هنا يمكنك مشاهدة جميع المشاركات التى كتبها هذا العضو . لاحظ انه يمكنك فقط مشاهدة المشاركات التى كتبها فى الاقسام التى يسمح لك بدخولها فقط .
كيف الحال ؟
أشكرك شكراً جزيلاً ، و بالمنسبة للأمور التي تسائلت فيها ، فانا أوضحها لك كالتالي :
بالنسبة للكبار فأنتم (قدها و قدود ) ، لا سيما و اني أتابعكم باستمرار في منتدى دار الرياضيات :wink:
أما بالنسبة للإحتمالين فلا أظن أن لهما ثالث ، فما خبرت أحدأً يُسْتَفَزُّ ( أو يظن بأنه يُسْتَفَزُّ و أرجو أن تسمح لي باستخدام هذه الكلمة رغم انني لم أكن أقصدها)في قدرته في مهارة ما ( لا سيما الرياضيات) و يسكت ، بل لا بد أن يخرج و يعرض على صاحبه سؤالاً يرد به عليه ( هل تذكر سؤال التكامل ؟ )
و بالنسبة للحروف QED فهي مشهورة و معناها ( و هو المطلوب إثباته ) و ترجمتها باللاتيني هي ( Quod Erat Demonstrandum ) ، و أخبر أن هناك برنامجاً علمياً تقدمه ال BBC بهذا الاسم و يتناول كل الأمور العلمية ، و قد عرضت إحدي حلقاته موضوع نظرية فيرمات الأخيرة .
أما بالنسبة للسؤال و الجواب ، فأنا أشكرك شكراً كثيراً ، فمنذ زمن لم أفكر بحل سؤال ما كما فكرت في حل هذا السؤال ، لقد أرجعت لي عنادي و إصراري اللذان إفتقدتهما منذ تخرجي من تلك الجامعة و إلتحاقي بمهنة التدريس .
قد يكون جوابي طويل حقاً ، و لكنه حل صحيح ـ، و الحمد لله أنني توصلت إليه قبل غيري .
هذا ما لزم ذكره في حينه و أنا أنتظر أن تكتب إثباتك و أعرف بأن كتابة الجا و الجتا مملة و متعبة ، كي تعم الفائدة و من ثم أطرح في موضوع جديد سؤال المتميزين الثاني .
و لك مني كل التحية و التقدير
ملاحظة : أرسلت إليك رسالة خاصة لم أحبذ نشرها هنا ، إذ أنها ملاحظات أود أن أبقيها بيني و بينك فقط .
و لكي نستفيد جميعاً
الطريقة الطريقة ، لنعرف أين الخلل في محاولتك
و شكراً من جديد
وعد الحر دين عليه
و ها أنا ذا أفي بوعدي
و أرجو ان تعلقوا على إثباتي او تنقضوه إن كان خاطئاً أو تأتوا بأقصر و أوجز منه ، و إقبلوا إعتذاري مقدماً إذ أن مجال الكتابة ضيق و عليه فأرجو أن يكون إثباتي مفهوماً
لا سيما و أنه إذا حكم أخي ابراهيم بصحته كان دوري في كتابة السؤال التالي للمميزين
البرهان :
جذور المعادلة س^(2ن) - 1 = صفر هي :
1 ، -1 ، جتا(ط/ن) + ت جا(ط/ن) ، جتا(2ط/ن) + ت جا(2ط/ن) ، جتا(3ط/ن) + ت جا(3ط/ن) ، .....................، جتا((2ن-2)ط/ن) + ت جا((2ن-2)ط/ن) ، جتا((2ن-1)ط/ن) + ت جا((2ن-1)ط/ن)
إذاً :
س^(2ن) - 1 = (س - 1) × (س + 1) × (س- جتا(ط/ن) - ت جا(ط/ن)) × (س - جتا(2ط/ن) - ت جا(2ط/ن)) × ( س - جتا(3ط/ن) - ت جا(3ط/ن)) ×.........................× ( س - جتا((ن-1)ط/ن) - ت جا((ن-1)ط/ن)) × ( س - جتا((ن+1)ط/ن) - ت جا((ن+1)ط/ن)) × .......................... × (س - جتا((2ن-2)ط/ن) - ت جا((2ن-2)ط/ن)) × ( س - جتا((2ن-1)ط/ن) - ت جا((2ن-1)ط/ن)
كما نعلم بأن جتا((2ن-ك)ط/ن) = جتا(ك ط/ن)
و جا((2ن-ك)ط/ن) = (-) جا(ك ط/ن)
بإستثناء (س - 1) (س + 1) من اللعبة التالية ، لو ضربنا أول جذر في آخر جذر :
(س- جتا(ط/ن) - ت جا(ط/ن)) × ( س - جتا((2ن-1)ط/ن) - ت جا((2ن-1)ط/ن)
= (س- جتا(ط/ن) - ت جا(ط/ن)) × (س- جتا(ط/ن) + ت جا(ط/ن))
= س^2 - 2س جتا(ط/ن) + 1
و لو ضربنا ثاني جذر في الجذر قبل الأخير :
(س- جتا(2ط/ن) - ت جا(2ط/ن)) × ( س - جتا((2ن-2)ط/ن) - ت جا((2ن-2)ط/ن)
= (س- جتا(2ط/ن) - ت جا(2ط/ن)) × (س- جتا(2ط/ن) + ت جا(2ط/ن))
= س^2 - 2س جتا(2ط/ن) + 1
و تستمر اللعبة هكذا إلى أن نصل لضرب الحدين الأوسطين
المهم
سيصبح لدينا :
س^(2ن) - 1 = (س - 1) × (س + 1) × (س^2 - 2س جتا(ط/ن) + 1) × (س^2 - 2س جتا(2ط/ن) + 1) × (س^2 - 2س جتا(3ط/ن) + 1) ×.........................× × (س^2 - 2س جتا((ن-1)ط/ن) + 1)
بقسمة الطرفين على (س - 1) × (س + 1) :
س^(2ن-2) + س^(2ن-4) + س^(2ن-6) +............+ س^4 + س^2 + 1
= (س^2 - 2س جتا(ط/ن) + 1) × (س^2 - 2س جتا(2ط/ن) + 1) × (س^2 - 2س جتا(3ط/ن) + 1) ×.........................× (س^2 - 2س جتا((ن-1)ط/ن) + 1)
عندما س = 1 :
إذاً :
ن = (2 - 2جتا(ط/ن)) × (2 - 2جتا(2ط/ن)) × (2 - 2جتا(3ط/ن)) ×..................× (2 - 2جتا((ن-1)ط/ن))
كما يعلم الجميع ، فإن 2 - 2جتاأ = 4(جا(أ/2))^2
إذاً بالتعويض في المعادلة السابقة :
ن = (4^(ن-1)) × (جا(ط/2ن))^2 × (جا(2ط/2ن))^2 × (جا(3ط/2ن))^2 × (جا(4ط/2ن))^2 ×...............× (جا((ن-1)ط/2ن))^2
إذاً :
جا(ط/2ن) × جا(2ط/2ن) × جا(3ط/2ن) × جا(4ط/2ن) ×...............× جا((ن-1)ط/2ن)
= ( جذر(ن))/ (2^(ن-1)) *
و بنفس الطريقة نجد بأنه عندما س^(2ن+1) - 1 = صفر:
جا(ط/(2ن+1)) × جا(2ط/(2ن+1)) × جا(3ط/(2ن+1)) × جا(4ط/(2ن+1)) ×...............× جا((ن-1)ط/(2ن+1))
= ( جذر(2ن+1))/ (2^ن) **
نرجع الآن للسؤال الأصلي :
عندما تكون ن عدداً زوجياً (ن = 2ك)
جا(ط/ن) × جا(2ط/ن)×.......×جا((ن-1)ط/ن) = جا(ط/2ك) × جا(2ط/2ك)×.......×جا((2ك-1)ط/2ك) = ( جا(ط/2ك) × جا(2ط/2ك)×.......×جا((ك-1)ط/2ك)^2 = (( جذر(ك))/ (2^(ك-1)))^2 = ك/(2^(2ك-2))=ن/2^(ن-1)
و عندما تكون ن عدداً فردياً (ن = 2ك+1)
جا(ط/ن) × جا(2ط/ن)×.......×جا((ن-1)ط/ن) = ( جا(ط/(2ك+1)) × جا(2ط/(2ك+1))×.......×جا(ك)ط/(2ك+1))^2 = (( جذر(2ك+1))/ (2^ك))^2 = (2ك+1)/(2^2ك)= ن/2^(ن-1)
QED
أعتذر على الإطالة ، و لكن هذا هو الحل الذي توصلت إليه
هل عندك حل أقصر و أسهل أخي ابراهيم ، الكرة في ملعبك ، أنتظر ردك !
وجدت الحل أخي ابراهيم
نعم وجدته ، و لكن هناك نقطتان أساسيتان :
1) نظراً للطول النسبي للإثبات الذي توصلت إليه ، فإني سأكتبه و أنشره هنا في غضون الأيام الثلاثة القادمة !
و إن غدا لناظره لقريب !
2 ) نظراً لطول الإثبات الذي وصلت إليه و تداخل الأفكار فيه بين ذات الحدين و الأعداد المركبة و حساب المثلثات ، فإنني أقف أمام إحتمالين لا أكثر - أرجو أن لا يأخذهما البعض بحساسية أو بقصد الإستهزاء و الإستخفاف بقدرته -
الأول و هو بأن إثبات أخي ابراهيم أقصر بكثير من إثباتي و هذا معناه أن أحد أبناء الأمة العربية و الإسلامية قد كشف عن قوة نفسة و مقدرته على مقارعة الكبار في الرياضيات !!!!!!!! ( كنت أمزح -رغم أنها ممكنة- )
الثاني : و هو أن واضع السؤال قد وضع السؤال و هو يعرف بأن الإثبات طويل و شائك و يحتاج للعديد من الأفكار و الأمور التي قد لا تخطر على البال ، - إن صح هذا الأمر - ماذا يقصد من ورائه و ما هو هدفه من وضع سؤال كهذا المكتوب أعلاه ؟
عموماً إنتظرني أخي ابراهيم فلدي الحل ، و لا تنسوا أني من سيضع السؤال التالي هنا - كهجمة مرتدة - ، و أطلب من - المميزين منكم - إجابته !
و لكم مني كل التقدير و الإحترام .
و كلما درسنا و تعلمنا أكثر سنظل نكتشف مدى اتساع جهلنا ببحور العلم و مكنوناتها .
كما أُدينُ أُدان!
ممكن مساعدة الجمهور إذ أن المدرسة هذه الأيام مغلقة ؟
أرجو المعذرة فلدي من الأشغال الكثير و لكن سؤالك لا زال على البال و إشتغلت فيه و وصلت إلى عدة أمور أعرضها في حينها ( عندما أنتهي كلياً من حل السؤال ) ، و سأرسلها لك على بريدك الخاص بالمنتدى ، و لكن ليس الليلة ، فأنا عازم على الذهاب للمنامة
و لك مني تحية
و للجميع لا سيما القارئين لا أكثر من القراءة مني معلومة بسيطة
هل تعلم ؟
هل تعلم عزيزي القارئ بأن جا ((ن-2)ط/2ن) = جتا (ط/ن)؟
و أن جتا (ط/ن) * جا (ط/ن) = (1/2) جا (2ط/ن) ؟
على فكرة أخي ابراهيم
ماذا جرى لمنتدى دار الرياضيات ، إذ أنني لا أستطيع الدخول إليه ؟ عسى المانع خيراً ؟
كيف الحال ؟
أرجو المعذرة و ذلك لإطالتي في التعليق على سؤالك ، إذ أن البحرين تعيش هذه الأيام أفراحاً و أعراساً كثيرة لا تمكنني أن أتابع الإنترنت بشكل دوري و متصل و لا زالت كذلك .
أما تعليقي على هذا السؤال :
إن فكرة حل السؤال تدور حول :
جا (ط/ن) = جا ( (ن-1)ط/ن)
جا (2ط/ن) = جا ( (ن-2)ط/ن)
جا (3ط/ن) = جا ( (ن-3)ط/ن)
........
و هكذا
أوليس كذلك ؟
و كذلك هو الحال مع إخوتي في منتديات الرياضيات ، فهم إخوة أعزاء .
و لكني لا أحب أن أشغل نفسي بأكثر من منتدى في الوقت الحاضر ، و لهذا لي كل الشرف لو طرحت السؤال أخي العزيز أنت في منتدى الرياضيات .
سؤالك جميل للغاية ، سأحاول الإجابة عنه و سأرسل لك الإجابة حالما أجيبه
على فكرة . لم لم تطرحه في منتدى الرياضيات ؟
و أرجو أن نكون على إتصال دائم ، فأنا أتشرف بمعرفتك يا أخي
إطرحه في دار الرياضيات و أخبرني بالجواب لاحقاً إن إستعصت عليك الإجابة !!!!
و لك من تحية
نعم أخي prokhaled ، إلينا بالإجابة إن كنت تعرفها
بغض النظر عن الإستفادة من نتسلسلات ماكلورين أو تايلور لإيجاد متسلسلة متكافئة ( هذا إن كان يفيد ) ، فإن هذا التكامل لا يُحَل .
هذا من وجهة نظري !
و من له وجهة نظر أخرى فلينورنا به
و الوجدان يغلب البرهان .
إلى ذلك الحين أوجدوا معي تكامل :
د(س) = ( جا س + جتا س ) / (جا 2س )^0.5 بالنسبة للمتغير س
بمعنى آخر أوجد تكامل :
( جا س + جتا س ) على ( جذر ( جا 2س ) )
و للجميع مني تحية
من يثبت بأن نها ( جا هـ / هـ ) عندما هـ تؤول للصفر = 1
و أن نها ( (جتا هـ -1)/ هـ ) عندما هـ تؤول للصفر = صفر ؟
سيأتيك ردي قريباً على كل سؤالك السهل هذا
حالما ننتهي من دوشة تصحيح أوراق الإمتحانات النهائية
و لك تحياتي