بسم الله الرحمن الرحيم
فلسفة الرياضيات
فلسفة الرياضيات أحد فروع الفلسفة التي تحاول الإجابة عن أسئلة تتعلق بطبيعة الكائنات الرياضية و تتسائل عن كيفية تجريد الكائنات الرياضية من الطبيعة ثم استخدامها في فهم الطبيعة ذاتها . إلى أي درجة يمكننا القول أن العبارات الرياضية صحيحة ؟ و هل للكائنات الرياضية وجود حقيقي أم هي مجرد ادوات تخيلية تجريدية يستخدمها الإنسان لتسهيل معالجته لظواهر الطبيعة .
الواقعية الرياضية أو الإفلاطونية
تعتبر الواقعية الرياضية الكائنات الرياضية ذات وجود مستقل عن العقل الإنساني . لذلك فإن مهمة الإنسان هو استكساف هذا العالم الرياضي و ليس اختراعه , كما إن أي كائن ذكي مفترض في هذا الكون قادر على استكشاف هذا العالم الرياضي و سبر أغواره . يطلق على هذه المدرسة اسم الإفلاطونية باعتبارها تماثل وجهة نظر أفلاطون من حيث إيمانه بعالم المثل و الافكار , الذي يمثل لديه العالم الكلي اللامتغير , و ما العالم اليومي الذي نعيش فيه إلا مقاربات غير مكتملة لهذا العالم المثالي .
من المحتمل ان جذور فكرة أفلاطون تأتي من عند فيثاغورس الذي كان يؤمن هو و تلاميذه من الفيثاغورسيين ان العالم مكون حرفيا من الأعداد . و على ما يبدو فإن هذه النظرة ذات جذور أعمق في التاريخ لا يمكن تحديد بدايتها .
يعتبر العديد من علماء الرياضيات واقعيين رياضيين , فهم يعتبرون أنفسهم مكتشفين يتجولون لرؤية روائع هذا العالم الرياضي و ليس مخترعين لها . أمثلة هؤلاء كثر : مثل باول ايردوس و كورت غودل و الفيزيائي الرياضي روجر بنروز . السبب النفسي وراء هذا الإعتقاد أنه من الصعب القبول أن شخصا ما يشغل نفسه لفترة طويلة من الزمن ما لم يكن مقتنعا فعلا بوجوده . يؤمن غودل بنوع من الواقع الرياضي الموضوعي يمكن إدراكه بطريقة مشابهة لإدراك الحواس . بعض المبادئ يمكن ان تعتبر صحيحة مباشرة لكن بعض الحدسيات conjecture مثل فرضية الإستمرار continuum hypothesis لا يمكن البت فيها استنادا لهذه المبادئ . لذلك يقترح غودل منهجية شبه تجريبية quasi-empirical methodology يمكن أن تؤمن تأكيدا كافيا لإفتراض هذه الحدسية conjecture .
المشكلة الأساسية في وجهة النظر لاواقعية للرياصيات : هي أين و كيف تتواجد هذه الكائنات الرياضية ؟ هل هي في عالم كامل الانفصال عن عالمنا تسيطر عليه الكاثنات الرياضية ؟ , كيف لنا أن نتواصل مع ذلك العالم و نستكشف حقائقه ؟ يقدم كلا من أفلاطون قديما و غودل حديثا اجابات لهذه الأسئلة لكن هذه الاجابات لا تبدو مقنعة للكثيرين .
الشكلية
تقوم المدرسة الشكلية على فكرة أنه من الممكن التفكير بالعبارات الرياضية على انها نتائج لقواعد معالجة المقولات الأولية . مثلا , الهندسة الإقليدية تعتبر مؤلفة من مقولات تدعى البدهيات axioms . بالإضافة إلى بعض قواعد الدلالة التي تسمح باستنباط مقولات جديدة من المقولات الأولي المعطاة . فبما انك قادر على البرهنة على مبرهنة فيثاغورس وحدك فهذا يعني انك قادر فعلا على انشاء المقولة التي تمثل هذه المبرهنة .
وفقا لبعض مذاهب الشكلية , فإن مسألة الموضوع في الرياضيات هي حرفيا الرموز المكتوبة ذاتها . و عندها تصبح القضية لعبا بهذه الرموز و لا يهم ما هي نوع اللعبة فجميع الألعاب متكافئة و يمكنك أن تلعب أي واحدة تختار , لكن هذه الرؤية لا تعطي حلولا للأسئلة الجوهرية : ما هي هذه الرموز الرياضية ؟ هل توجد حقا في عالم تخيلي غير متغير ؟ و لماذا هي مفيدة في شرح العالم الواقعي ؟ . هذه النظرة تحول الرياضيات إلى مجرد فعالية بشرية متفوقة لعبتها الرموز و الأرقام لكنها لا تقدم حلولا لذلك لم تلق كبير انتشار .
تقول مدرسة ثانية من الشكلية بالإستنتاجية deductivism , فمبرهنة فيثاغورس في هذه الخالة لا تعود حقيقة مطلقة إنما حقيقة نسبية : إذا نسبت معنى و حقيقة للمقولات الرياضية بحيث تصبح قواعد اللعبة صحيحة , عندئذ عليك قبول المبرهنة أو ان التفسير الذي تعطيه للمبرهنة يجب أن يكون عبارة صحيحة . ( أي أن صحة العبارات الرياضية مرتبطة بصحة البدهيات الأساسية بشرط اعتماد قواعد ( لعبة ) تحفظ هذه الصحة ) .
