السلام عليكم
حل المعادله التفاضليه من الرتبه الثانيه باستخدام متسلسلات القوىلتكن
y^{\prime\prime}+b_1(x)y^\prime+b_1(x)y=0)
معادله تفاضليه خطيه متجانسه من الرتبه الثانيه معاملاتها كثيرات حدود في x لنفرض ان b_0(x)0 غير معدوم عند الصفر حسب خواص الدوال المتصله يوجد فتره I مركزها النقطه صفر لاتنعدم عليها كثيرة الحدود b0(x).0 يمكن ان نقسم طرفي المعادله التفاضليه على b0 فتصبح
y^\prime+q(x)y=0)
يمكن البرهان ان المعادله تقبل حلا على شكل متسلسلة قوى لكن هذا خارج نطاق مقالنا وتحتوي على ثابتين يحققان شرطين ابتدائيين
=a \ , \ y\prime(0) =b)
من نفس المعادله بالاعلى يمكن حساب قيمة المشاقه الثانيه عند الصفر استنادا الى شروط البدء وبمتابعة الاشتقاق واستخادم شروط البدء وفيم المشتقات التي حصلنا عليها نستطيع ايجاد قيم المشتقه رقم n حسب صيغة مكلوران على الشكل
=y(0)+ \sum\limits_{n=0}^\infty y^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!})
والطرف الثاني يتقارب نحو y(x)0 على فتره من الشكل (-R,R) من اجل قيمه مناسبه للعدد R
يمكن البرهان على انه لاجل كل قيمتين A,B نحصل على حل وحيد.
سنلجأ الى طريقه اخرى اسهل لتحديد حل المعادله التفاضليه سنمهد لها بدراسة مبسطه وتذكره عن متسلسلة القوى من الشكل
=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n)
حسب معلوماتنا عن تقارب متسلسلات القوى من الشكل بالاعلى فان هذه السلسله تتقارب عند صفر فقط او من اجل قيم x المحدوده او على فتره من النوع (R,R-) وتتباعد خارج هذه الفتره اذا استثنينا الحاله المبتذله وهو تقارب السلسله عند نقطه فان السلسله تتقارب عند اي نقطه على الفتره المذكوره ويكون مجموعها على فترة التقارب
يمكن ان نكامل طرفي السلسله كما في التالي
dy= \sum\limits_{n=0}^\infty a_n\frac{x^{n+1}}{n+1})
وادخال التكامل تحت المجموع له شروط قد نفرلد لها موضوع لو تكلمنا عن مقالات متقدمه بحل المعادلات
بالنسبه للعدد R سنقدم بعض الملاحظات التي تمكننا من تحديده بمجرد النظر المباشر للداله f جموع السلسله كما في المثال التالي نعلم ان
وان فترة التقارب هي (1,1-)=I
حل المعادلات التفاضليه بالقرب من نقطه عاديهنقول ان النقطه x=x0 iهي نقطه عاديه للمعادله التفاضليه الخطيه
}+.....+b_ny=Q(x))
اذا كانت
\not=0)
وتسمى شاذه اذا ساوت الصفر
مثال
حل اللمعادله التفاضليه
بجوار النقطه x=0
الحل
من الواضح ان المعادله لاتقبل نقاطا شاذه في المستوىوبالتالي فن المعادله تقبل حلا من الشكل متسلسة قوى بجوار الصفر من الشكل
ويتبع ثابتين اختيارين
لنعوض عن y بما يساويها ونضبط الادله بحيث لاتتاثر الحدود لنحصل على
a_n-a_{n-2}]x^{n-2}=0)
وهذه المساواه صحيحه مهما كانت قيمة x اذن
})
من العلاقه نجد ان
!} \\ a_{2k+1}=\frac{a_1}{(2k+1)!})
اي ان الحل يكون شكله
ولكن كيف حصلنا على الدوال الزائديه بالاخير
اترككم تفكرون
الى اللقاء
سير بنروز
