التفاضـل
القسم الأخير
إيجاد الثوابت
في هذا النوع من المسائل يكون المنحنى مشتمل على عدة مجاهيل ثابتة القيمة وتعطى معلومات تفيد الحصول على تلك المجاهيل أو الثوابت كإعطاء نقاط العظمى والصغرى والحرجة وما إلى ذلك من معلومات ومنها نكون مجموعة من المعادلات نقوم بحلها للحصول على تلك الثوابت أو المجاهيل وهذا يعني معرفتنا المسبقة لتلك المعلومة التي تعطى في نص المسألة وغالباً ما تتكون تلك المسائل من منحنيات معلومة الثوابت مثال ذلك ص = 3 س4 + 4 س3 – 12 س2 حيث نتعرف على كل ما يمكن معرفته منه كنقاط الرجوع والعظمى والصغرى و ... ومن ثم نقدم المسألة بالصورة المبينة في المثال الأول التالي.
مثال(1) : إذا كان للمنحنى ص = ب س^4 + حـ س^3 + دس^2 نقاط حرجة(رجوع) عند س = – 2 ، وصغرى محلية عند (1 ، – 60) فأوجد قيمة الثوابت ب ، حـ ، د واكتب معادلة المنحنى ثم بين نقاط العظمى والصغرى الأخرى ونقط انقلاب
الحـل :
نقاط الرجوع تكون عندها ص¯ = 0 فنكون معادلتين من معادلة المشتقة الأولى بوضع س = 1 ، س = –2 وثالثة من (1 ، – 60) التي تحقق معادلة المنحنى فيكون لدينا 3 معادلات بحلها بأي طريقة نحصل على الثوابت ب ، حـ ، د
ص¯= 4 ب س^3 + 3 حـ س^2 + 2 د س ........... (1)
س = 1 : ص¯= 0 في (1) : 0 = 4 ب + 3 حـ + 2 د ............. (2)
س = –2: ص¯= 0 في (1) : 0 = – 32 ب + 12 حـ – 4 د
بقسمة هذه المعادلة على 4 : 0= – 8 ب + 3 حـ – د ............. (3)
(1 ، – 60) على المنحنى : – 60 = ب + حـ + د .................... (4)
بجمع (3) ، (4) : – 60 = – 7 ب + 4 حـ .............................. (5)
جمع(3) ×2 مع (1) : 0= – 12 ب + 9 حـ
بقسمة الأخيرة على3: 0= – 4 ب + 3 حـ .............................. (6)
بضرب (5) × 3 : – 180 = – 21 ب + 12 حـ
بضرب (6) × 4 : 0= – 16 ب + 12 حـ
بالطـــــــــــــــــــــــرح : – 180 = – 5 ب
بالقسمة على – 5 نحصل على ب = 36
بالتعويض في (6) نحصل على حـ = 48
بالتعويض في (4) نحصل على د = – 144
معادلة المنحنى هي : ص = 36 س^4 + 48 س^3 – 144 س^2
ص = 12(3 س^4 + 4 س^3 – 12 س^2 )
ص¯= 12(12س^3 + 12س^2 –24س) ........ (7)
ص¯= 144س( س^2+ س – 2)
ص¯= 144س( س+ 2)( س – 1)
ص¯= 0 فإن س = 0 ، س = 1 ، س = – 2 نقاط حرجة
س = 0 فإن ص = 0 ( 0 ، 0 ) نقطة حرجة
س =- 2 فإن ص = - 384 فإن (-2 ، -384) نقطة حرجة
ص// = 12(36س^2 + 24 س –24)
ص// = 144(3س^2 + 2 س –2)
س = 0 فإن ص// = –2 كمية سالبة أي (0، 0) نقطة عظمى محلية
س = -2 فإن ص//= 864 كمية موجبة أي (-2 ، -384) نقطة صغرى محلية
ص// = 0 فإن : 3س^2 + 2 س –2 = 0
المميز = ب^2– 4 أ حـ = 4 – 4 × 3 × –2 = 28 = 4 × 7
س = [–2 ± 2 جذر(7)] ÷ 2×3 = [ –1 ± 2.65)] ÷3
س = 0.55 ، س = – 1.22 عندها نقاط انقلاب
(0.55 ، – 32.3) ، ( – 1.22 ، – 221.7) نقط انقلاب
مثال(2) : إذا كان منحنى الدالة ص = ب س^3 + حـ س^2 + د س + هـ يمس المستقيم 2 ص – 18 س – 7 = 0عند النقطة (3 ، – 1) وله نقطة حرجة صغرى عند (2 ، – 5) . أوجد معادلة المنحنى وبين وجود نقطة حرجة عظمى محلية وارسم المنحى
الحل :
أربع مجاهيل ب، حـ، د، هـ فنحتاج 4 معادلات، معادلتين من النقطتين لوقوعهم على المنحنى ، والحرجة يعني المشتقة الأولى صفر والتماس
ميل المماس = – معامل س ÷ معامل ص = – (– 18) ÷ 2 = 9 وهذا عند (3 ، – 1) أي ص¯= 9 عند س = 3
ص¯= 3 ب س^2 + 2 حـ س + د ، بوضع ص¯= 9 ، س = 3
9 = 27 ب + 6 حـ + د ................ (1)
0 = 12 ب + 4 حـ + د ................ (2) من النقطة الحرجة ص¯= 0 عند س = 2
– 1 = 27 ب + 9 حـ + 3 د + هـ ... (3) من (3 ، –1) الواقعة على المنحنى
– 5 = 8 ب + 4 حـ + 2 د + هـ ... (4) من (2 ، –5) الواقعة على المنحنى
من (1) ، (2) والطرح : 9 = 15 ب + 2 حـ .......... (5)
من (3) ، (4) والطرح : 4 = 19 ب + 5 حـ + د ...... (6)
من (2) ، (6) والطرح : 4 = 7 ب + حـ ............. (7)
(7) ×2، (5) والطرح : 1 = ب أي ب = 1
في (7) عن قيمة ب : 4 = 7 + حـ فإن حـ = –3
في (2) 0 = 12 – 12 + د فإن د = 0
في (4) – 5 = 8 – 12 + 0 + هـ فإن هـ = – 1
معادلة المنحنى هي : ص = س^3 – 3 س^2 – 1
رسم المنحنى :
ص = س^3 – 3 س^2 – 1
ص¯= 3 س^2 – 6 س
صفر = 3س(س – 2)
س = 0 ، س = 2 نقاط حرجة وبالتعويض في معادلة المنحنى يكون :
ص = – 1 ، ص = – 5 أي (0 ، 1) ، ( 2 ، – 5) نقاط حرجة
ص// = 6 س – 6 وبوضع س = 0 فإن ص// قيمة سالبة أي :
(0، – 1) عظمى محلية
صفر = 6 س – 6
س = 1 عندها نقاط انقلاب
ص = – 3
( 1 ، – 3 ) نقطة انقلاب
نقاط إضافية
س = – 1 فإن ص = – 5 أي ( – 1 ، – 5)
س = 3 فإن ص = – 1 أي (– 3 ، – 1 )
س =1.5 فإن ص = –4.4 أي (1.5 ، – 4.4)
