بسم الله الرحمن الرحيم.
السلام عليكم ورحمة الله .
سؤال ممتاز أخ "greencity" وليس بالسؤال السهل . سأحاول الإجابة عليه
والله الموفق .
ولكن سأعود لاستخدام نفس الرموز التي استعملتها في الرد السابق ، حيث
U1=1 هو عدد الدوائر في السطر الأول .... Un هو عدد الدوائر السطر
الذي ترتيبه n فيكون المطلوب إيجاد :
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 ………+ Un
(Sn = U1 + ( U1+2 ) + ( U2 + 3) + ( U3 + 4) +…+(Un-1+ n
Sn = 1 +( 1+2) + ( 1+2+3) + (1+2+3+4) +…+(1+2+…+n
Sn= (1+1+1+….+1) + (2+2+…+2) + (3+…+ +….
حيث أن العدد الموجود بين القوسين الاولين هو n وفي ثاني قوسين هو n-1 الخ
Sn = n.1 + 2(n-1) + 3(n-2 ) + 4(n-3) +…+n[ n-(n-1)]
Sn = n + 2n -2.1 + 3n -3.2 + 4n -4.3 +…+ n.n – n(n-1)
Sn = (1+2+3+…+n)n – 2.1 - 3.2 -4.3 - … n(n-1)
Sn = (1+2+3+…+n)n – (2.1 + 3.2 + 4.3 + … n(n-1))
n-1
Sn = [n(n+1)/2].n - [k(k+1)] = n2 (n+1)/ 2 - (k2 +k)
Sn = n2 (n+1)/ 2 - k2 - k
or k2 =[ (n-1) .n.(2n-1) /6] -1 et k = [(n-1).n]/2
" On peut démontrer la première par recurrence et la deuxième
est déja vue dans la demonstration precedent"
Donc Sn = n2 (n+1)/ 2 - [ (n-1).n.(2n-1) /6] – [(n-1).n]/2 .
ويمكننا أن نرى صحة العلاقة بتعويض أي قيمة ل n
فمثلاً : n= 1 يكون : S1 = 1 – 0 – 0 = 1 وهو عدد الدوائر في الصف الاول
و لقيمة n = 4 : S4 = 16 . 5/2 – 3.4.7/6 - 3.4/2= 40 -14-6 =20
و هو مجموع عدد الدوائر من السطر الاول الى الرابع .
بالنسبة للعلاقة التي استعملتها لجمع تربيع الاعداد من 1 إلى n-1
فأعتقد [ان طريقة برهانها تسمى البرهان بالتتالي على الاعداد الطبيعيّة n .
أعود فأقول رجائي أن يكون الحل مفهوماً و أتمنى من ألاخ "greencity"
أن يكون لديه حلاً أبسط حيث أحسست بأنه يملكه .
ملاحظة : إن الرمز يعني جمع أعداد المتوالية [k(k+1)] حيث أن k تأخذ
قيمها من مجموعة الاعداد الطبيعيّة من 1 إلى العدد n-1 .
