لطالما سمعنا

[المهلهل]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم

هل يستطيع احد ان يفسر لنا المفاهيم التالية لطالما سمعتها من هنا وهناك  بشي من التفصيل

1- الهندسة التفاضلية

2- الهندسة الريمانية

3- نظرية الألعاب

4- فضاء هلبرت

والسلام ختام

[سقراط]

نقلت إليك أخي عن نظرية الألعاب:

في مفهومها الواسع يمكن فهم نظرية الألعاب على أنها أي معالجة علمية أي نظرية للعب ( المقصود باللعب هنا ليس اللهو فحسب بل هي تتعدى ذلك).
أما في مفهومها الأصلي فإن نظرية الألعاب هو مجال من مجالات إهتمام الرياضيات ولها أهمية كبيرة فيما يسمى بالبحوث العملياتية (Operation Research) و في العلوم الإقتصادية. وتهتم نظرية الألعاب بدراسة إستراتجيات التصرف أو العمل في ظل نظام أو منظومة ذات قواعد معينة ( هذه القواعد تسمى اللعبة).

 


مقدمة عامة
هناك عدة دراسات (في الإعلامية مثلا) تهتم بنظرية الألعاب حيث يسعى الدارسون للبرهنة أنه في لعبة الشطرنج أو غيرها مثلا أن الذي يقوم بأول حركة يربح اللعبة دائما إذا إتبع الإستراتيجية الصحيحة.
أو أن الذي يقوم بالحركة الثانية يستطيع دائما أن يحقق تعادلا.

إلى جانب دراسة الألعاب الذهنية تهتم نظرية الألعاب أيضا بالعلوم اللإقتصادية حيث ينظر للمعاملات التجارية على أساس أنها لعبة يحاول كل لاعب فيها تحقيق أكبر ربح ممكن.
كما تهتم نظرية الألعاب بالعلوم الإنسانية كالسياسة و العلوم العسكرية كالإستراتيجية العسكرية ولكن في هذه المجالات تواجه النظرية بعض الصعوبات ذلك لأنها تسلم بأن اللاعبين يتصرفون بعقلانية كما أن كل جوانب الوضعية السياسية أو العسكرية يجب أن تؤخذ بعين الإعتبار عند وضع قواعد اللعبة.
*******
تاريخ نظرية الألعاب
أسس علم نظرية الألعاب سنة 1944 على يد جون فون نويمان و أوسكار مورغن شتيرن و أشتهر عن طريق تأليفهما كتاب The Theory of Games and Economic Behavior. سنة 1994 تحصل كل من جون فوربوس ناش و رينارد سيلتين و جون هارسانيي على جائزة نوبل للإقتصاد و ذلك لأعمالهم في مجال تظرية الألعاب.
*******
الخط الزمني
قبل 1944: بعض الأعمال لكورنو بوريل و زيرميلو
1944:جون فون نويمان و أوسكار مورغن شتيرن يؤلفان كتاب The Theory of Games and Economic Behavior
1950 حتى 1960 تقريبا: إستعمال أول نماذج إقتصادية قائمة على نظرية الألعاب و القيام ببعض الدراسات في العلوم الإقتصادية التجريبية للتؤكد من صحة نتائج نظرية الألعاب.
1972:إقحام نظرية الألعاب في البيولوجيا التطورية (evolution biology) حيث ألف جون مينارد سميث كتاب Game Theory and the Evolution of Fighting
1994:جائزة نوبل لناش و زملائه لعملهم بعنوان: analysis of equilibria in the theory of non-games cooperative
*******
مفاهيم و تقسيمات
اللعبة: اللعبة موقف يجب على اللاعبين (على الأقل إثنين) فيه إتخاذ قرار.
*******
مسلمات
اللاعبون يتصرفون بعقلانية أي أنهم يحاولون جعل إحتمال وقوع عملية دفع ( أي تفوق أو ربح) أكثر إحتمالا.
اللاعبون يتصرفون إستراتجيا: أي أنهم يحسبون أو يتكهنون حركة المنافس أو اللاعب الآخر و يدخلونها في حساباتهم.
[تحرير]
******
يمكن تقسين الألعاب إلى:

ألعاب ساكنة(static): حيث يجب على اللاعبين أن يقومو بإختيار إستراتجياتهم كلهم في نفس الوقت أي أن كلا منهم يتخذ قراره في نفس اللحظة و لا يستطيع أن يرى أولا ماذا فعل المنافس ثم يقرر.
ألعاب دينامكية: يمكن للاعبين فيها أن يتخذو قراراتهم الواحد بعد الآخر.
*******
تقسيم 2
ألعاب بمعلومات كاملة: كل اللاعبين يعرفون نوايا (أي ما هي النتيجة التي يريد المنافس أن يصل إليها) منافسيهم و منافسوهم يعرفون ذلك وهم يعرفون أن منافسيهم يعلمون ذلك ...
ألعاب بمعلومات منقوصة: واحد على الأقل من اللاعبين ليس له علم كامل بنوايا منافسيه.
*******
تقسيم 3
الألعاب التعاونية
الألعاب الغير تعاونية

[سقراط]

في الرياضيات، الطوبولوجيا التفاضلية هي الحقلُ الذي يَتعاملُ مع دالة قابلة للمفاضلة differentiable على تفرع قابل للمفاضلة أيضا .

يَظْهرُ طبيعياً مِنْ دراسةِ نظريةِ المعادلات التفاضلية . أما الهندسة التفاضلية فهي دراسةُ الهندسة بإستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة ، ولَها العديد مِنْ التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبيةِ. و هم سوية يُكوّنونَ النظرية الهندسية من أنابيب المتفرعةِ القابلة للمفاضلة - الذي يُمْكِنُ أيضاً من دراستهم مباشرة مِنْ وجهةِ نظر نظام ديناميكي .
*******

[سقراط]

أنواع الهندسة
يشتمل مجال دراسة الهندسة على عدة طرق. فقد تكون الهندسة إقليدية أو لا إقليدية انطلاقًا من المسلمات المستخدمة. والهندسة التحليلية تستخدم المسلمات نفسها التي تستخدمها الهندسة الإقليدية ولكنها توظف طرائق جبرية لدراسة الأشكال الهندسية. أما فروع الهندسة التي لا تستخدم أساليب الجبر فتسمى هندسات تركيبية.



الهندسة الإقليدية. تقوم على المسلمات التي قدَّمها إقليدس في كتابه العناصر وعلى مسلمات اشتُقّت لاحقًا من مسلمات إقليدس. ويمكن تقسيم الهندسة الإقليدية إلى هندسة مستوية وهندسة مجسمة. وتختص الهندسة المستوية (الهندسة المسطحة) بدراسة الأشكال ذات البعدين مثل المستقيمات والزوايا والمثلثات والأشكال الرباعية والدوائر. أما الهندسة المجسَّمة أو الفراغية فتتعلق بدراسة الأشكال ذات البُعْد الثلاثي كتلك المبينة أعلاه. تشمل المواضيع المدروسة في الهندسة الإقليدية تطابق وتماثل المُثلثات والأشكال الهندسية الأخرى، وخواص المستقيمات المتوازية والمتعامدة. ومن المواضيع الأخرى، خواص الدوائر والكرات وقياس مساحات وحجوم الأشكال.




وإحدى أهم مسلمات الهندسة الإقليدية هي مسلمة التوازي لإقليدس وتُعْرف أيضًا بمسلمة إقليدس الخامسة أو بديهية التوازي، وإحدى صياغاتها هي: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن رسم مستقيم واحد يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم. فالمستقيم ل في الرسم أدناه على سبيل المثال، هو المستقيم الوحيد الذي يوازي المستقيم أ ب ويمر بالنقطة ن.




حاول الرياضيون منذ عهد إقليدس ولقرون تلت أن يبرهنوا على أن مسلمة التوازي يمكن إثباتها من بقية مسلمات إقليدس. ولكن بعد القرن التاسع عشر الميلادي، اكتشف الرياضيون أن ذلك غير ممكن. وأدى هذا الاكتشاف إلى إيجاد نظم هندسية استُبدلت فيها مسلمة التوازي بمسلمَات أخرى. وتدعى هذه النظم الهندسية بالنظم اللاإقليدية.



الهندسة اللاإقليدية. هنالك نوع أساسي من الهندسة اللاإقليدية يدعى الهندسة الزائدية، وفيها تستبدل بمسلمة التوازي المسلمة التالية: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم.



وفي أحد نماذج الهندسة الزائدية يعرَّف المستوى على أنه مجموعة النقاط الواقعة داخل دائرة، ويعرف المستقيم على أنه وتر من الدائرة، وتعرف المستقيمات المتوازية على أنها المستقيمات التي لا تتقاطع. وفي الشكل الذي على اليسار فإن المستقيمات ل ، م ، ك كلها تعد موازية للمستقيم أ ب بالرغم من أنها كلها تتقاطع في نقطة واحدة س.

وتسمى الهندسة الزائدية أحيانًا هندسة لوباتشيفسكي إذ إنها اكتشفت في بداية القرن التاسع عشر الميلادي بوساطة عالم الرياضيات الروسي نيكولاي لوباتشيفسكي.

وهناك نوع أساسي آخر من الهندسة اللا إقليدية يدعى الهندسة الناقصية تستبدل فيها بمسلمة التوازي المسلمة التالية: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم لا يمكن رسم مستقيم لا يقاطع المستقيم المعلوم. بعبارة أخرى المستقيمات المتوازية لا وجود لها في الهندسة الناقصية.

وفي أحد نماذج الهندسة الناقصية نعرِّف المستقيم على أنه دائرة عظمى على الكرة، حيث الدائرة العظمى هي أي دائرة تنصف الكرة إلى جزأين متساويين. وكل الدوائر العظمى على الكرة تتقاطع. في الكرة التي على اليسار الدائرة العظمى أ ب جـ د تتقاطع مع الدائرة العظمى س جـ ص أ. وتسمى الهندسة الناقصية، أيضًا، هندسة ريمان إذ إنها تطوَّرت في منتصف القرن التاسع عشر الميلادي على يد عالم الرياضيات الألماني جورج فريدريك برنارد ريمان.



وبما أن أحد أهم استخدامات الأشكال والمبادئ الهندسية هو وصف العالم الطبيعي، فلنا أن نتساءل أي نوع من الهندسة ـ الإقليدية أم اللاإقليدية ـ يُقدِّم النموذج الأفضل لذلك. فهنالك حالات يكون التناول اللاإقليدي أكثر ملاءمة لها، مثل نظرية النسبية لأينشتاين. انظر: النسبية. وهنالك حالات أخرى مثل البناء والهندسة والمساحة يكون من الأفضل تناولها بطريقة إقليدية.





الهندسة التحليلية. طريقة لدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية. وتهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة الإقليدية؛ غير أنها تتيح طرقًا أيسر لبرهان العديد من النظريات. وتلعب دورًا مهمًا في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل.

تستخدم الهندسة التحليلة نظامًا إحداثيا كالذي يظهر في الشكل أدناه. وهذا النظام الذي يسمى النظام الديكارتي يتكون من خطي أعداد متعامدين في المستوى. ويُحدَّد موقع النقاط في الأشكال الهندسية في المستوى بإعطائها إحداثيين (عددين) على خطي الأعداد س ، ص. ويسمى س الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور س (خط الأعداد الأفقي) بينما يحدِّد ص ويسمى الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور ص (خط الأعداد الرأسي).

وعلى سبيل المثال، فإن الزوج الإحداثي للنقطة أ في الشكل أدناه هو (2، 1). وهذا يعني أن النقطة أ تقع على بعد وحدتين على يمين محور ص وعلى بعد وحدة واحدة فوق محور س مباشرة. وبالإضافة إلى هذا؛ فإن الشكل يظهر نقاطًا أخرى: ب ، جـ ، د، وإحداثياتها. هنالك تقابل أحادي بين نقاط المستوى والأزواج المرتبة (س ، ص) على المحورين الإحداثيين.




ويمكننا وصف الأشكال الهندسية بوساطة الإحداثيات بتكوين معادلات جبرية تمثل النقاط التي تكون تلك الأشكال. فمثلاً المعادلة 2س + ص = 2 لها العديد من الحلول على الصيغة (س ، ص) مثل (-2 ، 6)، (-1،4) ، (0 ، 2) ، (1 ، 0) ، (2 ، -2). وإذا رسمنا هذه النقاط على بيان إحداثي ثم وصَّلنا بينها فسنجدها تقع على خط مستقيم.




ويوضح الشكل السابق رسمًا بيانيًا لحلول المعادلة. أي نقطة (س ، ص) تقع على المستقيم لها إحداثيات تحقق المعادلة 2س + ص = 2، وكذلك أي زوج من الأعداد (س ، ص) يحقق المعادلة يقع على المستقيم. وللأشكال المستوية الأخرى أيضًا معادلاتها الخاصة بها ويمكن رسمها بيانيًا على نظام إحداثي. ومن هذه الأشكال نذكر القطوع المخروطية، وهي أنواع من المنحنيات تنتج عن تقاطع الأشكال المخروطية مع المستويات ومنها الدوائر والقطوع الناقصة والقطوع المكافئة.

[سقراط]

العرب والهندسة. لم يستطع أحد بعد إقليدس الذي دوّن علم الهندسة أن يزيد على هذا العلم شيئًا أساسيًا. غير أن العرب لهم أفضال على الهندسة؛ إذ إنهم اهتموا بها حينما أهملتها الشعوب الأخرى ثم حفظوها من الضياع وناولوها الأوروبيين في زمن باكر.

برع العرب في قضايا الهندسة وشرحوها، فقد عرفوا تسطيح الكرة وألّفوا فيه ومارسوه فنقلوا الخرائط من سطح الكرة إلى السطح المستوي، ومن المسطح المستوي إلى السطح الكرويّ. ولقد كان اهتمام العرب بالناحية العملية من الهندسة أكثر من اهتمامهم بالناحية النظرية. ومن العلماء العرب الذين احتلوا منزلة كبيرة في الهندسة العالم العربي المسلم البيروني (ت440هـ، 1048م) ومن أشهر كتبه، كتاب استخراج الأوتار في الدائرة بخواص الخط المنحني فيها. كما استطاع غياث الدين الكاشي في القرن الخامس عشر الميلادي أن يستخرج نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ويحسبها حسابًا دقيقًا.

وفي حساب المثلثات قام العالم العربي المسلم نصير الدين الطوسي (ت 672هـ ، 1272م) بتنظيم المعارف المتعلقة بعلم المثلثات، ثم جعله مستقلاً عن علم الفلك. ولولا العرب لما كان علم المثلثات على ما هو عليه الآن، فإليهم يرجع الفضل في وضعه بشكل علميّ منظم. وممن اشتهر في علم المثلثات أيضًا العالم العربي المسلم أبو عبدالله محمد بن جابر البتاني (ت 317هـ، 929م). وهو أول من وضع جداول للظل التمام. وتبدو مكانة أبي الوفاء البوزجاني (ت 388هـ ، 998م) في المثلثات واضحة، فقد أوجد طريقة لحساب جداول الجيب، وكذلك عرف الصلات في المثلثات.



بدايات الهندسة الحديثة. يمكن إرجاع بدايات الهندسة الحديثة إلى القرن السابع عشر الميلادي، ففي ذلك الوقت ازداد الاتصال بين علماء الرياضيات عما كان عليه في أي وقت منذ أفلاطون، وشرع الفرنسيان رينيه ديكارت وبيير دوفيرما في العمل فيما صار يعرف لاحقًا بالهندسة التحليلية.

ولقد أوضح ديكارت مبادئ الهندسة التحليلية في كتابه الهندسة عام 1637م، بينما كان مدخل فيرما للهندسة أقرب للهندسة التحليلية الحديثة. وبما أن فيرما لم يقم بنشر أعماله فإن معظم الناس يُرجِعون الفضل إلى ديكارت في اكتشاف الهندسة التحليلية.



نهوض الهندسة اللاإقليدية. في مطلع القرن التاسع عشر الميلادي، اكتشف كل من الألماني كارل فريدرك جاوس والمجري يانوس بولياي والروسي نيكولاي لوباتشيفسكي الهندسة اللاإقليدية كلُّ بصورة مستقلة عن الآخر. ففي محاولاتهم لإثبات مسلمة التوازي لإقليدس؛ توصَّل كل منهم لعدم إمكانية تقديم برهان لها. وقدَّم كل واحد منهم الهندسة الزائدية كأول نموذج لهندسة لاإقليدية. وكثيرًا مايُنسب فضل اكتشاف الهندسة الزائدية إلى لوباتشيفسكي نسبة لأبحاثه المنشورة وبخاصة مقالته حول أسس الهندسة (1829م).

ولقد ظلت الهندسة اللاإقليدية خارج إطار الهندسة التقليدية حتى منتصف القرن التاسع عشر الميلادي. ففي ذلك الحين بدأ جورج فريدريك برنارد ريمان معالجة الهندسة اللاإقليدية. وفي محاضرة له عام 1854م، ناقش ريمان فكرة النظر إلى الهندسة على أنها دراسة أشياء غير معينة لأي عدد من الأبعاد في أي عدد من الفضاءات. وقد جعلت نظرته للهندسة دراسة عامة للفضاءات المنحنية نظرية النسبية لأينشتاين أمرًا ممكنًا.

قادت الاكتشافات الرياضية في القرن التاسع عشر الميلادي إلى تطوير مداخل أخرى إلى الهندسة، منها هندسة التحويلات التي تبحث في خصائص الأشكال الهندسية التي تظل ثابتة عندما تتعرض الأشكال إلى تحويلات معيَّنة (تغيير في الموضع). ويُعنى أحد ضروب هندسة التحويلات ويسمى الطوبولوجيا، بدراسة الخصائص الهندسية التي لا تتغير عند تشويه الأشكال أثناء تعرُّضها إلى عمليات الثنْي أو المطِّ أو القولبة. وتستأثر هندسات التحويلات بحيز كبير من النشاط البحثي في الرياضيات

[المهلهل]

السلام عليكم

شكراً جزيلاً لك يا سقراط جزاك الله خير الجزاء

والسلام ختام

[maths]

الأخ سقراط ، نعم جزاك الله خير الجزاء
و جزى الله خيراً الأخ الذي وضع السؤال ..

و لكن لدي سؤال ..
هل المهندسون يدرسون كل شيء في علم الرياضيات الواسع ، أم أنهم يدرسون فقط ما يخص تخصصهم ؟..

[المهلهل]

السلام عليكم

انا لست مهندس لكن من البديهي ان المهندسون يدرسون الرياضيات التي في تخصصهم

والسلام ختام