السؤال الثاني :بطريقة مشابهة لحل السؤال الاول
المطلوب اثبات ان :5يقسم ن^5-ن=ن(ن-1)(ن+1)(ن^2+1) لنأخذ الحالتين:
الحالة الاولى :
اذا كان 5يقسم أحد الاعداد المتتالية ن,ن-1,ن+1 نكون قد أثبتنا المطلوب
(وضوحاَ)
الحالة الثانية:
اذاكان5 لا يقسم أياً من الاعداد المتتالية ن,ن-1,ن+1 هنا علينا اثبات ان :
5يقسم ن^2+1
بما أن 5 لا يقسم أياً من الاعداد المتتالية ن,ن-1,ن+1 فانه سيقسم
أحد العددين ن+2 أو ن+3 (وضوحاً) سنستفد من ذلك:
ن+2=5ك (ك صحيح) ومنه:ن=5ك-2 ومنه :ن^2=25ك^2-20ك+4
ومنه:ن^2+1=5(5ك^2-4ك+1) (تم المطلوب)
أو
ن+3=5ل (ل صحيح) ومنه:ن=5ل-3 ومنه :ن^2=25ل^2-30ل+9
ومنه:ن^2+1=5(5ل^2-6ل+2) (تم المطلوب)