التفاضـل
القسم السادس 2
تحت المماس وتحت العمودي
يجب التعرف على الشكل المرفق لمعرفة ما نريد.
من الشكل أ د مماس للمنحنى عند النقطة د (س ، ص) وصنع زاوية هـ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات وعليه فإن ص¯ = طاهـ عند نقطة د وإنَّ العمود المقام على المماس عند نقطة د يقطع محور السينات في حـ وهو العمودي على المنحنى عند نقطة د ولنذكر الآن التعريف
تعريف :
إنّ مسقط الجزء من المماس المحصور بين نقطة التماس ونقطة تقاطعه مع محور السينات يعرف تحت المماس في حين مسقط الجزء المحصور من العمودي بين نقطة التماس ونقطة تقاطعه مع محور السينات يسمى تحت العمودي. (المسقط على محور السينات)
وبناء على هذا التعريف يكون من الشكل أ ب تحت المماس ، ب حـ تحت العمودي ولكي نوجد طول كل منهم نقول:
من المثلث أ ب د
طاهـ = ص ÷ أ ب ونعلم أن طاهـ هو قيمة المشتقة الأولى عند نقطة د " ص¯ "
ص¯ = ص ÷ أب " أب هو طول تحت المماس "
أ ب = ص ÷ ص¯
طول تحت المماس = ص ÷ ص¯
في المثلث ب حـ د
طاهـ = ب حـ ÷ ب د حيث < د أ ب = < ب د حـ كل منها تتمم الزاوية أ د ب
ص¯ = ب حـ ÷ ص حيث ب حـ هو تحت العمودي
ب حـ = ص × ص¯
طول تحت العمودي = ص × ص¯
ملاحظة هامة:
بمعرفة معادلتي المماس والعمودي يمكن معرفة طول تحت الماس وتحت العمودي كالآتي مع العلم بأن نقاط محور السينات احداثيها الصادي صفر
في معادلة المماس نضع ص = 0 فنحصل على قيمة س للنقطة أ(س1 ، 0) حيث س1 = أ و ومن حيث أ ب تحت المماس ، و ب = س فيكون :
طول تحت المماس = و ب – و أ = س – س1 أي فرق الإحداثيات السينية للنقطتين د ، أ
طول تحت المماس = س – س1 أي الفرق بين الإحداثيات السينية لنقطة التماس ونقطة تقاطع المماس مع محور السينات وبالمثل يكون
نضع ص = 0 في معادلة العمودي فنحصل على قيمة س للنقطة حـ (س2 ) أي طول و حـ وحيث طول تحت العمودي هو ب حـ فيكون
طول تحت العمودي = و حـ – و ب
طول تحت العمودي = س2 – س أي الفرق بين الإحداثيين السينيين للنقطتين حـ ، د
مثال : أوجد طول تحت المماس وتحت العمودي للمنحنى ص = س3 – 4 س2 + 8 س – 3 عن النقطة ( 2 ، 5 )
الحل :
ص¯ = 3 س2 – 8 س + 8 باشتقاق معادلة المنحنى
[ص¯](2 ، 5) = 3 × 4 – 8 × 2 + 8 = 12 – 16 + 8 = 4
طول تحت المماس = ص ÷ ص¯
طول تحت المماس = 5 ÷ 4 = 1.25
طول تحت العمودي = ص × ص¯
طول تحت العمودي = 5× 4 = 20
الحل الآخر :
ص¯ = 3 س2 – 8 س + 8 باشتقاق معادلة المنحنى
[ص¯](2 ، 5) = 3 × 4 – 8 × 2 + 8 = 12 – 16 + 8 = 4
معادلة المماس هي :
ص – 5 = 4 ( س – 2) وبوضع ص = 0 نحصل على
– 5 = 4 س – 8
س = 3 ÷ 4
طول تحت المماس = 2 – 3÷4 = 1.25
معادلة العمودي هي :
ص – 5 = –(1÷4)( س – 2) وبوضع ص = 0 والضرب × 4
– 20 = – س + 2
س = 22
طول تحت العمودي = 22 – 2 = 20
تمرين : اثبت أنه لجميع نقط المنحنى ص2 = 4 ب س حيث ب ثابت يكون
(1) طول تحت العمودي ثابت
(2) نقطة الأصل تنصف تحت المماس
