ملاحظة وأمثلة(بقية)

[محمد شكري الجماصي]

ملاحظـة وأمثلة :
    هذا القانون صحيح لجميع قيم ن عدا ن = –1 حيث يكون ناتج التكامل قيمة غير معرفة لأن المقام سيكون صفر ولكن س–1 تكاملها لوس + ث (اللوغاريتم للأساس هـ)كما ورد في الجدول السابق ويجب هنا القول بأن تكامل د س هو س + ث أي
     ò د س = ò س^0 د س =  [س^(0 + 1)]÷ (0 + 1) + ث = س + ث
مثال :
    ò 2س د س = 2س2 ÷ 2 + ث = س2 + ث
مثال آخر :
   ò حتا س د س = حا س + ث

مثال ثالث :
    ò 4 س3 . د س = 4 س4 ÷ 4 + ث = س4 + ث

--------------------------------------------------------------------------------
التكاملات غير القياسية :ـ
     هي التي لا وجود لها في الجدول السابق أو بعيدة عنها ولا بد من عرض قاعدتين تساعدنا على إيجاد تلك التكاملات غير القياسية وليس كلها فالقاعدة الأولى لمجموع عدة دوال حيث يكون :
    ò ( ع ±  ق ±  ف ) د س =  òع د س ±  ò  ق د س ±  ò  ف د س
والقاعدة الثانية بوجود ثابت مع متغير أي :
   ò ث ع د  س = ث ò ع د س  حيث ث ثابت
فمثلاً :  ò (4 س3 + 2 س – 5). د س =  4ò س3 د س + 2 ò س د س – ò 5  د س
       ò (4 س3 + 2 س – 5). د س =  س4 +  س2 – 5 س + ث
مع التنبيه بالنسبة للدوال المثلثية في الجدول يقسم على الثابت حال وجوده مع المتغير مثال ذلك : ò حتا2س د س = ½ حا2س + ث    
لاحظ : في تكامل 4 س3 أضفنا 1 للأس(3 + 1 = 4) وقسمنا على 4 عكس التفاضل ضربنا في الأس(4) وأنقصنا منه 1 (4 – 1 = 3) هو ما دفعنا للقول بأن التكامل عملية عكسية لتفاضل.

 مثال :
    ò (2 حا س + 3 قاس طاس – قا2س) د س = –2حتاس + 3قاس – طاس + ث ( اشتق الجواب ، ماذا تلاحظ ؟ )
--------------------------------------------------------------------------------
    يجب أن نتقن التكاملات الموجودة في الجدول السابق مع القاعدتين السابقتين ولنتعرف الآن على دوال غير موجودة في الجدول فيكون الحل لها أما بوجود قاعدة لها أو معالجتها للوصول لما ورد في الجدول ولنعطي مثال لذلك حتا^2(س) غير موجودة في الجدول فنقول حتا^2(س) = 2حتا2س – 1 ومن هنا نحسب حتا^2(س) = ½(حتا2س + 1) فيكون :
 ò حتا^2(س) د س = ò ½(حتا2س + 1) د س = ½ò(حتا2س + 1) د س = ½ [ ½ حا2س + س + ث ] = ½ [ ½ حا2س + س] + ث
والحال نفسه مع الدوال المثلثية المشابهة كمربعات للدوال المثلثية الستة ذكرنا إحداها وهذه الثلاثة الأخرى :
    حا^2(س) = ½(1 – حتا2س) ، طا^2(س) = قا^2(س) – 1 ،
    طتا^2(س) =  قتا^2(س) – 1

وماذا يكون الحال مع الأسس الأخرى مثل  حا^3(س) ، حا^4(س) ، ... وغيرها فالأمر يعود لإعادتها لما سبق مع إجراء جبري وسنقدم مثالين
الأول :
ò حا^3(س) د س =   ò حا^2(س) حا س د س = ò (1 – حتا^2(س) ) حا س د س = ò(حا س –حتا^2(س)حا س) د س = – حتا س + (حتا^3(س)) ÷ 3 + ث
الثاني :
òحا^4(س) د س = ò (حا^2(س))^2 د س

                   = ò [½(1 – حتا2س)]^2 د س

                   = ò ¼[1 –2حتا2س + حتا^2(2س) ] د س  

                   =ò ¼[1 – 2حتا2س + ½(حتا4س + 1)] د س  

                   = ò ¼(1 – 2حتا2س + ½ حتا4س + ½) د س      ½ مشترك

                   = ò ⅛( 2 –4 حتا2س + حتا4س + 1 ) د س  

                   = ò ⅛( 3 –4 حتا2س + حتا4س ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –4 × ½ حا2س + ¼ حا4س ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –4 × ½ × 2حاس حتاس + ¼ × 2حا2س حتا2س ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –4 حاس حتاس + ¼ × 2 × 2حاس حتاس(1 – 2حا2س ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –4 حاس حتاس + حاس حتاس – 2حا3س حتاس ) +  ث

                   = 1/8( 3 س –3 حاس حتاس – 2حا3س حتاس ) +  ث

وهذا يقودنا للأس الفردي (ن فردية) نضع حا^ن(س) = حا^ن–1(س) حاس ، وفي حالة الأس زوجي (ن زوجية) نضع حا^ن(س) = (حا^2(س))½ن

ملاحظة : سنجد قوانين لهذه الحالات لاحقاً ولكن غير مقبولة للحل في المرحلة الثانوية