السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
سرعة الفارس 40 كم / س
& سرعة الصقر 120كم/س
& المسافة الإبتدائية أب = ف0 = 320 كم
أولا: لأيجاد زمن التقابل أول مرة
بفرض أن المسافة التى يقطعها الفرس حتى يتقابلان أول مرة = ف1
عند نقطة ج بعد مرور زمن = ن1
فتكون المسافة التى قطعها الصقر = 2ف0 – ف1
زمن وصول الفارس إلى ج = زمن رجوع الصقر إلى ج
ف1 ÷ 40 =( 2ف0 – ف1) ÷ 120
3 ف1 = 2ف0 – ف1
4ف1 = 2ف0
ف1 = (1\2) ف0 كم ---- (1)
المسافة التى قطعها الفارس = 320 ÷ 2= 160 كم
المسافة المتبقية = ف0 – (1\2) ف0 = (1\2) ف0
زمن التقابل ن1 = ف1 ÷40 --- (2)
= 160 ÷ 40 = 4 ساعة
أى يتقابل الفارس مع الصقر أول مرة عند نقطة ج الواقعة على بعد 160كم من أ الساعة 11 صباحا
المسئلة تتكرر بصورة منتظمة
بفرض أن المسافة التى قطعها الفرس حتى يتقابلان ثانى مرة = ف2
عند نقطة د بعد مرور زمن = ن2
المسافة التى قطعها الفارس = ف1 + ( ف1 ÷ 2 )
= (1\2)ف0 + (1\4) ف0 = (3\4) ف0= (3\4)×320 = 240كم
زمن التقابل ن2= ف2 ÷ 40 = 240 ÷ 40 = 6 ساعة
, أى يتقابل الفارس مع الصقر ثان مرة عند نقطة د الواقعة على بعد 240 كم من أ الساعة 1 ظهرا
ثانيا : ويمكن صياغة قانون عام لحساب المسافة التى يقطعها الفارس لحظة التقابل الرائى والزمن الذى يحدث عنده هذا التلاقى
------
يلاحظ أنه توجد دائما مسافة متبقية مهما صغرت
فإذا كانت المسافة الأصلية أ ب = ف0
المسافة المتبقية بعد التقابل الأول
س1 = ف0 – ف0 \ 2 = ف0 \ 2
المسافة المتبقية بعد التقابل الثانى
س2 = ف0 \ 2 – ( ف0 \ 2 ÷ 2 ) = ف0 \ 4
= (1\2)^2 × ف وهكذا .....
فتكون المسافة المتبقية بعد التقابل الرائى
س ر = (1\2) ^ ر × ف0
متتابعة المسافات المتبقية متتابعة هندسية تقاربية
حدها الأول ف وأساسها ( 1\2) < 1 تكون على الصورة
ف0 , ف0\2 , ف0\4 , ف0\8 , ... , (1\2) ^ ر × ف0 ,...
و تكون المسافة التى قطعها الفارس حتى التقابل الرائى
ف ر = ف0 – س ر = ف0 (1\2) ^ ر × ف0
= 320 × (1- (1\2) ^ ر ) --- (3)
ويكون زمن التقابل الرائى
ن ر = ف ر ÷ 40=320 × ( 1 – (1\2) ^ ر ÷ 40
ن ر = 8 × ( 1 – (1\2) ^ ر --- (4)
المعادلتان (3) , (4) تعينان المسافة التى قطعها الفارس حتى التقابل الرائى و الزمن الى حدث عنده هذا التلاقى
ولحساب المسافة التى قطعها الصقر حتى لحظة التقابل الرائى
= 120 × ن ر = 3 × ف ر ------ (5)
فمثلا لإيجاد المسافة التى قطعها الفارس لحظة التلاقى الرابع وزمن التقابل
ف4 = 320 ( 1 – (1\2) ^ 4 ) = 320 × 15 ÷ 16 = 300 كم
ن4 = 8 ( 1 – (1\2) ^ 4 ) = 8 × 15 ÷ 16 = 7.5 ساعة
أى يتلاقى الفارس والصقر للمرة الرابعة على بعد 300 كم من أ فى عند الساعة الثانية والنصف بعد الظهر
يلاحظ أنه بوضع ر = مالانهاية فى كلا من المعادلتان (4) , ( 5)
تكون ف ر = 320 , ن ر = 8
وهذا يكون لحظة الوصول إلى نقطة ب نهاية المطاف
