تذكر أن ¯ هو رمز المشتقة
التفاضـل
القسم الثامن
المعدلات الزمنية المرتبطة
في المسائل العملية تكون المتغيرات متوقفة في تغيرها على الزمن كتمدد فقاعة كروية محتفظ بانتظام بشكلها فكلاً من نصف قطرها نق وحجمها ح يتوقف ازدياده على ازدياد الزمن طالما العلاقة بين ح ، نق ثابتة فإجراء عملية التفاضل بالنسبة للزمن على هذه العلاقة(ح، نق) فتنتج معادلة تربط المعدلين الزمنيين لهاتين الكميتين(ح ، نق) والأمثلة التالية توضح هذا.
مثال(1)
يضغط غاز داخل بالون كروي بمعدل 1540 سم3 / ث أوجد معدل الزيادة في كل من نصف القطر ، مساحة السطح الكروي للبالون في اللحظة التي يكون فيها نصف القطر 7 سم ( ط = 22 ÷ 7 ، حجم الكرة = (4 /3) ط نق3 )
الحــل :
ح = (4 /3) ط نق3 ( حجم الكرة )
ح¯ = 4 ط نق2 نق¯ حيث ح¯ مشتقة ح بالنسبة للزمن أو معدل التغير في الحجم ، نق¯ معدل التغير في نصف القطر(مشتقة نق بالنسبة للزمن)
1540 = 4 × (22 ÷7) × 7 × 7 نق¯
نق¯ = 2.5 سم / ث وهو معدل تغير نق أو السرعة إن شئت
م = 4 ط نق2 ( مساحة سطح الكرة )
م¯ = 4 ط × 2 نق نق¯ م¯ هي معدل الزيادة في المساحة عند أي لحظة
م¯ = 4 × (22 ÷ 7) × 2 × 7 × 2.5 م¯ هي معدل الزيادة في المساحة عندما نق = 7 سم
م¯ = 440 سم2 / ث
مثال(2)
ضلع مربع يزداد بانتظام بمعدل 0.1 سم في الثانية فبأي معدل تزداد المساحة عندما يكون طول ضلع المربع 10 سم
الحـل :
م = ل2 حيث م مساحة المربع الذي طول ضلعه ل وكلاهما متغير
م¯ = 2 ل ل¯ ل¯ معدل التغير في نصف القطر ، م¯ معدل التغير في المساحة(عند أي لحظة)
م¯ = 2 × 10 × 0.1 م¯ معدل التغير في المساحة(عند ل = 10 سم )
م¯ = 2 سم2 / ث
مثال(3)
جسم مكون من اسطوانة دائرية قائمة يعلوها نصف كرة ، وكان نصف قطر قاعدتيهما المشتركة يزداد بمعدل 0.6 سم / ث وارتفاع الاسطوانة يزداد بمعدل 0.9 سم / ث فأوجد معدل زيادة حجم الجسم عندما يكون نصف القطر يساوي 15 سم وارتفاع الاسطوانة 30 سم. ( حجم الاسطوانة =ط نق2ع)
الحـل :
بفرض ارتفاع الاسطوانة ع ونصف القطر نق عند أي لحظة
ح = ط نق2ع + (2 ÷3) ط نق3 ح حجم الجسم = ح للاسطوانة + ح لنصف الكرة
ح¯ = ط ( 2 نق نق¯ ع + نق2 ع¯ ) + 2 ط نق2 نق¯ لاحظ طبقنا اشتقاق حاصل صرب دالتين في نق2ع
ح¯ = ط ( 2 × 15 × 0.6 × 30 + 225 × 0.9 ) + 2 ط × 225 × 0.6
ح¯ = ط ( 2 × 15 × 0.6 × 30 + 225 × 0.9 + 2 × 225 × 0.6)
ح¯ = 1012.5 ط وبفرض ط = 3.14 يكون
ح¯ = 3179.25
مثال(4)
سفينتان تبدآن بالسير من نقطة واحدة فالأولى تبدأ في الساعة العاشرة صباحاً متجهة نحو الشرق بمعدل 12 كم / ساعة والثانية تبدأ في الساعة الحادية عشرة صباحاً متجهة نحو الجنوب بمعدل 18 كم / ساعة فبأي معدل تبتعدان إحداها عن الأخرى عند الساعة 12 ظهراً ؟
الحـل :
يجب أن نعرف أن اللفظ بمعدل 9 أي السرعة 9
الشكل يوضح نص المسألة
عند اللحظة ن يكون ب موضع السفينة الأولى على بعد س من و نقطة الابتداء والسفينة الثانية تكون عند حـ على بعد ص من و نقطة الابتداء ونفرض البعد بين السفينتين ب حـ = ع
نحسب البعد ع (ب حـ) حيث المسافة = ع × ن
السفينة الأولى عند الساعة 12 قطعت مسافة س = 12 × 2 = 24 كم
السفينة الثانية عند الساعة 12 قطعت مسافة ص = 18 × 1= 18 كم
وبناء على نظرية فيثاغورث
ع2 = س2 + ص2 .................... (1)
ع2 = 576 + 324 = 900
ع = 30 كم
باشتقاق المعادلة (1)
2 ع ع¯ = 2 س س¯ + 2 ص ص¯
ع ع¯ = س س¯ + ص ص¯
30 ع¯ = 24 × 12 + 18 × 18
30 ع¯ = 492
ع¯ = 16.4 كم / ساعة عند الساعة 12 ظهراً
=========
مثال(5)
تتحرك نقطة على المنحنى س2 + ص2 -4 س -6 ص -7 = 0 وعندما كانت فوق النقطة ( -2 ، 5 ) كانت سرعتها في اتجاه محور السينات( أي س¯ ) تساوي -2 احسب سرعتها عندئذٍ في اتجاه محور الصادات( أي ص¯ ).
الحـل :
س2 + ص2 - 4 س -6 ص -7 = 0 بالاشتقاق بالنسبة للزمن
2 س س¯ + 2 ص ص¯ -4 س¯ -6 ص¯ = 0 بالتعويض عن س ، ص ، س¯
2 × -2 × -2 + 2 × 5 ص¯ -4 × -2 - 6 ص¯ = 0
8 + 10 ص¯ + 8 - 6 ص¯ = 0
16 + 4 ص¯ = 0 بالقسمة على 4
4 + ص¯ = 0
ص¯ = -4 وهي السرعة المطلوبة في الاتجاه السالب لمحور الصادات
------------------------------------------------------------
مثال(6)
مكعب من الثلج بدأ في الذوبان محتفظاً بشكله كمكعب دوماً فإذا كان طول الضلع للمكعب يتناقص بمعدل 1 سم / ث في اللحظ التي ينقص فيها الحجم بمعدل 12 سم3 / ث.أوجد طول ضلع المكعب عند تلك اللحظة
الحـل :
ح = ل^3 ح حجم المكعب الذي طول ضلعه ل
ح¯ = 3 ل^2 * ل¯ من اشتقاق المعادلة السابقة بالنسبة للزمن
-12 = 3 ل^2 × -1 إشارة - للفظ التناقص
ل = 2 سم
لاحظ : المكعب مجسم طوله = عرضه = ارتفاعه = ل وأوجهه مربعات أي منها قاعدة له
------------------------------------------------------------
مثال(7)
إناء على شكل مخروط دائري قائم نصف قطر قاعدته 7 سم وارتفاعه 28 سم في وضع رأسي وقاعدته لأعلى ومملوء بالماء. يتسرب منه الماء من فتحة ضيقة عند رأسه بمعدل 22سم3 / ث ؛ أوجد المعدل الذي يهبط به سطح الماء عندما يكون الماء على عمق 24 سم من سطح الإناء
( ط = 22÷ 7 ، ح = ط نق2ع / 3)
الحـل :
------------------------------------------------------------
حل آخـر :
الفكرة : نشتق كل من العلاقتين 1) علاقة نق ، ع 2) علاقة ح ، نق ، ع ومن الأولى نعوض في الثانية كما يلي
من تشابه المثلثين ب حـ د ، ب هـ د : نق ÷ 7 = ع ÷ 28 ومنها
نق = ¼ ع ....... (1) نشتق فنحصل على
نق¯ = ¼ ع¯ ... (2)
ح = (1 /3) ط نق2 ع نشتق فنحصل على
ح¯ = (ط / 3) [ نق2 ع¯ + 2 نق نق¯ ع ] ....... (3)
عند اللحظة المطلوبة يكون ع = 28 -24 = 4 وعليه يكون نق = ¼ × 4 = 1 ( من المعادلة(1) ) وبالتعويض في (3)
-22 = (22 ÷ 3×7) [ 1 × ع¯ + 2 × 1 × ( ¼ ع¯ × 4]
- 22 = (22 ÷ 3×7) [ ع¯ + 2ع¯]
- 1 = 22 × 3 ع¯ ÷ 3 × 7
ع¯ = - 7 سم / ث معدل هبوط الماء ( إشارة - تعني هبوط أو نقصان)
تنبيه : يمكن إعطاء المسألة بصورة أخرى بأن يكون المخروط أسفل حنفية ماء حيث يتساقط الماء من الحنفية بمعدل ثابت ويكون المطلوب معدل ارتفاع الماء في المخروط ، وقد نجمع الأمرين بأن يُصب الماء في المخروط من أعلى بمعدل 9 سم3 في الثانية في حين يتسرب في نفس الوقت منه الماء بمعدل 4 سم3 في الثانية فيكون معدل الزيادة 9 - 4 = 5 سم3 في الثانية ونستمر في الحل كما في المثال ، هذا وينطبق القول هذا على إناء بشكل اسطواني .
مثال(
:
صفيحة رقيقة من المعدن على شكل مربع تتمدد بالحرارة ، فإذا كان معدل زيادة محيطها 0.25 سم / ث فاحسب معدل زيادة مساحتها عندما يكون طول ضلعها 32 سم
الحـل :
المحيط ح = 4 ل ، المساحة م = ل2 حيث ل طول ضلع الصفيحة المربعة الشكل
باشتقاق معادلة المحيط بالنسبة للزمن يكون
ح¯ = 4 ل¯
0.25 = 4 ل¯
ل¯ = 0.0625
باشتقاق معادلة المساحة بالنسبة للزمن يكون
م¯ = 2 ل ل¯
= 2 × 32 × 0.0625
م¯ = 4 سم / ث2
==========
تمرين (1)
ضلعان من مثلث يزداد كل منهم بمعدل 0.3 سم في الثانية ، والزاوية المحصورة بينهم تزداد بمعدل 0.2 من زاوية نصف قطرية في الثانية ، بأي معدل تتغير مساحة المثلث عند اللحظة التي يكون فيها كل ضلع من أضلاع المثلث 30 سم (مساحة أي مثلث تساوي نصف حاصل ضرب أي ضلعين فيه × جيب الزاوية المحصورة بينهما ، والمثلث المتساوي الأضلاع كل من زواياه = 60 درجة أي ط ÷ 3 ، مشتقة حاس هي حتاس )
تمرين (2)
وعاء على شكل مخروط دائري قائم ارتفاعه 7 قدم ، ونصف قطر قاعدته 3 قدم وضع بحيث يكون محوره رأسياً ورأسه لأسفل فإذا صب فيه مياه بمعدل 10 أقدام مكعبة في الدقيقة فأوجد معدل ازدياد عمق الماء
(1) عندما يكون عمق المياه 4 أقدام
(2) عندما يكون الوعاء مشتمل على 60 قدماً مكعباً من المياه ( الجواب 1.083 ، 0.377 )
تمرين (3)
يسير رجل طوله 6 أقدام بسرعة 6 قدم / ث مبتعداً عن قائم مصباح ارتفاعه 10 قدم والمطلوب إيجاد معدل ازدياد ظل الرجل . وإذا كانت ى هي الزاوية التي يميل بها المستقيم الواصل بين أعلى نقطة من رأس الرجل وبين قمة المصباح على الأرض عندما يبعد الرجل عن قائم المصباح بمسافة قدرها ل من الأقدام فأثبت أن ل = 4 طتاى ، ثم ابحث من ذلك عن معدل نقص ى عندما يبعد الرجل عن المصباح بمسافة 8 أقدام.
