بعضها قبله".

وحل العرب معادلات الدرجة الثالثة، واستخدموا الجبر في حل بعض المسائل الهندسية، وكانوا بذلك واضعي أسس الهندسة التحليلية، كما مهدوا لنشأة علم التفاضل والتكامل.

وعرف العرب الجذور الصم، وكان الخوارزمي أول من استعمل كلمة "أصم" لتدل على العدد الذي لا يوجد له جذر يمكن كتابته على صورة أ/ب، حيث أ، ب عددان صحيحان، ب لا يساوي الصفر.

يقول أبو العلاء المعري:

طرق العلا مجهولة فكأنها
                    حسم العوائد مالها أجذار!

(العوائد: الأعداد، الأجذار: الجذور)

كما مهدوا لاكتشاف اللوغاريتمات، وقد عرف ابن حمزة ببحوثه في المتواليات العددية والهندسية.

وهاهو شيخ المعرة، مرة أخرى، يعبر عن ضيق ذات اليد، هذا التعبير الأدبي الرياضياتي البديع، فيقول:

سما نفر ضرب المئين* ولم أزل
                          بحمدك مثل الكسر يُضرب في الكسر

* (المئين: المئات)

وهو يقصد طبعا بالكسر ذلك الذي بسطه أصغر من مقامه، ولاحظ أن الكسر إن ضرب في نفسه على التوالي نتجت المتوالية الهندسية.

وتتجلى عبقرية ثابت بن قرة وهو ممن مهدوا لنشأة علم التفاضل والتكامل، في استخدام الهندسة الإقليدية لحساب حجم الجسم الناشئ عن دوران قطع مكافئ حول محوره، وهي المسألة التي نحلّها اليوم ببساطة باستخدام حساب التكامل، كما يحدثنا الأستاذ قدري حافظ طوقان، رحمه الله ويتساءل عمن يستطيع اليوم من أساتذة الجامعات حل هذه المسألة بدون استخدام التكامل؟!

واستعمل العرب الرموز في المعادلات الجبرية قبل "ديكارت" ويمكن القول بأن لغة الرياضيات- اللغة التقليدية- ظلت هي اللغة السائدة إلى أن انتهينا إلى العصر الحديث بأعلامه الأوروبيين؟، ومنهم "كانتور" (1845-1918)، الذي قدّم مفهوم –ولا نقول تعريف "المجموعة" (
Set
) بقوله: "إنها أي تجمع من الأشياء المحددة، المعرفة جيدا في رؤيتنا أو في تصورنا"، وأي شيء من هذه الأشياء يسمى عنصرا في المجموعة.

ومثلما قدمت هندسة إقليدس طائفة من البدهيات، تستعين الرياضيات الحديثة بمجموعة من الفروض
Axioms
لبناء "نظرية المجموعات"*.

- - - - -
* تدرس نظرية المجموعات –أحيانا- كمقرر متقدم في بعض الجامعات أما في المدراس وفي أغلب جامعاتنا العربية فيكتفي بالتعرف على "لغة" المجموعات.

86

الرياضيات والتربية / تطور الفكر الرياضياتي

« في: أغسطس 21, 2007, 09:44:11 صباحاً »

السلام عليكم

الموضوع التالي بقلم الدكتور محمد عبد العظيم سعود، أستاذ الرياضيات بكلية العلوم بجامعة عين شمس. من مجلة (التقدم العلمي) العدد السابع والعشرون- يوليو/ سبتمبر 1999 صفحات: 92-95- الكويت. ننقله هنا حرفيا ونترك التعليق للقارئ الكريم.


تطور الفكر الرياضيات


كان ذلك قبل نحو من ثلاثين عاما. حين عُين معيدا بقسم الرياضيات البحتة بكليةالعلوم/جامعة عين شمس. وكان القسم يومئذ يفور بعودة اثنين من مدرسيه، بعيد نوالهما إجازة الدكتوراه من بلاد الفرنجة. وكان أحدهما قد ثاب من اكسفورد بانجلترا، حاز إجازته بإشراف العالم اللبناني الأصل العالمي الأشهر مايكل عطية. وكان الجميع يتحادثون بذلك الانقلاب الذي تم –أو يتتام- في عالم الرياضيات. الذي اصطلح على تسميته بـ "الرياضيات المعاصرة"، أو "الرياضيات الحديثة"، يحمل لواءه في جامعتنا هذان المدرسان كأنهما رسولا العالم المتقدم، بعثا يبشران به ويخرجانه من الظلمات إلى النور.

وكنا نتساءل: هل هي رياضيات منبتة الصلة تماما عن الرياضيات التقليدية، التي تعارفنا عليها في مدارسنا وجامعاتنا، أو أغلب جامعاتنا؟! ويا ترى هل القدرات المطلوبة في أستاذ الرياضيات التقليدية تختلف عنها تماما- أو كثيرا- في أستاذ الرياضيات المعاصرة؟! ويحسب كاتب هذه السطور أن الأمر ليس كذلك بالظبط، والقدرات الرياضياتية المطلوبة في كلتيهما قدرات منطقية بالدرجة الأولى، وهذه تزيد في المعاصرة عليها في التقليدية، وقدرات حسابية بالدرجة الثانية، وهذه تعلو في التقليدية عليها في المعاصرة، لكن من المعلوم كذلك في أبجديات علم النفس أن معامل الارتباط بين القدرات الحسابية والقدرات المنطقية معامل قوي، على الرغم من وجود حالات صارخة شاذة أحيانا، مثلما وجد ثورنديك بالولايات المتحدة الأمريكية تلاميذ بذرعهم ضرب عددين، كل منهما مكون من أربعة أرقام، بمجرد النظر أو السمع (!!)، ويعجزون عن أبسط الاستنتاجات المنطقية!.

هذا إلى أن الرياضيات المعاصرة تتطلب شيئا آخرا هاما جدا، ألا وهو "القدرة على التجريد". ويقع فرع المنطق الرياضي في الذروة بالنسبة لهذه القدرة، وربما يأتي بعده "الجبر المجرد" والهندسة الجبرية، ثم "التوبولوجي" بأنواعه، و"التحليل الدالي"، و.. و.. وربما كان هذا تفسيرا يبدو معقولا لما نلاحظه أحيانا: تلاميذ يحصلون على الدرجات النهائية، أو قريب منها، في امتحانات المدارس الثانوية، لكنهم يجابهون صعوبات شديدة عند دراسة فروع مثل المنطق الرياضي أو الجبر المجرد، أو التوبولوجي بالجامعة!

لقد نشأت الرياضيات المعاصرة لكي تحل مشكلات لم يكن بإمكان الرياضيات التقليدية أن تقدم حلولا شافية لها، فكانت الفروع المستحدثة، ولكي تحل مشكلات عالجتها من قبل الرياضيات التقليدية، لكنها لم تحسن المعالجة، ذلك أنها لم تكن بدرجة الدقة المنشودة، فتقدمت المعاصرة لكي تناقش نفس القضايا وذات الفروع في التقليدية، لكن بأسلوبها الأشد حبكة، والأقوى إحكاما، ومن ثم الأكثر توفيقا.

كلنا يذكر من أيام المدرسة الثانوية والإعدادية- احتراما لا حبا! لهندسة اقليدس "ذلك الصرح الشامخ، الذي ساقنا في تسلق درجه –لساعات طويلة مديدة- أساتذة أمناء مهرة كما يقول "ألبرت آينشتاين" في فاتحة كتابه (النظرية النسبية الخاصة والعامة)".

كانت تلك الهندسة تقوم على تصورات معينة مثل "النقطة" و"الخط المستقيم" و"المستوى" وتقوم كذلك على بدهيات معينة لا نملك البرهنة عليها هندسيا لكننا نحس صدقها. وعلى هذه المفاهيم والبدهيات أقيم ذلك البناء المتطاول بمنطق نبيل. ولم يكن هناك وجه لأن نتساءل –مثلا- إن كان صدقا أنه لا يوجد إلا خط مستقيم واحد يصل ما بين نقطتين أم لا؟! وكل ما كان يمكننا أن نقول به إن هندسة إقليدس تعالج أشياءا تسميها خطوطا مستقيمة، وتنسب لأي واحد منها خاصة التعيين بذاته بنقطتين واقعتين عليه، ذلك أن الهندسة ليست معنية بعلاقات المفاهيم الداخلة فيها بالأشياء الواقعية، لكنها معنية فقط بالصلات المنطقية لهذه المفاهيم فيما بينها.

87

الرياضيات والتربية / أثر الكتابة الرياضية على تطوير فهم الرياضيات

« في: أغسطس 20, 2007, 08:35:46 مساءاً »

السلام عليكم

مرحبا بك أختي haaya وأتمنى لك التوفيق.

88

الدراسات والتعليم الجامعي / علم الأحصاء

« في: أغسطس 20, 2007, 08:29:31 مساءاً »

السلام عليكم

الأخ الكريم moustafa

مرحبا بك في المنتديات العلمية ومنتدى الرياضيات. وأرجو أن تقضي فيه وقتا مباركا نافعا.

 لديك طريقتان:

الأولى: اضغط "موضوع جديد" (إذا كنت تريد وضع الدروس في موضوع مستقل) أو اضغط "إضافة رد" إذا كنت تريد اضافة الدروس هنا. ثم اضغط "استعراض" واختر الملف من جهازك.

أو يمكنك تحميل هذه المفاتت: انزل لأسفل صفحة المنتديات العلمية ستجد قائمة اختر منها "مركز تحميل الملفات"

بالتوفيق

89

الرياضيات والتربية / أثر الكتابة الرياضية على تطوير فهم الرياضيات

« في: أغسطس 20, 2007, 10:50:28 صباحاً »

السلام عليكم

موضوع البحث:

آثار الكتابة الرياضية على تطوير فهم طلبة الصف العاشر لموضوعات الرياضيات التطبيقية: بحث إجرائي

ملخص البحث:

هدف البحث الإجرائي التعاوني الحالي إلى اختبار أثر معيار الاتصال الرياضي على تحصيل طلاب الصف العاشر في موضوعات الرياضيات التطبيقية. حيث تطورت فكرة البحث بجهد تعاوني مشترك بين معلم للرياضيات في المرحلة الثانوية في تورنتو (كندا) واستاذ جامعي في جامعة كارولينا الشمالية (الولايات المتحدة الأمريكية). وظف البحث العديد من الأدوات لجمع البيانات وهي: الصحائف اليومية (Journals)، الكتابة الحرة (free-writing) وسير الحياة الخاصة بالطلبة (math autobiography)، التعيينات الكتابية الرسمية، وحقائب الأداء (portfolio). أسهمت الأدوات السابقة في التأكيد على دور الكتابة الرياضية في مساعدة الطلبة على تطوير فهمهم واتجاهاتهم نحو الرياضيات. دلت النتائج على أن فهم الطلبة قد تحسن من خلال ممارستهم للعديد من الأنشطة الكتابية المتنوعة، كما ان تلك الأنشطة قدمت دليلا على تطور المهارات وراء المعرفية. كما اظهر البحث أن مقاومة الطلبة للكتابة الحرة للسير الذاتية الخاصة أدت إلى زيادة وعي الطلبة وبالتالي تحسن اتجاهاتهم نحو الرياضيات. ويسنتج من خلال هذا البحث أن اجراء أبحاث من النوع الإجرائي يسهم في تحفيز العلاقات التعاونية وتحسين الممارسات التعليمية ودعم التغيير المرغوب.  

اضغط على الرابط التالي لتحميل النسخة المترجمة:
البحث

المصدر: مجلة البحث الاجرائي في التربية

90

منتدى الأهلة / تــغـطـية خــــاصة : تحري رؤية هلال شهر رمضان 1428

« في: أغسطس 19, 2007, 07:53:42 مساءاً »

السلام عليكم

وفقكم الله جميعاو بارك فيكم

والله يجمع كلمة المسلمين ويهديهم إلى الحق والصواب وإلى ما فيه عزة أمتهم.