اريد حل مساله في تطبيقات التفاضل

[majid_2003]

هناك مستقيم يقطع محور السينات في (أ) ويقطع محور الصادات في (ب) علما ان المستقيم يمر
بالنقطه (5,3) كم يجب ان تكون اكبر مساحه للمثلث؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟ :





 '>  '>  '>

[darweesh]

إلى السيد مجيد:

هل أنت متأكد من صحة سؤالك؟ أرجو أن تراجع مصدرك فحسب السؤال يبدوا أن المطلوب هو "أصغر" مساحة.

درويش

[majid_2003]

نعم اخي العزيز انا بصراحه اسف لهذا الغلط الفني وعلى العموم المطلوب هو اصغر مساحة للمثلث
و
شكرا وتقبل اسفي للمرة المليون


 '>

[darweesh]

الحل:  لاحظ هذا الشكل أولاً
                                  |  \
                                  |\
                                  |
                                \ |
                              \   |
                            \     |
                          \       |
                        \         |  ب       المساحة    د = أ ب \ 2
           (3 , 5)  ×          |
                    \             |
                  \        د      |
------------\--------------|-------    
              \         أ         |
                                  |
بفرض أن ميل المستقيم هو م، فإن معادلته تكون:  ص = م (س - 3) + 5

ومن ذلك فإن:  ب = م (0 - 3) + 5 = 5 - 3 م

وكذلك:   0 = م (أ - 3) + 5

ومنه:  أ = (3 م - 5) \ م

إذن مساحة المثلث المحصور بين المستقيم والمحاور تكون:

د = (5 - 3 م) (3 م - 5) \ (2 م)

د = (30 م - 9 م^2 - 25) \ (2 م)

وبالتفاضل نجد:

دَ = (25 - 9 م^2) \ (2 م^2)

ومن ذلك فإن القيم التي تجعل  دَ = 0  هي: 5\3 و -5\3

لاحظ من الرسم أن الميل يجب أن يكون سالباً ولذا سنستبعد القيمة 5\3

نحسب المشتقة الثانية:

دً = -25 \ م^3

وعند التعويض بالقيمة -5\3 نجد:  دً(-5\3) > 0  وهذا يعني أن
للدالة د قيمة صغرى عند -5\3

أي أن أصغر قيمة للمساحة المحصورة بين المستقيم والمحاور تكون عندما
يكون الميل -5\3 ومن ذلك فإن معادلة المستقيم المطلوب هي:

ص = (-5\3) س + 10  والمساحة المطلوبة هي 30  وحدة مساحة

ويمكنك كذلك حساب قيمتي أ ، ب إذا كانتا مطلوبتين.

مع تحيات درويش

ملاحظة: لا داعي للأسف فمن الواضح أن الخطأ غير مقصود.

[majid_2003]

شكرا اخي درويش على هذا الحل .....طبعا الحل صحيح ميه بالمية:
هناك حل اخر ب سوف اكتبه لتعم الفائدة للجميع :
لو فرضنا ان البعد بين (أ) ونقطة الاصل هو (س), والبعد بين (ب) ونقطة الاصل هو (ص)
وعند مد خط بين النقطه (3,5) مع محور السينات ومحور الصادات نجد ان:
هناك مثلثان متشابهان هما أ ب و ,ب ج د, حيث و نقطة الاصل , والنقطة ج هي (5,3) والنقطة
د هي (3, ص-5) اذن من التشابه:
3/س = ص-5/ص ==========3ص=س ص - 5س
5س= س ص - 3ص
5س = ص (س - 3) ===========  ص= 5س /( س -3 ).........(1)
اذن مساحة المثلث = 1/2*س*ص...........................................(2)
م= 1/2 *س *5س/(س-3)
=5س^2 / 2(س-3)
نشتق الدالة
مّ= 2(س-3)*10 س - 5س^2 *2  /4(س-3)^2
نساوي المشتقة بالصفر ومنه ينتج:
20 س (س-3) - 10 س^2 =صفر
10 س ( 2س - 6 -س ) =صفر
10س =صفر ==========س=صفر مستبعد
2س -6 - س =صفر
س-6= صفر ============== س =6
نعوض بالمعادلة (1) عن س لنحصل على ص= 10
اذن المساحة =1/2 *س *ص
 =1/2 *6 *10
=30 وحده مربعة