ساعدوني في حل الاسئله

[رياضية بحتة]

اتمنى من اخواني في المنتدى بمساعدتي في حل الاسئله
السوال الاول
show that if a is an integral ,than 3 divides  a^3 -a


السوال الثاني
US mathematica induction to show that n^5 is divisble by 5 for every positive integer    n ?


اتمنى الرد السريع  واتمنى من فاطمه العلي تساعد في حلها

[zxz]

الاخت فاطمة العلي أستاذة نظرية الاعدا د أما نحن فهواة

السؤال الاول:
             a^3-a=a(a^2-1)=(a-1)a(a+1
وهذا الاخير هو جداء لثلاثة اعداد صحيحة متتالية فحتماً احدها مضاعف للعدد 3
                وبالتالي الجداء مضاعف للعدد 3
السؤال الثاني:
اولاً تصحيح السؤال:       5  يقسم n^5-n وليس n^5
طريقة الاستقراء الرياضي بملاحظة ان :     n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1    
      أو الطريقة التالية:
حسب فيرما
n^4 يطابق 1 بالمقاس 5
وبالتالي n^5 يطابق n بالمقاس 5
اي ان:5 يقسم الفرق n^5-n '>

[رياضية بحتة]

بالنسبه للسوال الاول فهمته اما الثاني مافهمت طريقة  الحل'>

[zxz]

السؤال الثاني :بطريقة مشابهة لحل السؤال الاول
المطلوب اثبات ان :5يقسم ن^5-ن=ن(ن-1)(ن+1)(ن^2+1)  لنأخذ الحالتين:

الحالة الاولى :
اذا كان 5يقسم أحد الاعداد المتتالية ن,ن-1,ن+1 نكون قد أثبتنا المطلوب
(وضوحاَ)

الحالة الثانية:
اذاكان5 لا يقسم أياً من الاعداد المتتالية ن,ن-1,ن+1 هنا علينا اثبات ان :
5يقسم ن^2+1
بما أن 5 لا يقسم أياً من الاعداد المتتالية ن,ن-1,ن+1 فانه سيقسم
أحد العددين ن+2 أو ن+3 (وضوحاً) سنستفد من ذلك:
ن+2=5ك (ك صحيح) ومنه:ن=5ك-2 ومنه :ن^2=25ك^2-20ك+4
ومنه:ن^2+1=5(5ك^2-4ك+1)      (تم المطلوب)
أو

ن+3=5ل (ل صحيح) ومنه:ن=5ل-3 ومنه :ن^2=25ل^2-30ل+9
ومنه:ن^2+1=5(5ل^2-6ل+2)      (تم المطلوب)

[رياضية بحتة]

تسلم اخوي على الرد

 ملاحظه
 واتمنى ان يكون الحل باللغه الانجليزيه ...            

[فاطمه العلي]

بسم الله
السائل الكريم
أورد هنا حل السؤال " الثاني" ويحتاج للأجابه عليه الألمام بالتطابقات ومبرهنة فيرما الصغرى ومبرهنة أويلر
أورد الحل على أعتبارأن السائل قد درس هذه الاشياء من طبيعة سؤاله وقد تطرقنا لها بالتفصيل في موضوعنا الخاص بنظرية الأعداد

السؤال : أثبت أن

وبلغة التطابقات أثبت أن

الحل : أولاً نص نظرية فيرما الصغرى هو مايلي ( إذا كان P عدد أولي و P لايقسم n
فإن


وعندنا
 عدد أولي
يعني أن

ومنه نجد

يعني أن

وعندما 5 لاتقسم n :
من مبرهنة فيرما الصغرى

أي أن

ونكون أثبتنا صحة العلاقه سواءً كانت 5 تقسم أولا تقسم n


أتمنى أن تكون واضحه للسائل وأن نكون قد خدمناه بالصوره المطلوبه
لاتنسونا من صادق دعائكم........

[رياضية بحتة]

تسلمين اختي فاطمه