السلام عليكم
نكمل البرهان
دون المسا بعمومية البرهان يمكننا الفرض بان n عدد اولي فردي والذي يرمز له عاده بالرمز p
لنعتبر الرباعيات
على
مجموعة الاعداد الصحيحه قياس P
ان
حلقه منتهيه بالاضافه الى ذلك غير ابداليه لأن ij=-ji لكل عدد اولي لايساوي اثنين لذا من مبرهنة فيدربرن لايمكن لـ W ان تكون حلقة قسمه ومن معلومات سابقه يجب ان تحوي الحلقهW مثاليا ايسر
ولكن حينئذ لايمكن للمثالي ثنائي الجانب v في H والمعرف بـ
والمثالي يقسم x وهي قيم المعاملات ان يكون مثاليا اعظميا ايسرا في H/v يماثل W
-البرهان ثقيل ولانريد ان نتعمق بمسالة يماثل ولايماثل-
لذا يوجد مثالي ايسر L في H يحقق انه لايساويه ولا يساوي v & v محتواه في L
يوجد تمهيديه تقول يوجد عنصر في L بحيث ان كل عنصر في L هو مضاعف ايسر لـ u
لما كان p محتوى في v فان p محتوى في L وعليه p=cu لعنصر c في H وحيث ان كل عنصر في L هو مضاعف ايسر لـ u لما كان P محتوى في v فان p محتوى في L
وعليه p=cu لعنصر c في H لانه يوجد
سيكون في v لذا N(u)>1 ويكون p=cu فان
p*p=N(P)=N(cu)=N©N(u)1
ولكن N©&N(U) 1 عددان صحيحان لان كل من c ,u في H كما ان كلاهما اكبر من الواحد وكل منهما يقسم p*p=p^2 حينئذ لابد ان يكون
N©=N(u)=p
لما كان u محتوى في H فان
هذا يقتضي تحت عمليات معينه ان ان نثبت ان 2u تساوي قيمه معينه منها نتنتج نورم 2u
ونثبت ان
^2+(2m_2 +m_0)^2+(2m_2 +m_0)^2+(2m_3 +m_0)^2)
الحين قربنا ننتهي من البرهان
كي ننهي البرهان هناك احدى الحيل التي استخدمها اويلر
اذا كان
حيث المتغيرات اعداد صحيحه فان
لاحظ انه لكون a2 فاما تكون معاملاته زوجيه او فرديه جميعا او اثنين فردي واثنين زوجي
يمكن اعادة ترقيم x بحيث يكون في ازواج على شكل
كلها اعداد صحيحه ولكن
^2+(\frac{x_0-x_1}{2})^2+(\frac{x_2+x_3}{2})^2+(\frac{x_2-x_3}{2})^2)
وهذا يساوي
)
=a)
ولما كان p4 يساوي اربع مجموع اربع مربعات فان p2 كذلك ولكن p2 يساوي مجموع اربع مربعات اذن p كذلك لذا فان
وبذلك ننهي برهان لاغرانج
ان هذه المبرهنه فتحت المجال لبحث واسع في نظرية الاعداد والذي يسمى بمسالة ورينج ان هذه المساله تنشأ عما اذا كان كل عدد صحيح يساوي مجموع عدد معين من الاعداد مرفوعه للقوه k
لقد اثبت الرياضي العظيم ديفيد هلبرت -هلبرت رجل عظيم جدا بشكل يفوق كل التصورات-
ان لمسالة ورينج جواب ايجابي
عموما هذا البرهان وبشطارتك افهمه وفتش بكتب الجبر عن معاني مالم تفهمه لانه اجدر واكفأ مني ولو لم تطلبه مني لما كتبته يا اخ فيرما
عموما نتمنى لكم رحله ممتعه مع البرهان
نراكم لاحقا
