هل هناك معنى للتكامل

[G H Hardy]

السلام عليكم ورحمة الله وبركانه
اليوم تناقشت انا واحد الاشخاص من المنتدى عن موضوع التكامل مما اثار لدي التساؤل
هل هناك معنى للتكامل

لا تقولوا لي المساحه تحت منحنى انا اعرف هالكلام لكن هل هناك معنى اعمق من هذا
ارجوا ان تساعدوني مع  
شكرا لكم      '>

[المهلهل]

السلام عليكم

أظن هذا المعنى الوحيد


والسلام ختام

[G H Hardy]

السلام عليكم
اخي العزيز المهلهل
والله لو انت شفت بعض الاشياء كان تشك ان التكامل ياخذ معنى مساحه
مع ان احد المختصين الذين احترمهم جدا اخبرني ان المعنى هو المساحه
لكن لو نظرت الى تعريف تكامل لبيق كان تشك شوي
لان تكامل لبيق يعرف على مجموعات((ساهمل لك نظرية القياس وقياس لبيق الخارجي لطول الموضوع وقلة خبرتي فيه))
فمثلا بتكامل ريمان نحسب عن طريق مستطيلات المساحه
لكن تكامل لبيق يحسب مساحه لكن انا ارتاب من هالمساحه
لانه يعرف على فضاءات تكون فيها دالة الطول بمعنى اخر
فبدلا ماتقيس الطول بين نقطتين تقيس طول مجموعه كامله
فقياس المجموعه هذا بحد ذاته مريب
الله اعلم بالمراد
ولكن لانستغرب فهذا المفهوم قدمه لبيق للحصول على الدكتوراة لكن الجامعه رفضت اعطائه الدكتوراه الا بعد سنتين من تقديمه هذه الاطروحه نظرا لجرأة الاراء الوارده فيها
اخي المهلهل امامك بحر كبير من الغرائب والعجائب الذي اعتقد باذن الله انك من الذين سوف يكرمهم الله في الغوص فيه
شكرا لكم

[المهلهل]

السلام عليكم

كيف حالك يا اخ

هل يمكن توضح اكثر حول تكامل لبيق

والسلام ختام

[G H Hardy]

السلام عليكم
اخي العزيز المهلهل
انا علي ديون كثيره ومنها محدد رونسكي والذي كل يوم أجله الى يوم اخر نظراه لصعوبة كتابة المعادله
لكن احاول اجمع قواي واكتبه
فكيف تريد مني ان اكتب تكامل لبيق
الامر هنا ليس بالصوره التي نعرفها كما في تكامل ريمان
هنا تحتاج الى جرعه لايستهان بها من التبولوجي حتى تعرف المجموعه بخصائص معينه
ثم تحتاج الى دراسة مجموعات بورييل وتحتاج لتعرف بورييل الى جبر سيجما وبهذه الخلفيه تستطيع ان تعرف قياس لبيق الخارجي وكيف انه تمديد لفكره حدسيه بسيطه وهي مفهوم الطول
وبعد هذا كله تستطيع ان تعرف تكامل لبيق
هذا بالنسبه لمن يريد معلومه رياضيه حقيقيه
وانا لا املك القدره اني اكتب عن هالكلام
اما اذا كنت تريد كلام فاضي اكتب لك التكامل واعرف لك رموز المعادله واكتب لك مثال عن طريقة حسابه والتي انا متاكد انك لن تفهم ولا حرف منها فانا مستعد تماما
بعدين حتى تعرف الاسباب التي افضت الى مثل هذا النوع من التفكير وتجاوز تكامل ريمان
ان هناك نظريات عن التقارب فبعض المرات نحتاج الى تقارب منتظم مما يعجز ايجاد دوال تمثل هذه الخاصيه بتكامل ريمان وان تكامل لبيق يعطي شروط للتقارب اقوى وموال طويل وبلاوي متلتله
لذلك انا اعتذر عن طلبك
شكرا '>

[المهلهل]

السلام عليكم

شكراَ لك يا اخ (Roger Penrose ) على الرد

من قال ان عندك ديون اذا تقدر تكتب المحدد خير اذا لم تقدر تكتبة انا لآحق عليه اذا كان في العمر بقيه
إما بالنسبة لتكامل لبيق كنت أفكر ان الموضع بسيط مثل تكامل ريمان لكن تكامل لبيق طلع صعب مثل  صعوبة الهندسة التفاضلية لذا ليس هناك حاجة لكتابته

والسلام ختام

[G H Hardy]

السلام عليكم
اخي المهلهل كلمة صعب التي اذكرها وتذكرها انت
ليس معناها انه صعب الفهم
ولكن المقصود منها انه توجد مقدمات مهمه ليس لدينا خلفيه عنها
ومنها تنتج الصعوبه
لكن تكامل لبيق ان شاء الله اذا دخلت الجامعه ودرت مقرر تحليل حقيقي كامل ومقرر توبولوجي
راح تكون لديك الخلفيه وراح تفهم تكامل لبيق الى حد كبير
وراح تشعر بانك انجزت شيء
لكن حاليا بما ان الخلفيه معدومه يجب ان نحاول توفيرها
وعلى علمك ان هذه المفاهيم لايشرحها الا الاساتذه المتمكنون
امل ان تكون وصلت الفكره
شكرا لك '>

[المهلهل]

السلام عليكم

لقد وصلت الفكرة شكراً لك

والسلام ختام

[p_l_l_d]

السلام عليكم:

عزيزي (Roger Penrose) لقد سألتني عن رأيي في موضوع انت كتبته حول المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الأولى. أن موضوعك كان عرضاً لطريقة الحل بواسطة معامل التكامل لحالات خاصة من المعادلات العادية من الرتبة الأولى. إن عرضك يدل بشكل واضح على حسن فهمك لذلك الموضوع.

لقد ذكرت لك هذا هنا لأني أعجبت أكثر لطرحك لموضوع التكامل لأن هذا النوع من الأسئلة (لحسن الحظ أو لسوءه، لست أدري) قاد إلى أهم وأدق وأعقد المفاهيم في الرياضيات.

هاهنا لن أذكر نظريات ولكن بعض الحقائق الهامة عن التكامل.
  
1) التكامل المحدود يستخدم لحساب المساحة تحت المنحنيات كما يستخدم لحساب الحجوم ومساحات السطوح وإحداثيات مركز الكتلة ولإيجاد المتوسط والعزوم في الإحصاء ولديه تطبيقات (مباشرة وغير متعمقة) أخرى كثيرة يصعب حصرها هنا.

2) التكامل كمساحة هو مفهوم مبسط لغير الملمين بالرياضيات لتقريب المفهوم لهم وهو لا يعتبر تعريفاً للتكامل.

3) تعريف التكامل عند ريمان أو تعريف التكامل عند ليبيج (وعند غيرهما كذلك) يعتمد على مقاهيم متعلقة بالنهايات والتقارب.

4) الفرق بين تعريف ريمان وليبيج هو أن تعريف ريمان، وهو الأقدم، لا يكفي لبناء أدوات (أي مبرهنات أو نظريات) للتعامل مع التقارب (تقارب المتتاليات والمتسلسلات ونحو ذلك) وهذا ما دفع هنري ليبيج لوضع نظريته حول التكامل والتي كانت أساسا لتطورات كثيرة وعميقة في الرياضيات يستحيل الوصول إليها إذا اكتفى الباحثون بتعريفات ريمان.

5) من النتائج الأولية في نظريه ليبيج أن الدوال المعرفة على فترة محدودة والقابلة للتكامل بحسب تعريف ريمان هي أيضاً قابلة للتكامل بحسب تعريف ليبيج والقيمة العددية للتكامل هي نفسها في كل من الحالتين. من هنا أرغب في أن أقول أن القيمة العددية للتكامل ليست هي الشيء المهم عندما يعرف التكامل عند ريمان أو ليبيج ولكن الشيء المهم كان ولا يزال هو إيجاد تعريف يفضي إلى نتائج قابلة للتطبيق في مجالات أخرى سواء كانت رياضية أو فيزيائية أوإحصائية أوغير ذلك (الكثير من هذه التطبيقات متقدمة وعميقة جداً على الأقل بالمقارنة مع المساحات والحجوم).

أرجو أن يلقي هذا التعليق البسيط الضوء على طبيعة هذه المفاهيم.        

[G H Hardy]

السلام عليكم
شكرا استاذي العزيز
عندي تعقيب بسيط مع اني لست بمقام من يعقب على كلامكم واتمنى ان يكون تعقيبي دقيق ويعبر عن المطلوب
فعلا التكامل يتعلق بمفاهيم النهايات وهذا مشاهد في تعريف الاولي لتكامل ريمان وطريقة حسابه تعتمد اساسا على مفهوم النهايه
لكن تعريف ريمان اقرب للتعامل الواقعي فالقياس عند ريمان هو قياس طبيعي وفطري
لكن الغريب هو القياس عند لبيج حيث ان القياس يحقق متباينات غريبه نوعا ما
فمثلا

 
حيث الطرف الايسر تقاس المجموعه حسب تعريف لبيج للقياس والذي لا اريد ان ادخل فيه نظرا لسطحية معلوماتي عنه
والطرف الايمن هو القياس العادي حيث تقسم المجموعه الى فترات تقاس كل فتره على حده وتعطى بالتجميع كمتتاليه من الفترات قياس المجموعه كلها
واما بالنسبه للتكامل وتطبيقاته في التقارب فهذه نتائج من هذا المفهوم الذي يدل على رجاحة وعبقرية صاحبه
والجدير بالذكر ان هناك مفهوم احدث للتكامل يعطي مرونه اكبر لان تكامل لبيق يبقى له سلبيات حيث انه يعرف للدوال القابله للقياس لبيج الموجبه فقط الموجبه لان دائما في القياسات تاخذ الاطوال موجبه وليست سالبه
والمفهوم الجديد يسمى تكامل هنستوك وهذا من اعظم انجازت نظرية التكامل والتي يدرسها اصحاب الدراسات العليا
وبطبيعة الحال هذه سنة الرياضيات يبدو انه لايوجد علاج ناجح لكل شيء ولكن لكل مجموعه محدوده من المشاكل لها علاجها
هذا والله اعلم وما اصبت في هذا المقال فمن الله وما اخطئت فمن نفسي والشيطان واعذروني ان كان هناك خطأ فالانسان خطاء ولو كان خطأي هنا لايغتفر لان العلم ليس مجالا للزلات ولكن قد يكون عذري انني مازلت طالب علم فطالب العلم لايتعلم الا والاخطاء تكون في طريقه
اتمنى لكم التوفيق وشكرا لكم
وشكرا للستاذ p l l d
 

[comcom]

لسلا عليكم
هذا موضوع عن التكامل مأخوذ عن الجمعية الكونية السورية
يستعمل الرياضيون أداة هامة جداً تكاد تدخل في معظم التطبيقات العلمية. ما هو التكامل الرياضي؟
التكامل ببساطة هو مساحة يتم حسابها. فحساب التكامل يعني إيجاد القيمة مساحة محددة بدقة. ويأخذ هذا التعريف في الرياضيات معنى محدداً وبخاصة بالنسبة لمحيط الشكل المراد حساب مساحته. إن تكامل تابع ما وليكن ع يمثل المساحة المأخوذة بين محور السينات ومنحني التابع ع، وذلك بين نقطتين معلومتين ب وجـ . وتتمثل المسألة الرياضية في إعطاء قيمة دقيقة لهذه المساحة. وليس ذلك بالسهل أبداً. فالمساحات التي نستطيع تقديرها ببساطة هي مساحات المستطيلات فقط. ويستخدم تعريف التكامل مفهومين أساسيين فقط هما مساحة المستطيل ومفهوم النهاية. وترتكز الطريقة على تقطيع المسافة من ب إلى جـ  على محور السينات إلى قطع صغيرة، ولنفترض مثلاً إلى ن قطعة متساوية. ونضع في كل من هذه القطع وتحت الخط المنحني للتابع ع أكبر مستطيل ممكن (الذي يمس الخط البياني في أدنى نقاطه). وبالمثل نأخذ أصغر مستطيل ممكن فوق الخط المنحني. وبجمع مساحات المستطيلات التحتية من جهة والمساحات الفوقية من جهة أخرى فإننا نعرف بذلك قيمتين قريبتين جداً من المساحة المراد معرفتها. فالتكامل المراد معرفته يقع بين قيمتي هاتين المساحتين. وكلما كانت حجوم المقاطع المأخوذة أصغر تكون القيم التي يتم الحصول عليها أدق. ويمكننا أن نعتبر أننا كلما جعلنا طول هذه التقطيعات ينتهي إلى الصفر فإن المساحتين المتقاربتين تتناهيان إلى قيمة المساحة المراد معرفتها. وهذا التعريف يسمى تعريف ريمان للتكامل وهناك تعاريف أعقد منه.
منذ متى اهتم الرياضيون بالتكامل وحسابه، وكيف توصلوا له؟
التعريف الذي ندعوه بتعريف ريمان لا يعود إلى ريمان بل إلى كوشي الذي نشره عام 1823. وكان قد استعار من فورييه رمز تكامل التابع ع بالإشارة إليه برمز الحرف S اللاتيني بشكل ممطوط، وهو الذي أصبح شائعاً اليوم. وكان ريمان قد عمل بعد ذلك على التكاملات وعلى خصائصها في بحث قدمه عام 1853. ومع ذلك لا يمكن القول إن التكامل ظهر عام 1823 فقط، إذ كان عدد كبير من العلماء في التاريخ قد عملوا على دراسة هذه المسألة.فقد درس أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد ما ندعوه اليوم بتكامل القطع المكافئ. وكانت هذه المسألة تظهر في مسائل عديدة: مساحة قطع مكافئ، مركز جاذبية مثلث، مساحة حلزون، إلخ. وقد كان للعلماء العرب محاولات عديدة في دراسة هذه المسألة. وبين القرنين السابع عشر والثامن عشر عرف الرياضيون خصائص كثيرة حول المساحات والتكاملات، دون أن يتوصلوا مع ذلك إلى تعريف عام. فقد أعطى فيرما مثلاً عام 1636 قيماً لتكاملات توابع أسية بفضل خصائص خاصة لهذه التوابع. والحق أن تعريف التكامل يرتكز بشكل جوهري على مفهوم التابع الذي لم يكن معرفاً بعد بدقة. وقد أعطى أولر في القرن الثامن عشر أول محاولة تعريف للتابع. وقد صحح تعريفه عدة مرات ليشمل تابع جديدة أكثر عمومية. وفي ذلك الوقت تنبأ ديريشليه أنه يمكن مكاملة تابع شرط ألا يكون متقطعاً كثيراً. كذلك عمل كوشي على محاولة إثبات أن متتاليتي المستطيلات اللتين تحدان التابع لهما نهاية واحدة. لكن هذه النظريات لم تبرهَن إلا لاحقاً. وشهدت نظرية التكاملات بداية حقيقية في مطلع القرن العشرين مع لبسغ.
هل يمكن القول إن دراسة مسألة التكاملات باتت أمراً منتهياً؟
لقد سمحت أعمال لسبوغ في بداية هذا القرن بحل عدد كبير من المسائل المتعلقة بالتكامل. فمن تكامل لسبوغ إنما ظهرت نظرية الاحتمالات، وهي فرع لا يزال نشطاً ومتطوراً في الرياضيات. إن التكامل بحسب ريمان يعتمد على التقطيع العمودي بحيث نحصل على مستطيلات عمودية ونجعل قاعدة المستطيلات تنتهي إلى الصفر على محور السينات. أما لبسغ فقد اهتم في البداية بالكميات الأفقية. فاختار قيمة للتابع ع لمكاملتها على محور العينات، وجمع المجموعات التحتية لمقطع الانطلاق التي يرسلها التابع ع لهذه القيمة. وهذه المجموعات التحتية ليست بالضرورة مقاطع، بل يمكن لها أن تكون معقدة جداً ومليئة بالفجوات ومؤلفة من حشد كبير من النقاط. وبالتالي فإننا لا نتعامل هنا مع مستطيلات أو مع مساحات يسهل حسابها. وكانت المسألة التي تعرض لها لبسغ هي كيف يمكن معرفة مساحة أشباه المستطيلات هذه. وتلك كانت أساس نظرية القياس. واقترح لبسغ تعريف قياسٍ على مجموعة الأعداد الحقيقية، وهي مجموعة الأعداد التي يمكن أن تكتب بسلسلة لانهائية من الأرقام بعد الفاصلة، وذلك بفرض أن قياس مسافة ب جـ تساوي طولها جـ ب. وتسمح قواعد أخرى بمد هذا التعريف على مجموعات تحتية ذات مظهر أكثر صعوبة. ونحصل عندها على نظرية أقوى من نظرية ريمان بما أنها لا تعتمد على التقريبات بواسطة المستطيلات. ويمكن بواسطة نظرية لبسغ مكاملة توابع أكثر مما يمكن مع نظرية ريمان. وتعطي الحسابات بواسطة النظريتين النتائج نفسها بالنسبة للتوابع التي يمكن مكاملتها بواسطة نظرية ريمان.
هل يمكن دائماً مكاملة تابع رياضي ما؟
لا. فتكامل ريمان معرف على أنه النهاية المشتركة لمتسلسلتين، متسلسلة المستطيلات الفوقية ومتسلسلة المستطيلات التحتية. وبالنسبة لبعض التوابع الغريبة لا تتلاقى نهاية هاتين المتسلسلتين بل وأحياناً تكون قيمة النهايتين مختلفتين. ومثل هذه التوابع معقدة جداً في الواقع بحيث لا يمكن حتى رسمها، إذ لو أمكن رسمها لكان بالامكان طبعاً معرفة مساحاتها. ونجد مثلاً في هذا النوع من التوابع التابع الذي يساوي الواحد بالنسبة للأعداد الكسرية أو العادية ويساوي الصفر بالنسبة للأعداد الأخرى. وهو يبدو في الرسم البياني مثل كومة من النقاط بالنسبة للقيمة 1، وكومة من النقاط الأخرى بالنسبة للقيمة 0. وهو يمر بالتالي باستمرار من 0 إلى 1، ومهما كانت دقة التقطيعات التحتية المختارة فإن قيمة التقطيع التحتي تكون 0 وقيمة الفوقي تكون 1. وبين نقطتين ب وجـ تكون نهاية المستطيلات العليا (ب - جـ ) × 1 ونهاية المستطيلات التحتية تساوي الصفر: وبالتالي لا يوجد نهاية مشتركة وهذا يعني عدم وجود تكامل. ومن الصعب جداً وصف مجموعة التوابع غير القابلة للتكامل. إنها توابع غير مستمرة، أي التي تقفز أحياناً من قيمة إلى أخرى. وهكذا نعرف التابع القابل للتكامل بحسب ريمان بأنه التابع الذي لا توجد فيه نقاط تقطع كثيرة. ووفق نظرية القياس يُعبّر عن ذلك بأن مجموعة نقاط الانقطاع يجب أن تشكل مجموعة قياس معدومة. وبالمقابل فقد أعطى ريمان عام 1853 مثالاً على توابع لها لانهاية من نقاط الانقطاع وهي مع ذلك قابلة للتكامل.

[G H Hardy]

اقتباس

أما لبسغ فقد اهتم في البداية بالكميات الأفقية. فاختار قيمة للتابع ع لمكاملتها على محور العينات، وجمع المجموعات التحتية لمقطع الانطلاق التي يرسلها التابع ع لهذه القيمة. وهذه المجموعات التحتية ليست بالضرورة مقاطع، بل يمكن لها أن تكون معقدة جداً ومليئة بالفجوات ومؤلفة من حشد كبير من النقاط.

هذا كلامك اخي العزيز الكثير الكثير من التبولوجيا فمن تبولوجيا خط الاعداد الحقيقي نستطيع دراسة هذا الامر فكيف تدرس مجموعه وهل هي مفتوحه ام لا وهل هي قابله للتغطيه وهل تمثل باتحادات وهل وهل وهل................الى ماشاء الله
فمن تقول بسم الله الرحمن الرحيم الى اخر خطوه وهي كيف تعرف دالة قياس وهي المرحله الاخيره لتعريف التكامل ينفجر رأسك من التبولوجيا
فعلا مع اني اشعر بشعور غريب عند دراستي الجبر بشكل خاص وهو شعور الملل والكابه وشعور اخر صعب وهو انك لاتعرف عن ماذا تتكلم بالتحديد وعند حل المشكله يكون فن التعبير مماثل لاهمية فكرة الحل الا ان الجبر مهم ومن امتداد الجبر وهو التبولوجيا وهو اكثر اهميه
لكن كل ما اتذكر ريتشارد فاينمان عندما يقول عندما انهي عملي البحثي واذهب في اي نوع من انواع العمل الاخرى او الترفيه يكون اخر شيء افكر فيه هو العوده لاكمال البحث
فذا القول يريحني نفسيا فعالم بهذا الحجم يشعر بما يشعر به اقل الناس وهم من هم مثلي وعلى شاكلتي
عموما مقالك جميل جدا لاننا كطلاب ندرس التكامل بصوره تحليليه وقليل مايفعل دور الهندسه لكن ممقالك مع ان لي بعض الملاحظات والتي تخصني انا الا انه مفيد وفيه كلام يعطيك تصور عن المفاهيم المجرده شكرا لك كوم كوم

[greencity]

موضوع أكثر من رائع يا بنروز
و الحقيقة أن مفهوم التكامل من الموضوعات المهمة جدا في علوم الفيزياء و الذي اعتقد أن الموضوع يناسب أكثر الفيزيائين

تحياتي

[G H Hardy]

السلام عليكم
اخي العزيز اخالفك الرأي تماما
وحتى الان مع اني شاهدت نشرات لنظريات الاوتار الفائقه ونظريات الالكتروديناميك الكمومي التي تعتبر الاشد حداثه الان لم اجد احد يستخدم مفهوم تكامل لبيق
فالامر لحساب تكامل لبيق لداله مثل x يعتبر قضيه كبيره فالامر خارج نطاق ايجاد اصل مشتقه
عموما نتكلم لاحقا لاني اليوم متعب جدا
شكرا