السلام عليكم
الأخ الكريم
شكراً لك جزيلاً..
و هذا البرهان الذي وجدته:
(طريقته تشبه طريقة حل أول مثال على اختبار المقارنة)
برهن أن المتسلسلة التوافقية
متباعدة؟
الحل/
نبدأ بكتابة بعض المجاميع الجزئية كما يلي:
> 1+\frac{1}{2}+(\frac(1}{4}+\frac{1}{4})=1+\frac{2}{2}\\s_8=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})> 1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})\\=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{3}{2}\\s_{16}=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+....+\frac{1}{8})+(\frac{1}{9}+....+\frac{1}{16})\\> 1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{8}+....+\frac{1}{8})+(\frac{1}{16}+....+\frac{1}{16})\\=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{4}{2})
ما قمنا بعمله أعلاه عملية مقارنة بين بعض حدود متتابعة المجاميع الجزئية و أعداد أخرى
فمثلاً لاحظ في 4 أنه تمت المقارنة بين
)
و
)
لاحظ أن الحدود متساوية و لا تختلف إلا في العدد ثلث و ربع و لأن الثلث أكبر من الربع تم وضع إشارة أكبر
و كذلك نجد أن 4 أكبر من 1 و نصفين.
و كذلك في 8 تمت المقارنة بين:
+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}))
و
+(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})
الثلث أكبر من الربع ، الخمس و السدس و السبع أكبر من الثمن.
فنجد أن الطرف الأيسر من المقارنة يحتوي على 1 و ثلاثة أنصاف.
نلاحظ أعلاه أن
s_2 تساوي 1 و نصف، و s_4 أكبر من 1 و نصفين، و s_8
أكبر من 1 و ثلاثة أنصاف، و s_16
أكبر من 1 و أربعة أنصاف، و هكذا تتزايد الأنصاف الموجبة بما أن n موجبة
و يكون لدينا:
و هكذا...
إذاً بشكل عام:
و بذلك و كما هو واضح:
أي أن متتابعة المجاميع الجزئية متباعدة
و بناءاً على ذلك المتسلسلة التوافقية متباعدة.
و طريقة هذا البرهان ناشئة عن العالم الفرنسي Nicole Oresme (1323-1382
