السلام عليكم أخي المهلهل..
قبل أن أجيب على سؤالك أحببت أن أقول أنه كان من الأولى طرح هذا التساؤل في قسم الفيزياء ليس انحيازاً وإنما لأن هذه المعادلة من الأشكال المعروفة الحل بشكل بديهي لدى الفيزيائيين كما سأوضح ، كما أننا في قسم الفيزياء درسنا مقرر المعادلات التفاضلية في مستوى سابق للمستوى الذي يعطى فيه لقسم الرياضيات ، لأن مقرر المعادلات التفاضلية بالذات من الأهمية في الفيزياء بمكان لدرجة أنك لاتستطيع فهم أي مقرر من مقررات الفيزياء الحديثة إلا وأن تكون ذو خلفية قوية فيه...
لذلك تجده مقرراً أساسياً ذو أهمية بالغة في كل أقسام الفيزياء...
( أخاف يطردوني الرياضيين الحين لتطفلي على الموضوع
'> )
المهم أرجع للموضوع...
المعادلة اللي ذكرتها هي معادلة حركة توافقية بسيطة (SIMPLE HARMONIC MOTION)
من أمثلتها البسيطة زنبرك مشدود من إحدى طرفية وفي الطرف الآخر كتلة (يمكن تطبيقها على أي حركة توافقية بسيــطة كما في البندول أيضا)، تؤثر على هذا الزنبرك كما هو معلوم قوة هوك أو قوة إرجــاع ( عند اهتزازه طبعاً ) وهي F= -K X( م درجة 1)
حيث X هي إزاحة الجسم ذو الكتلة m عند تأثير القوة F عليه، k هو ثابت القوة (ثابت هوك)، ومن المعلوم أن تعاكس اتجاه تأثير القوة مع اتجاه الإزاحة التي تحدثها هو سبب الإشارة السالبة..
F= تسمى القوة المعيدة لأنها تحاول إرجاع الجسم (كتلتة البندول أو الزنبرك مثلا) دائما لوضع الاتزان (x=0)
مع الأخذ بعين الاعتبار تأثير القوة في بعد واحد (وليكن الأفقي مثلا) وبأخذ نقطة معينة ابتدائية تكون مرجع لذلك البعد بالطبع..
من قانون نيوتن الثاني F= ma
ومن المعادلتين :
ma =-kx
وبما أن a= (dv/dt)=d2x/dt2
إذن d2x/dt2 = -kx/m( معادلة من الدرجة 2)
هي المعادلة التي طلبت حلـها ( أعتذر عن الإطالة رغم علمي أن هذه المعلومات معلومة لديك ولكن حبيت أن أوضح فقط للفائدة )...
حل هذه المعادلة معروف وهو:
x= A cos (wt+Q) ; w2= k/m
أو sin بالتأكيد فالفرق فقط هو في زاوية الطور Q ، حيث A هي سعة الاهتزاز(أقصى نقطة إزاحة عن موضع الاتزان للجسم)،(Q هي الطور أو الازاحة الابتدائية للحركة)...
وحدة k= هي نيوتن.متر ، m = كجم
ومن السهولة استنتاج أن w وحدتها هيرتز حيث هو التردد الزاوي للحركة الاهتزازية (s.h.m)
w=2Pi*f
فيزيائياً : معنى الحل أن إزاحة هذا الجسم عن نقطة المرجع ( موضع الاتزان X=0 ) تتغير بشكل جيبي مع الزمن، الزمن الدوري للاهتزاز [ T=2Pi/w =2Pi*[ (m/k)^1/2
وأصبح من السهولة إيجاد السرعة، التسارع، الطاقة(جهد وحركة)...واستنتاجات أخرى حسب نوع المسألة.. أعتقد أن الجانب الفيزيائي هو مايهمك في هذه المعادلة..
أما عن التوصل لهذا الحل رياضياً فله إثبات إذا كان يهمك ، في هذا النوع من المعادلات عادة نفرض حلاً بشكل معين لكل شكل معين من أنواع المعادلات التفاضلية.
بالنسبة لمواقع عن المعادلات التفاضلية سأحاول البحث إن شاء الله... ولكن في الوقت الحالي أستطيع نصحك ببعض الكتب الجيدة عن المعادلات التفاضلية في حال رغبتك...
ودمت بخيــر...
