التفاضـل
القسم الحادي عشر
المشتقات المتتالية
المشتقة الأولى للدالة ص = د(س) هي ص¯ دالة أيضاً في المتغير س كقولنا ص = 2 س^4 فإنَّ ص¯ = 8 س^3 وهي دالة في س أيضاً فيمكن إيجاد مشتقتها الثانية كما سبق عند إيجاد المشتقة الأولى فالناتج يكون هو المشتقة الثانية للدالة ص بالنسبة إلى س والتي يرمز لها بالرمز ص// أو د//(س) ويمكن تكرار ذلك للمشتقة الثالثة والرابعة فيكون ص// = 24 س^2، ص/// = 48 س ، ...
المشتقة النونية لبعض الدوال :
(1) الدالة ( أ س + ب )^ن
المشتقة الأولى = أ ن ( أ س + ب )^(ن - 1)
المشتقة الثانية = أ^2 × ن(ن – 1) ( أ س + ب )^(ن-2)
المشتقة الثالثة = أ^3 × ن(ن – 1) (ن – 2)( أ س + ب )(ن-3)
المشتقة النونية = أ^ن ن(ن –1)(ن –2)(ن –3).... [ن – (ن –1)](أ س+ ب)^(ن - ن)
المشتقة النونية = أ^ن ن(ن –1)(ن –2)(ن –3).... × 1
المشتقة النونية = أ^ن ن!
بوضع أ = 1 ، ب = 0 يكون
المشتقة النونية = ن!
مثلاً المشتقة الرابعة للدالة د(س) = س^4 هي 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
(2) الدالة ( أ س + ب )^–1
المشتقة الأولى = أ × – 1( أ س + ب)^–2
المشتقة الثانية = أ2 – 1 × – 2( أ س + ب)^–3
وهكذا ...
المشتقة النونية = أن ×(– 1)(– 2)(– 3) ... (– ن) (أ س + ب)^–(ن + 1)
المشتقة النونية = (– 1)^ن أ^ن ن! (أ س + ب)^–(ن + 1)
(3) الدالة حا(أ س + ب)
المشتقة الأولى = أ حتا(أ س + ب) = أ حا(أ س + ب + ط/2)
المشتقة الثانية = أ × أ حتا(أ س + ب + ط/2) = أ^2 × حا(أ س + ب + 2ط/2)
المشتقة الثالثة = أ^2 × أ حتا(أ س + ب + 2ط/2) = أ^3 × حا(أس + ب + 3ط/2)
وهكذا ...
المشتقة النونية = أ^ن × حا(أس + ب + ن ط/2)
في حالة أ = 1 ، ب = 0 يكون
المشتقة النونية = حا( س + ن ط /2)
(4) الدالة حتا(أ س + ب)
المشتقة الأولى = – أ حا(أ س + ب)
المشتقة الأولى = أ حتا(أ س + ب + ط/2)
المشتقة الثانية = – أ × أ حا(أ س + ب + ط/2)
المشتقة الثانية = أ^2 × حتا(أ س + ب + 2ط/2) بالمثل يكون
المشتقة الثالثة = أ^3 × حتا(أ س + ب + 3ط/2)
وهكذا ...
المشتقة النونية = أ^ن × حتا(أ س + ب + ن ط/2)
في حالة أ = 1 ، ب = 0 يكون
المشتقة النونية = حتا( س + ن ط/2)
(5) الدالة أ هـ^(ب س)
المشتقة الأولى = أ ب هـ^(ب س)
المشتقة الثانية = أ ب2 هـ^(ب س)
المشتقة الثالثة = أ ب3 هـ^(ب س)
وهكذا ...
المشتقة النونية = أ ب^ن هـ^(ب س)
في حالة أ = ب = 1 يكون
المشتقة النونية = هـ^س
(6) الدالة لـوهـ (أ س + ب)
المشتقة الأولى = أ ( أ س + ب )^–1
المشتقة الثانية = (–1) أ^2 × ( أ س + ب )^–2
المشتقة الثالثة = (–1) × (–2) أ^3 × ( أ س + ب )^–3
وهكذا ...
المشتقة النونية = (–1) × (–2) ×–1) ... ×[–(ن–1)] × ( أ س + ب )^– ن
المشتقة النونية = (–1)^(ن - 1) أ^ن × (ن – 1)! × ( أ س + ب )^– ن
في حالة أ = 1 ، ب = 0 يكون
المشتقة النونية = (–1)^(ن - 1) × (ن – 1)! × س^– ن
تنطبق الطرق السابقة على أي دالة أخرى بما في ذلك الدوال الضمنية أو الدوال كحاصل ضرب دالتين
مثال : أوجد المشتقة الثانية ص// من المعادلة س^2 + ص^2 = 9
الحل :
2 س + 2 ص ص/ = 0
ص/ = – س ÷ ص
ص// = – ( ص × 1 – س ص/ ) ÷ س^2
ص// = – [ ص × 1 – س × (– س ÷ ص) ] ÷ ص^2
ص// = – ( ص^2 + س^2 ) ÷ ص^2
ص// = – 9÷ ص^2
مثال آخر: إذا كانت ص = أ حتا(لو س) + ب حا(لوس) فأثبت أن: س^2 ص// + س ص/ + ص = 0
الحل :
ص = أ حتا(لو س) + ب حا(لوس) .................... (1)
ص/ = – أ حا(لوس) × 1/س + ب حتا(لوس) × 1/س بالضرب × س
س ص/ = – أ حا(لوس) + ب حتا(لوس) بالاشتقاق
س ص// + ص/ = – أ حتا(لوس) × 1/س – ب حا(لوس) × 1/س بالضرب × س
س^2 ص// + س ص/ = – أ حتا(لوس) – ب حا(لوس) ............... (2)
بجمع (1) ، (2) يكون :
س^2 ص// + س ص/ + ص = 0
مثال :إذا كانت ص = هـ^(- س) ×حا2س فإن ص// = 5 هـ(- س)× حا(2 س - 126.87)
الحل :
بتطبيق القانون أعلاه نجد أن :
المشتقة الثانية = (1 + 4 ) هـ^(- س) ×حا(2 س + 2 طا-1(–2))
المشتقة الثانية = 5 هـ^(- س) × حا(2 س + 2 × 63.433)
المشتقة الثانية = 5 هـ- س حا(2 س + 126.87)
تمرين : أوجد المشتقة الرابعة للدالة ص = هـ^(- 2س) × حتا(2 س + 3)
تمرين : أوجد المشتقة النونية للدالة د(س) = لـوهـ[(2 + 3 س) ÷ (2 – 3 س)]
مع الاعتذار للخطأ إن وجد
