السلام عليكم
عندما نتناول أي كتاب دراسي سواء كان في الجبر او في التحليل الرياضي او في التبولوجيا او في أي فرع اخر من افرع الرياضيات ستجد حتما فصلا او قسما خاصا عن نظرية المجموعات set theory وهذا يدل على إن هذه النظريه تكمن في قاع جميع فروع الرياضيات بمثابة الاسس التي ينطلق منها هذا الفرع او ذاك بالاضافه إلى استقلالها المطلق باعتبارها فرع من فروع الرياضيات التي يطلق عليه نظرية المجموعات
ووجود هذه النظريه يدل على اهميتها النظريه والتطبيقيه على حد سواء
والغريب في هذا الامر إن هذا الابتكار هو ابتكار شخص واحد تدين له الرياضيات الحديثه وفلسفتها وتعتزان به لانه فتح افاقا جديده امام الرياضين وفك الرموز العصيبه وهذب فكرة اللانهائيه بعدما كانت عائمه في محيط اللامتعين واللامحدود وباتت مكتمله حتى الفها الرياضيون انفسهم وفلاسفة العلم ايضا صاحب هذا الابتكار هو
جـــــــــــورج كـــــــــــانتور
وكما كانت الفيثاغوريه تنظر إلى كل شيء انه عدد او يمكن التعبير عنه بذلك والعدد هوه جوهر الوجود وحقيقته هناك صفه عامه في كل شيء جسما او غير جسم له صفة العدديه او بعباره اخرى لايمتاز شيء عن شيء الا بالعدد فالعدد هو جوهر الوجود وحقيقته اما اصحاب نظرية المجموعات فقد رفعوا شعارا لهم وهو إن كل شيء مجموعه
وبما إن وجود اللانهائيه الحقيقيه اجبر العلماء على اعادة دراسة الوضع الفيثاغوري فان وجود اللانهائيه المطلقه هو الاخر دفع الرياضيين إلى اعادة الصرح الكانتوري وعلى ضوء ذلك تمت دراسة المجموعات اللانهائيه وبالاخص اللانهائيه في الكبر او كما يطلق عليها بالمصطلح الكانتوري الاعداد الموغله او ماوراء المنتهي
لقد عبر كانتور بنفسه عن تلك الاعداد مصرحا انه(ليس بمقدور احد إن يقول إن الاعداد الموغله تقف عند حد معين او تكمن مع الاعداد الصماء"غير المنطقه" اللانهائيه رغم إن جوهرها واحد الا إن الاولى –الاعداد الموغله-تعتبر بمثابة الاساس او التصحيح السليم الذي يقودنا إلى اللانهائيه الحقيقيه
فموضوع نظرية المجموعات اذن وبالاخص المجموعات اللانهائيه التي انطلق منها كانتور في الفتره من 1874-1895 اثار جدلا وصراعا فكريا لاتزال اثاره باقيه حتى هذا اليوم وبيت القصيد في هذا كله هو الانقلاب الذي احدثته النظريه على بعض المباديء الرياضيه الكلاسيكيه
فالصعوبات الفيثاغوريه مثلا حول الجذر التربيعي للعدد اثنين ومفرقات زينو حول مفهوم الاستمراريه والتقسيم اللانهائي هي جوهر هذا البحث ولب الموضوع ونتيجه هذا الصراع اولى الرياضيون اهتماما بالفلسفه ادى إلى البحث العميق لدراسة الاسس الرياضيه قاصدين من وراء ذلك ايجاد الحلول الممكنه لتلك المعضلات التي شطرتهم إلى عدة اقسام ادت بالتالي إلى ظهور مذاهب فلسفيه داخل الاطار الرياضي نفسه
ومن خلال دراستنا للافكار المستخدمه في التحليل الرياضي ومدى فعاليتها ورغم امتداد جذور هذا الاختلاف إلى القرون الوسطى بل وربما إلى عصر الاغريق الا إن هذا النزاع غدا مقبولا من قبل بعض الرياضيين باعتباره قضية الخروج على القواعد المألوفه.
ورغم ما احرزت نظرية كانتور حول اللانهائيه من تقدم ملموس في جميع حقول المعرفه الا انها في واقع الامر اشد معركه عرفها تاريخ العلم من خلال الفكر التقليدي الرياضي حيث شبهها العالم الكبير اينشتاين بمشادة الضفدعه والفأر
والان بعد هذا التمهيد نأتي إلى هدف الموضوع (من هو جورج كانتور)
هو فرديناند لودفيج فيلب كانتور هو الابن البكر لاب تاجر ناجح هو جورج فادلمار كانتور من موالديد كوبنهاجن بالدنمارك هاجر إلى سانت بيتر سبيرج وفيها ولد كانتور في الثالث من مارس 1845 ولكن مرض والده الرئوي هو الذي دفعه إلى إن يغادر إلى فرانكفورت في المانيا
اما امه ماريا بوهم فتنحدر من اسره موسيقيه عريقه خالها جوزيف بوهم مدير معهد الموسيقى ومؤسس مدرسة عازفي الكمان ذائعة الصيت((لا اعرف اسمها))
وكان لكانتور اخ اسمه كونستاتين الذي اصبح ضابطا بالجيش الالماني وله اخت هي صوفيا نوبلنك
اما طاقات كانتور الفنيه وحسه الذي ورثه عن امه لم تجد لها مخرجا إلى في الفلسفه والرياضيات وربما قد تكون احد الاسباب الذي جعلته في عدم استقرار دائم
وكان كانتور يعتنق المذهب البروتستانتي ويقال إن كانتور لو لم يختر الرياضيات لربما كان قدره في الفلسفه او اللاهوت
ويمكن إن يقال في هذا الصدد إن نظرية كانتور حول اللانهائيه باتت حجر الزاويه عند اليسوعيين الذي كانت نزعتهم المنطقيه ممكنه عن طريق الخيال الرياضي الصرف
ومثله مثل الرياضيين الموهوبين بدأت موهبته الرياضيه في سن مبكره ماقبل الخامسة عشرة ةالتحق بمدرسة خاصه في فرانكفورت وفي دار مشتات
وفي ربيعه الخامس عشر قرر كانتور دراسة الرياضيات واحترافها الا إن والده كان يصر عليه رغم اعترافه بقدرة الصبي الرياضيه الالتحاق بالهندسه لما لذلك من مستقبل ومصدر رزق مضمون (يبدو انهم كانوا يعانون من تفكير مشابه لما هو رائج هنا هذه الايام عن البحث عن الوظيفه بالدرجه الاولى)
وقبل دخوله الجامعه وتبعا لما حققه من نجاح وتفوق في حقل الرياضيات كتب إلى والده معبرا عن شعوره العميق تجاه حقل المستقل الرياضيات
"والدي العزيز
تستطيع إن تتاكد بنفسك كم كنت مسرورا برسالتك لقد حددت مستقبلي بالفعل وساكون مغتبطا عندما اعلم بانك لن تنزعج اطلاقا عندما يقودني شعوري بما اختاره انا وامل إن يطيل الله في عمرك لترى فرحي وسعادتي ايها الا العطوف حيث إن روحي ووجودي جميعها يعيشان في مهنتي وماذا يريد المرء اكثر من شيء يرغب فيه ويتمناه وان شعوره الداخلي هو الذي يقوده إلى تحقيق مايصبو إليه"
لسنا نعلم ماتركت الرساله من اثر على الوالد البار ولكن الذي ندرك هو كم كان شغف الابن عظيما تجاه الحقل الذي عشقه حتى نهايته المحزنه ولكن رغم ذلك الشقاء الذي جعله احد ائمة الرياضيين وليس باستطاعتنا إن نتنبأ كيف كان الامر لو خضع كانتور لرغبة ابيه ربما خسر العلم الرياضي نجما براقا وحقلا لم يحصد
بدأ كانتور دراسته الجامعيه في زيورخ عام 1862 وبعد عام انتقل إلى جامعة برلين ابان وفاة والده وهناك درس الرياضيات والفلسفه ففي الرياضيات تتلمذ على يد فايرستراش وكومر وكرونكر (نتيجه منطقيه إن يصبح كانتور رياضي بعد الدراسه عند هؤلاء) وبناء على العرف السائد في الجامعات الالمانيه انذاك فانه يحق للطالب إن يقيم في مدينه ويلتحق بالدراسه في جامعه اخرى خارج تلك المدينه وكان الامر كذلك حيث كان كانتور يقيم في غوتنجن ويدرس في برلين
لقد كان المناخ الرياضي انذاك مفعما بالحساب وبالذات عند استاذيه كومر وكانتور(كان فيرستراش تحليلي)
ولكن كان كانتور مولعا باعمال غاوس ونظرياته وهام بها حتى غاص فيها بعمق وبالذات في عمل غاوس الخالد "disquisitiones arithmeticae""التحقيقات الحسابيه" حيث تطرق إلى مساله صعبه تركها غاوس بدون حل كتب كانتور اطروحة الدكتوراه حول مسالة الاعداد الصحيحه للمعادلة غير المحدده
Ax^2+By^2+Cz^2=0
حيث A,B,C ثوابت صحيحه ومنحت له الدرجه في عام 1867
لقد كان غرام كانتور الاول هو اعمال غاوس المتعلقه بالنظرية الرقميه التي فتن بها وسحر بمحتواها ووضوح وكمال براهينها ولكن تاثير فيرستراش جعله يتجه إلى التحليل الرياضي وبالذات المتسلسلات المثلثيه(متسلسلات فورييه)
ولكن بعض الصعوبات الحاسمه في هذه النظريه والمتعلقه بتقارب المتسلسلات اللانهائيه كانت اقل عمقا وقريبة المنال اذا ماقورنت بمتسلسلات القوى (سوف اتطرق لها بدرسي عن المتسلسلات بشكل سطحي) وهي التي جذبت اهتمام كانتور ودفعته إلى اسس التحليل الرياضي اكثر من معاصريه الذين لم يولو اعتبارا لها وقادته اخيرا إلى احتضان فلسفة اللانهائيه
هذه الفلسفه التي تترعرع في قاع جميع القضايا المتعلقه بمفاهيم الاستمراريه والنهايات والتقاربيه
وقبل إن يتجاوز كانتور ربيعه الثلاثين نشرت ورقته الثوريه في مجلة كريلله حول نظرية المجموعات اللانهائيه ورغم إن نتائج هذا البحث غير متوقعه تماما وكذلك مفارقاتها المتعلقه حول مجموعة جميع الاعداد الجبريه التي صاغها كانتور بطريقه بارعه وكذلك الطرق الجديده غير المالوفه التي ادخلها في بحثه فقد وضعت الرياضي الشاب في مقدمة الرياضيين الخلاقين غير العاديين بغض النظر عن الاجماع او الاختلاف
ويجب التنويه إن هذا الرجل اتى بشيء جديد كامل الجده وازاح صخره كبيره كانت بمثابة عثره في الرياضيات وهذا العمل منحه قوه ونفوذا يستحق من خلاله تقليد أي منصب ذي نفوذ وسلطان
وفي عام1868 عين استاذ في جامعة هاله دون راتب لان الاستاذ ياخذ الراتب مباشره من طلابه وهذا نظام كانت تعلم في الجامعات الالمانيه
لقد اقترح عليه هاينه الذي كان يشتغل في المتواليات المثلثيه الاشتغال باحد المسائل العويصه المتعلقه بتفرد هذه المتسلسلات (اعتقد والله اعلم انه يريد اثبات إن منشور فورييه وحيد لكل داله)
وفي عام 1872 نشر كانتور بحثه حول الحلول العامه لهذه المساله والتي تعد بمثابة البذره الاولى لنظرية المجموعات اللانهائيه
إن المساله التي اقترحها هاينه برزت من خلال اعمال الفرنسي فورييه في عام 1822 إن الرسم البياني لمنحنى دقيق جدا(املس-هو المنحنى الذي يوضح اعداد من النقط المتناهيه غير المتصله)يمكن تمثيله على مدى الفتره كمجموع متواليه مثلثيه لانهائيه وبتعبير اخر تتطابق اعداد لانهائيه من موجات الجيب وجيب التمام فاية نقطه على المنحنى الدقيق الاملس يمكن تقريبها إلى درجه من الدقه حسبما نشاء ويقال عند اذن إن المتواليات متقاربه إلى المنحنى او إلى الداله عدا اعداد متناهيه من النقط اينما تكون
ورغم إن نظرية كانتور لاقت العديد من المعارضين ولكنه توصل فعلا إلى إن يجعل المنطق الرياضي يتجدد ويصبح اكثر قوه وصلابه وكان برتراند رسل يقول مادحا ومبجلا لكانتور (بانها اعظم الانجازات التي يفتخر بها العصر)
وفي عام 1874 تزوج كانتور فالي كوتمان وقضى العروسين صيفهما على جبال هارتزوهناك التقيا بالرياضي ديدكند(اتوقع إن هذه الصيفيه لها اهداف اخرى وليست تماما شهر عسل ) وكان هذا اللقاء مثمرا بالنسبه لكانتور لانه ناقش المسائل الرياضيه التي تشغله فقبل عام من زواجه كتب إلى ديدكند خطابا استعرض فيه احد المسائل التي كانت تشغله ذكر فيها (هل بالامكان تطابق نقط سطح ما (مربع ومن ضمنه نقط حدوده) مع نقط الخط المستقيم (من ضمنها نقطتي البدايه والنهايه) أي إن اية نقطة على السطح تناظرها نقطه اخرى على الخط المستقيم وبالعكس؟ وبالتعاون مع ديدكند اعطى كانتور الشكل النهائي لنظرية الاعداد الحقيقيه بغية تحويل التحليل الرياضي إلى حساب(نسمع كثيرا عن محاولات تحسيب الرياضيات في القرن الماضي وقبله) أي لاستخراج تعريف الاعداد الحقيقيه من مفهوم النهايه فانطلق من مبدأ التقابل ومنه توصل إلى نظرية الرتب المتصاعده
خصـــــــــوم كانتور
لقد كان عرض الاسس عرضا رياضيا دقيقا حول المجموعات الجديده الموغله بالاضافه إلى الدفاع المحصن عن اللانهائيه الحقيقيه ذلك المفهوم الذي حاولوا معظم الفلاسفه واللاهوتيين دحضه
وحدث الامر نفسه للرياضين فقد اشتد غيظ غاوس وعبر برساله إلى شوماكر يقول فيها
"بالنسبه الي برهانك فاني اعترض بشده على استخدام اللانهائيه ككميه متكامله فهي مرفوضه بتاتا في الرياضيات فاللانهائيه ليست الا شكلا بل تعبيرا لفظيا فحسب"
لقد كان كانتور يعلم كل العلم ان نظريته الجديده حول المجموعات اللانهائيه سوف تلاقي معارضه شديده
وهؤلاء المعارضين مثل غاوس والفلاسفه واللاهوتيين مثل توما الاكويني وارسطو سيجدون انفسهم في وضع معين وفي يوم ما غير قادرين على رفض تلك الفكره لان كانتور لم يتطرق إلى القضايا المعررفيه للاعداد الموغله بل إلى التصورات الميتافيزيقيه المصحوبه بها
ومن اعدائه كذلك كرونكر والغريب انه استاذ فقد كان يأخر مقالات عن النشر في مجلة كريلله لانه كان رئيس تحريرها
ومن منطلق شخصي بحت لم يرد كرونكر إن تنشر اعمال كانتور لانه كان يرفض مفهوم اللانهائيه الحقيقيه او المكتمله وكذلك الاعداد الكارديناليه لقد كانت الحمله التي شنها كرونكر مشحونه بالغيره على حد تعبير اسحاق ازيموف
وكان كرونكر دائما معارضا له(على طول الخط) بل كان يبذل جل اهتمامه وجهده في عرقلة تقدم كانتور وابعاده عن سلك التعليم في الجامعه ببرلين حتى دفعه إلى الالتحاق في جامعة هاله وهناك بدأت تظهر عليه نوبات الانهيار العصبي وعلى اثرها ادخل مستشفى الامراض العقليه ومكث فيه ثمان اعوام حتى وفاته
واخيرا هذا الخليط الدولي الذي يسري في عروق كانتور من اب دنماركي وشهادة ميلاد روسيه إلى العيش حتى النهايه في المانيا بوسع أي دوله إن تتبنى هذا العبقري
لكن كانتور نفسه فضل المانيا ولانجزم بالمقابل هل المانيا فضلته ام لا؟؟؟
تحياتي
روجر بنروز
