بسم الله الرحمن الرحيم
سأحاول أن اجيب قدر الامكان .
1- بالنسبة للسؤال الأول فإن الدالة f هي جمع الدالتين x^5 + x
وَ sinx المتصلتين لكل قيم x الحقيقيّة و بالتالي f هي دالة متصلة
وَ مشتقها 0< 5x^4 +1 +cosx إذاً الدالة f هي دالة متزايدة
و حيث أن نهاية الدالة f عندما تؤول x الى - ما لا نهاية
هو – ما لا نهاية وَ + ما لا نهاية عندما تؤول x إلى + ما لا
نهاية فتكون القيم التي تأخذها الدالة هي كل القيم الحقيقيّة.
و بما أن الدالة مثصلة ومتزايدة باستمرار ( continuous
And strictly increasing) إذاً هذه الدالة لها دالة معكوسة g
نعرف أن f(0) = 0 , إذاً g(0) = 0 و بالتالي نهاية g(x) / x
تؤول الى الصورة : 0\0 و باستعمال نظرية هوبيتال تؤول النهاية
الى نهاية 'g التي تساوي : 1/2 حيث
f ' (0) = 0 + 1 + cos 0 = 2 .إذاً حسب الحل الذي قمت به
نهاية g(x) / x هو 1/2 و ليس 2 والله أعلم .
2- إذا استعملنا نفس القاعدة أي : g '(x) = 1 / f '(x)
فإن نهاية f ' (x) هو ما لا نهاية عندما تؤول x
إلى ما لا نهاية فإن نهاية g'(x) هو صفر .
3- بما أن الدالة f متصلة فمعكوسها g دالة متصلة .
4- عندما تؤول x الى ما لا نهاية فإن f تؤول أيضاً
إلى ما لا نهاية و بالتالي عكسياً تؤول الدالة g
إلى ما لا نهاية فإذاً نهاية g(x) / x تساوي نهاية
g '(x) أي صفر كما ورد فيس الاجابة رقم 2 .
أعتذر لانني لم أفهم السؤال الرابع .
أرجو أن تستفيدوا من هذه الاجابة.
