عرض المشاركات
16
الدراسات والتعليم الجامعي / تحويل وتكامل فوريير
« في: يوليو 18, 2006, 12:57:30 صباحاً »
السلام عليكم
تحويل فوريير
بصراحه كثر السؤال عن تكامل الداله sinx/x ويعتقد الكثير ان هذا الامر سهل لكنه بحقيقة الامر لايخلو من الصعوبه لذلك اردت ان اريكم كيف نكامل هذه الداله بابسط الطرق الممكنه ولو ان هناك طرق اسهل عن طريق تكاملها بالمستوى المركب وتعطي نفس النتيجه لكن الكثير ربما لايعرف التكامل وصيغه بالمستوى المركب
المهم
نعرف تحويل فوريير
لنفرض ان fداله في)
فهي اذن تنمتي الى , \ \ \for L>0)
الحاصل ان f يمكن تمثيلها على الفتره من (L,L-) بمتسلسلة فوريير
.\limits_{=} \sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i\pi x/L})
وهذه معادله 1
حيث
~e^{-in\pi x/L}dx)
لنفرض التالي
عند ئذ تتحول الصيغتان 1-2 الى الصوره
.\limits_{=}\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^\infty C(\xi_n)e^{i\xi_n x}\Delta\xi_n \ .......(3) \\ C(\xi_n)=2Lc_n=\Bigint_{-\L}^L f(x)~e^{-i\xi_nx/L}dx \ ......(4))
لو سمحنا للعدد L بان يتزايد بدون حدود فان المتغير المتقطع اكساي يقترب من متغير مستمر وتصبح الصيغه 4 بالصوره
=\Bigint_{-L}^L f(x)~e^{-i\xi x/L}dx ....(5))
اما في 3 فان الطرف الايمن يشبه الى حد كبير مجموع ريمان ال يؤول في النهايه عندما L تؤول الى مالانهايه الى
~e^{i\xi x/L}d\xi \ ....(6))
بذلك تتحول معاملات فورييه الى الداله)
, والتي تسمى تحويل فوريرر للداله ويرمز له بالرمز )
كما تتحول المتسلسله الى تكامل فوريير المعطى بالصيغه 6 والمتوقع ان يمثل الداله f على الفتره من سالب مالانهايه الى مالانهايه بكاملها
ان الاسلوب الذي اتبعناه للوصول الى الصيغ 5-6 ليس برهانا ولكن هو مجرد اقناع وتقريب فكرة العمل بل ان التكامل لصيغة التمثيل 5 قد لايكون موجود ويسمى قيمة كوشي الرئيسيه على ما اعتقد وكما قلت المقصود تقريب فكرة تمثيل الداله غير الدوريه على R بالكامل
تعريف 1
لكل)
نعرف تحويل فوريير للداله f بانه
بالتكامل المعتل
=\Bigint_{-\infty}^{\infty} f(x)~e^{-i\xi x/L}dx)
وهناك رمز اخر بدلا من f هات وهو
اعتمادا على ان الداله f قابله للتكامل على R يمكن اثبات اكثر من محدودية التحويل (هل تستطيع ان تثبت المحدوديه) على وجه الخصوص يمكن اثبات ان
داله متصله لكن ذلك يعتمد على احد نظريات التكامل المتقدمه وهي (dominated convergance theorm) او ماتسمى نظرية التقارب المسقوف وهذه برهانها يوجع القلب وصعب جدا والمامي فيه ضعيف جدا جدا لكن لاكتمال الموضوع احضرت البرهان من كتاب لكي يستفيد من الموضوع من لديه درايه بنظريات التكامل
الان نص النظريه
نظريه 1
افرض ان f_n متتالية دوال قابله للتكامل على الفتره I وان f_n تقترب من f نقطيا نكتب ذلك
والتقارب النقطي يعني انها تقترب من الداله عند كل نقطه على الفتره I اذا هناك داله موجبه
)
بحيث
|\le g(x) \ \ \for x\in I \ ,n\in N)
فان)
كما ان
dx=\Bigint_I f(x)dx)
البرهان
'>
منطوق النظريه سهل لكن البرهان صعب
سوف نقول ان متتالية الدوال تنتمي الى فضاء الدوال القابله للقياس لكي نستخدم تكامل لبيق للبرهنه وغير ذلك لايمكن البرهنه باستخدام تكامل ريمان ثم استخدام نتيجه تمهيد فاتو وحقيقة الامر ذكرت هذا الموضوع للاكتمال وليس لاني اهل لقول ذلك
المهم
لكي نبرهن القضيه لتكن
)
من نظريه تقول تكون وبما ان 
فان
مما يعني ان)
يعني تنتمي لمجموعة الدوال القابله للتكامل على طريقة لبيق وقيمة التكامل موجوده
اذا وضعنا
فان
)
فنستنتج من تمهيد فاتو ان
وبما ان
نقطيا فاننا نحصل على
لكن وركز تماما
او يساوي الصفر بالتالي
او يساوي الصفر اذن
وبما ان
فاننا نحصل على المطلوب
معليش البرهان غير واضح
لكن اذا كان احد مهتم ممكن انقل الاسئله الى احد اساتذتي والتي تكون باجابات مختصره واحضرها
الان نعود لكي نثبت اتصال تحويل فورير على R سنفرض ان اكساي اي نقطه في R وان اكسايn متتاليه متقاربه من اكساي نود ثم نستنتج ان
=\hat f(\xi))
اللي هو تعريف الاتصال الذي كلنا نعرفه لاحظ اولا ان
-\hat f(\xi)|\le\Bigint_{-\infty}^{\infty}|e^{-i\xi_n x}-e^{i\xi_0x}||f(x)|dx)
وبالنظر الى ان
|\le 2|f(x)\in\cal L^1(\R))
فان النظريه 1 تقتضي
|dx= \\ \Bigint_{-\infty}^{\infty}\lim\limits_{n\to\infty} |e^{-i\xi_n x}-e^{i\xi_0x}||f(x)|dx=0)
لاحظوا ان النظريه باك الله فيها سمحت لنا بادخال النهايه تحت رمز التكامل وتحقق المطلوب
اها
الان الخطوه الاهم
بعد هذا الكلام المختصر عن تحويل فوريير لنجرب بماذا ينفعنا هذا الكلام
اثبت ان
البرهان
بالتعريف
=y=\{{\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sin x/2} \ ,0<x<2\pi\atop 0 , \ \ x=0}\.)
هناك صيغه اوردها دون برهان
\sin\xi x dx=0)
يعني يكون لدينا
}dx)
هناك مجموع يسمى نواة ديرشليه
نرى ان
=\frac{1}{2\pi} \sum\limits_{k=-n}^n e^{ikx} \\=\frac{1}{2\pi} \ e^{-inx} \ \frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}})
x}-e^{i(n+1/2)x}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}} \\ =\frac{1}{2\pi}\frac{\sin (n+1/2)x}{sin (x/2)})
وهل تعرفون كيف عرفنا دالة الجيب بالخطوه الاخيره
المهم بالتعويض
والاستفاده من قضيه سابقه تقول
d\xi=1/2)
نحصل على
dx=\pi/2)
تساوي باي على 2
وباي باي'>
تحياتي
بنروز
تحويل فوريير
بصراحه كثر السؤال عن تكامل الداله sinx/x ويعتقد الكثير ان هذا الامر سهل لكنه بحقيقة الامر لايخلو من الصعوبه لذلك اردت ان اريكم كيف نكامل هذه الداله بابسط الطرق الممكنه ولو ان هناك طرق اسهل عن طريق تكاملها بالمستوى المركب وتعطي نفس النتيجه لكن الكثير ربما لايعرف التكامل وصيغه بالمستوى المركب
المهم
نعرف تحويل فوريير
لنفرض ان fداله في
الحاصل ان f يمكن تمثيلها على الفتره من (L,L-) بمتسلسلة فوريير
وهذه معادله 1
حيث
لنفرض التالي
عند ئذ تتحول الصيغتان 1-2 الى الصوره
لو سمحنا للعدد L بان يتزايد بدون حدود فان المتغير المتقطع اكساي يقترب من متغير مستمر وتصبح الصيغه 4 بالصوره
اما في 3 فان الطرف الايمن يشبه الى حد كبير مجموع ريمان ال يؤول في النهايه عندما L تؤول الى مالانهايه الى
بذلك تتحول معاملات فورييه الى الداله
كما تتحول المتسلسله الى تكامل فوريير المعطى بالصيغه 6 والمتوقع ان يمثل الداله f على الفتره من سالب مالانهايه الى مالانهايه بكاملها
ان الاسلوب الذي اتبعناه للوصول الى الصيغ 5-6 ليس برهانا ولكن هو مجرد اقناع وتقريب فكرة العمل بل ان التكامل لصيغة التمثيل 5 قد لايكون موجود ويسمى قيمة كوشي الرئيسيه على ما اعتقد وكما قلت المقصود تقريب فكرة تمثيل الداله غير الدوريه على R بالكامل
تعريف 1
لكل
بالتكامل المعتل
وهناك رمز اخر بدلا من f هات وهو
اعتمادا على ان الداله f قابله للتكامل على R يمكن اثبات اكثر من محدودية التحويل (هل تستطيع ان تثبت المحدوديه) على وجه الخصوص يمكن اثبات ان
الان نص النظريه
نظريه 1
افرض ان f_n متتالية دوال قابله للتكامل على الفتره I وان f_n تقترب من f نقطيا نكتب ذلك
والتقارب النقطي يعني انها تقترب من الداله عند كل نقطه على الفتره I اذا هناك داله موجبه
بحيث
فان
كما ان
البرهان
'> منطوق النظريه سهل لكن البرهان صعب
سوف نقول ان متتالية الدوال تنتمي الى فضاء الدوال القابله للقياس لكي نستخدم تكامل لبيق للبرهنه وغير ذلك لايمكن البرهنه باستخدام تكامل ريمان ثم استخدام نتيجه تمهيد فاتو وحقيقة الامر ذكرت هذا الموضوع للاكتمال وليس لاني اهل لقول ذلك
المهم
لكي نبرهن القضيه لتكن
من نظريه تقول تكون
مما يعني ان
يعني تنتمي لمجموعة الدوال القابله للتكامل على طريقة لبيق وقيمة التكامل موجوده
اذا وضعنا
فان
فنستنتج من تمهيد فاتو ان
وبما ان
نقطيا فاننا نحصل على
لكن وركز تماما
او يساوي الصفر بالتالي
او يساوي الصفر اذن
وبما ان
فاننا نحصل على المطلوب
معليش البرهان غير واضح
لكن اذا كان احد مهتم ممكن انقل الاسئله الى احد اساتذتي والتي تكون باجابات مختصره واحضرها
الان نعود لكي نثبت اتصال تحويل فورير على R سنفرض ان اكساي اي نقطه في R وان اكسايn متتاليه متقاربه من اكساي نود ثم نستنتج ان
اللي هو تعريف الاتصال الذي كلنا نعرفه لاحظ اولا ان
وبالنظر الى ان
فان النظريه 1 تقتضي
لاحظوا ان النظريه باك الله فيها سمحت لنا بادخال النهايه تحت رمز التكامل وتحقق المطلوب
اها
الان الخطوه الاهم
بعد هذا الكلام المختصر عن تحويل فوريير لنجرب بماذا ينفعنا هذا الكلام
اثبت ان
البرهان
بالتعريف
هناك صيغه اوردها دون برهان
يعني يكون لدينا
هناك مجموع يسمى نواة ديرشليه
نرى ان
وهل تعرفون كيف عرفنا دالة الجيب بالخطوه الاخيره
المهم بالتعويض
والاستفاده من قضيه سابقه تقول
نحصل على
تساوي باي على 2
وباي باي
'> تحياتي
بنروز