نذكر بأن الرمز ¯ هو للمشتقة الأولى
التفاضـل
القسم السابع
التطبيق الفيزيائي للمشتقة
التطبيق الفيزيائي أو كما يسميه البعض المعدلات الزمنية وآخرون يسمونه مبحث في الميكانيكا ومع ذلك فهو تطبيق للمشتقة الأولى التي هي معدل التغير في الدالة ص = د(س) أو كما عرفناها بالمشتقة الأولى أو تفاضل ص بالنسبة إلى س بكون المنحنى ينشأ من حركة نقطة (س ، ص) في مستوى الإحداثيات وكلامنا هنا عن حركة نقطة لتقطع مسافة (ف) في زمن (ن) وهو ما يقودنا لتعريفات على الميكانيكا والتي تهتم بعناصر ثلاث أساسية وهي المسافة والسرعة والزمن فالسرعة هي نتاج من المسافة والزمن في حين نتاج السرعة والزمن يعرف بالعجلة وقولنا هذا يخضع للتعاريف الآتية ضمن علم الميكانيكا(قسم الديناميكا):
(1) السرعة المتوسطة لجسم يقطع مسافة ف في زمن قدره ن هي ناتج قسمة المسافة الكلية على الزمن الكلي.
وهنا لا نهتم إلا بقيمة المسافة وقيمة الزمن بصرف النظر عما يحدث أثناء الفترة الزمنية فالمهم قيمتي ف ، ن
(2) السرعة المنتظمة وهي المعدل الثابت لتغير المسافة بالنسبة للزمن .
وهذا يعني أن الجسم يقطع مسافات متساوية في أزمنة متساوية مهما صغرت تلك الأزمنة
(3) السرعة اللحظية هي معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن عند لحظة ما.
وهذا يعني أن الجسم إذا كان متحرك حركة غير منتظمة أو بمعنى آخر غير ثابت السرعة ولكن قياسنا للسرعة يكون عند مروره بنقطة ب مثلاً
(4) العجلة هي معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن
(5) العجلة المنتظمة هي المعدل الثابت لتغير السرعة بالنسبة للزمن
من الشكل: نقول إذا تحرك جسم في خط مستقيم فالمسافة التي يقطعها خلال انتقاله من نقطة ثابتة و على الخط لموضع آخر(ب) هي دالة في الزمن ن الذي قطعت فيه هذه المسافة أي : ف = د(ن) وبفرض أن الجسم بعد فترة زمنية قدرنا
Dن قطع مسافة قدرها
Dف فقيمة السرعة المتوسطة هي
Dف ÷
Dن وذلك أثناء الفترة الزمنية
Dن وفي حالة حركة الجسم المنتظمة فإن
Dف ÷
Dن يكون ثابت القيمة فإذا اقتربت
Dن من الصفر فنهاية
Dف ÷
Dن هي السرعة اللحظية عند تلك اللحظة(التي يمر بها الجسم بنقطة ب) وهي المشتقة الأولى للمسافة بالنسبة للزمن (ف¯) أي أن :
العجلة : ـ
العجلة المتوسطة هي خارج قسمة التغير في السرعة (
Dع ) على التغير المناظر في الزمن (
Dن ) أثناء الفترة
Dن
العجلة اللحظيــــة هي معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن أي المشتقة الأولى للسرعة بالنسبة للزمن (ع¯) أي أن :
مثال :
نقطة مادية تتحرك في خط مستقيم حسب العلاقة ف = 2 ن2 + 3 ن – 4 حيث ف مقاسة بالمتر ، ن بالثانية ، أوجد كل من السرعة والعجلة في نهاية 2 ثانية
الحـل :
ع = 4 ن + 3 باشتقاق المسافة ( ع = ف¯ )
بعد 2 ثانية : ع = 4 × 2 + 3 = 8 + 3 = 11 م / ث
حـ = 4 باشتقاق السرعة ( حـ = ع¯ )
حـ = 4 م / ث
لاحظ : أن حـ مقدار ثابت لا يعتمد علة قيمة ن فقد نقول كمطلوب للمسألة برهن على النقطة تتحرك بعجلة ثابتة
لاحظ : بوضع ن = صفر في علاقة الحركة ف = 2 ن2 + 3 ن – 4 نجد أن ف = – 4 أي أن موضع بدء الحركة على يسار النقطة الثابتة (و) وعلى
بعد 4 أمتار منها ومن ثم تحركت بعد ذلك نحو اليمين وبعد 2 ثانية تكون على بعد 7 متر من النقطة الثابتة (و).
الحركة في مستوى
إذا تحرك جسم على منحنى في مستوى فإن المسافة ل التي يقطعها الجسم على المنحنى من نقطة ثابتة على المنحنى خلال فترة زمنية دالة في الزمن أي ل = د(ن) وكما مبين في الشكل أن الجسم تحرك من ب إلى ب1 فقطع مسافة
Dل في قدره
Dن فالسرعة المتوسطة هي ناتج خارج قسمة
Dل على
Dن في الفترة
Dن والسرعة اللحظية(ع) هي غاية
D ل ÷
Dن عندما
D ن تؤول للصفر
من المعلوم في علم الميكانيكا أن حركة جسم على منحنى في المستوى هي محصلة لحركتين آنيتين في اتجاهين مختلفين فإذا كان أحداثي موضع الجسم عند النقطة ب( س ، ص ) على المنحنى عند أي لحظة ن فللنقطة سرعتين إحداها ع1 في اتجاه موازي لمحور السينات والأخرى ع2 في اتجاه موازي لمحور الصادات وحركة الجسم في المستوى كأنها تعتبر محصلة لحركتين في خطين متعامدين موازيين لمحوري الإحداثيات س ، ص ويكون اتجاهها هو طاى ناتج قسمة ع2 على ع1 واتجاه السرعة اللحظية هو اتجاه المماس لمنحى مسار الجسم عند النقطة المناظرة لتلك اللحظة وهذا واضح في الشكل :
لاحظ : يمكن الحصول على معادلة مسار الجسم بحذف ن من المعادلتين س = د(ن) ، ص = د(ن) المسافتان الأفقية والرأسية للجسم
مثال :
قذف جسم في الهواء بميل معين فإذا أهملت مقاومة الهواء فإن المسافة الأفقية(س) بالمتر من نقطة القذف والارتفاع(ص) بالأمتار فوق الأرض
وفي نهاية زمن قدره ن ثانية يعينان بالمعادلتين س = 80 ن ، ص = 60 ن – 16 ن2 والمطلوب
(1) السرعتين الأفقية والرأسية في نهاية 3 ثوان
(2) مقدار السرعة المحصلة(ع) واتجاهها
(3) معادلة مسار الجسم بدلالة س ، ص
(4) ميل المماس لهذا المنحنى عند س = 240
الحـل :
س = 80 ن ............................ (1)
ص = 60 ن – 16 ن2 .............. (2)
(1) ع1 = 80 م/ ث
ع2 = 60 – 32 ن وبعد 3 ثانية ع2 = 60 – 32 × 3 = ع2 = – 36 م / ث
(2) السرعة المحصلة ع = [(80)2 + ( – 36)2 ]½ = 87.73 م / ث مقرباً لرقمين عشريين
طاى = – 36 ÷ 80 = – 0.45 ومنها ى = 155.77 درجة
(3) من المعادلة (1) ن = س ÷ 80 وبالتعويض عن ن في المعادلة (2)
ص = 60 × ( س ÷ 80 ) – 16 ( س ÷ 80 )2
ص = 0.75 س – 0.0025 س2
(4) ص¯ = 0.75 – 0.0025 × 2 س
ص¯ = 0.75 – 0.0025 × 2 × 240
ص¯ = 0.75 – 1.2
ص¯ = – 0.45 ميل المماس المطلوب
لاحظ : حـ1 = 0 م / ث2 ، حـ2 = – 32 م / ث2 والعجلة المحصلة = 32 م / ث2 في اتجاه عمودي على محور السينات
****************************************
حساب السرعة والعجلة بيانياً :
في الحياة العملية توجد علاقة المسافة بالزمن على صورة جدول يبين حركة جسم على خط مستقيم كبعده عن نقطة ثابتة على الخط بمسافات قدرها ف متر في نهاية زمن ن ثانية كما مبين بالجدول الآتي :
والآن لنبحث في كيفية إيجاد السرعة والعجلة وليكن في نهاية 3 ثوان ، نرسم الخط البياني للمسافة ـ الزمن حسب البيانات الموجودة في الجدول(يجب الدقة في الرسم، ورسمنا هنا تقريبي) فنحصل على الشكل الآتي (الأيمن من الشكل):
نوجد ميل المماس وهو ظل الزاوية = 30 ÷ 1.11 = 27 م / ث وهو قيمة مشتقة المسافة بالنسبة للزمن(السرعة اللحظية) وبذلك نكون قد حسبنا السرعة بعد 3 ثوان والتي تساوي 27 م / ث وإذا كررنا هذه العملية للزمن من ن = 0 إلى ن = 4 نحصل على الجدول الآتي :
في الشكل السابق تمثيل بياني لهذا الجدول(الأيسر في الشكل) وهو منحنى السرعة ـ الزمن وقد ؟أسندَ للمحورين ن ، ع ويكون ميل المماس عند أي نقطة عليه هو المشتقة الأولى للسرعة بالنسبة للزمن أي العجلة لإيجاد قيمة العجلة بعد 3 ثوان نرسم المماس للمنحنى عند ن = 3 ونحسب قيمة ظل الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور الزمن وتساوي 27 ÷ 1.5 = 18 م / ث
*********************************
مع الاعتذار للرسم التقريبي وأي أخطاء أخرى
