السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
نظرية القيمة المتوسطه للتكامل
نص النظريه((اذا كانت f داله متصله على الفتره [a,b] فلابد من وجود عدد c ينتمي للمفتوحه (a,b)
بحيث يكون
.(b-a)=\Bigint_{a}^b~f(x)dx)
البرهان
اذا كانت الداله ثابته فالموضوع واضح
الان نبرهن الحاله الاخرى
بما ان الداله متصله فانها تدرك قيمتها العظمى m والصغرى n على الفتره المذكوره يعني ذلك وجود عددين x1,x2 ينتميان للفتره ويحققان
f(x1)=m ,f(2)=n
وحيث ان الداله غير ثابته لابد من وجود نقطه تحقق المساوه
<m)
وبالتالي من نظريه اخرى
dx<\Large \Bigint_{a}^b~mdx)
ولان اطراف المتباينه ثوابت فانها تحقق المساواة
<\Large \Bigint_{a}^b~f(x)dx<\Large m(b-a))
ويكون
dx<\Large m )
الان نضع
dx)
ومن السابق يكون
<\Large \m<\Large f(x2))
ومن نظرية البينيه يوجد عدد c محصور بين x1 وبين 2 بحيث ان
وكذلك
=\Large \frac {1}{b-a}\Bigint_{a}^b~f(x)dx)
اذن
وهو المطلوب
