ماهي التبولوجيا

[G H Hardy]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

ماهي التبولوجيا
التبولوجيا من المواضيع الرياضيه البحته التي تتعامل مع المجموعات التي تتصف بصفات معينه ولهذا الموضوع اهميه خاصه رياضيا , وقد اسهم في بناء وتنمية التفكير المنطقي السليم كما إن له صله ببعض الامور الهندسيه
والهندسه الاقليديه مثلا هي من الامور التي يتعرف عليها عدد كبير من الطلاب في مراحل تعليمهم المبكره وتمتاز هذه الهندسه بما يسمى الخواص الهندسيه للاشكال وبالحركه المتماسكه المستعمله لاثبات تطابق الاشكال الهندسيه والسؤال الذي ينشأ الان هو هل هناك انواع اخرى من الحركات الممكنه غير تلك الحركه المتماسكه؟
سنحاول في هذا المقال تقديم عرض مبسط للتبولوجيا الذي يمتاز بانواع اخرى من الحركه المرنه وبشكل بسيط نستطيع القول إن التبولوجيا تتعامل مع الهندسه المطاطيه المرنه وسنقدم مقارنه بسيطه بين الخواص الهندسيه والخواص التبولوجيه

*الخصائص الهندسيه

تعلم إن هندسة اقليدس تعتني بدراسة الاشكال في المستوى او الفضاء مع اهتمام خاص بالخواص الهندسيه لكن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيف نكم على خاصة ما بانها هندسيه؟؟
لو اخذنا مثلث  قائم الزاويه مرسوم بقلم لونه اسود ما فانه يمكننا التحدث عن التالي
1-   طول اكبر اضلاعه 5 سم.
2-   إن المثلث اضلاعه سوداء
3-   قياس احد الزوايا 90 درجه
4-   المثلث مرسوم في وسط الصفحه مثلا
5-   الزاويه التي قياسها 90 درجه تقع اعلى من غيرها في هذه الصفحه

فما هي الخصائص الهندسيه من بين ماذكر؟؟
إن الاجابه على هذا التساؤل تعتمد على مفهوم الاشكال المتطابقه حيث نذكر إن أي شكلين يعتبران متطابقان اذا وفقط اذا وضعا على بعض وكانا منطبقان تمام الانطباق والخواص الهندسيه لشكل ما يحوز عليها كل شكل مطابق له وعليه فان جميع الاشكال المتطابقه بالنسبه للهندسي متماثله((تمثل نفس الشيء)) وعند دراسته لاي شكل فان اهتماماته تتركزعلى إن إن جميع الخواص متتطابقه لذلك الشكل.
وفي ضوء ذلك يمكن ملاحظة إن الخواص 1 , 3 هندسيه لان هذه الخواص محققه في أي مثلث مطابق للمثلث السابق
بينما الخواص, 2 , 4 , 5 ليست هندسيه لانه يوجد امكانيه في إن لاتكون هذه الخواص محققه في أي مثلث مطابق للمثلث المعطى

ماهو التبولوجي


قد يبدو غريبا إن نصف علم التبولوجي وذلك باستمرار بدلا من كلمة هندسه وكلمة تبولوجيه بدلا من كلمة هندسيه ويعود السبب في ذلك إلى إن هذه الماده نصف الهندسه والتبولوجيا والفرق الوحيد بينهما مختفي في عبارة "يمكن وضعه على" والذي سبق تعريفه في التطابق فدعنا. نختبر هذه العباره بشكل ادق كيف نضع شكلا؟ وكيف نحركه؟وماهو مسموح لنا بعمله في هذه الحركه؟ فالحركات المسموح بها في الهندسه هي من نوع الحركات المتماسكه(الانسحاب,التدوير,الانعكاس)
والتي تحافظ على البعد ثابت بين أي نقطتين في الشكل (أي تحويلات هندسيه متساوية القياس كما تعلمنا في دراستنا السابقه) وعليه فالخصائص الهندسيه هي التي تبقى ثابته تحت تاثير الحركه المتماسكه.

اما في التبولوجي فالحركات المسموح بها هي من نوع "الحركات المرنة" فاذا تخيلنا إن لدينا اشكالا مصنوعه من المطاط فعند تحريك الشكل فاننا نستطيع تشويه الشكل عن طريق المط او اللي كما نشاء كما انه من الممكن قطع هذا الشكل المطاطي وربطه على هيئة عقده شريطة خياطته ثانيه كما كان سابقا وهذا يعني إن النقاط القريبه من بعضها قبل قطع الشكل تبقى قريبه من بعض بعد وصل الشكل ومهما يكن الامر فاننا يجب إن نبقى حريصين على إن هذه النقط المتمايزه في الشكل تبقى متمايزه فلا نستطيع بالقوه جعل نقطتين مختلفتين نقطه واحده ونقول
"إن شكلين متكافئين تبولوجيا اذا وفقط اذا انطبقا على بعض بحركه مرنه"
فالخصائص التبولوجيه للشكل هي جميع الخصائص التي ترتبط بالاشكال المتكافئه أي إن جميع الاشكال المتكافئه تبولوجيا متشابهه(تمثل نفس الشيء)
وعند دراسة شكل ما فان الاهتمام يكون منصبا على الخصائص المشتركه لجميع الاشكال الكتافئه تبولوجيا لشكل ما وعليه فان الخصائص التبولوجيه لشكل ما ثابته تحت تاثير الحركات المرنه وبالطبع فان علم التبولوجي هو دراسة الخواص التبولوجيه للاشكال.

وبالتاكيد فان اية خاصيه تبولوجيه لشكل ما هي خاصه هندسيه له ولكن كثيرا من الخصائص الهندسيه لاتمثل خصائص تبولوجيه
فالخصائص التبولوجيه لشكل ما يمكن إن تكون غالبية الخصائص الهندسيه للشكل وقد يظهر للوهله الاولى عدم وجود أي خاصيه تبولوجيه وهذا غير صحيح
فعلى سبيل المثال في الشكل 1 (انظر الشكل بالاسفل) دائره تقسم المستوى لثلاث مجموعات مجموعة النقط داخل الدائره وخارجها وعليها وتعتبر هذه الخاصيه للدائره تبولوجيه فاذا تصورنا هذه الدائره والنقطتين س , ص  مرسومتين على صفيحه مطاطيه وعرضنا الدائره إلى تشويه بالشكل عن طريق حركه مرنه فان
النتيجه هي المنحنى م والنقطتان س , ص كما في الشكل فالنقطتان س , ص لاتزالان داخل الشكل وخارجه وعليه فان الخاصيه س واقعه داخل المنحنى م تعتبر خاصيه تبولوجيه  للمنحنى الاصلي اما الخاصيه س اقرب إلى المنحنى م فهي ليست تبولوجيه فبالامكان المط لجعل ص اقرب إلى المنحنى لذلك هذه ليست خاصيه تبولوجيه وكمثال اخر فالشكل 2 يعبر عن دائره وعقده وهما شكلان متكافئان تبولوجيا عن طريق خاصة القطع وليس السحب وهي من الحركات المرنه المسموح بها فبقطع الدائره ومطها وربطها نحصل على العقده

*الخصائص التبولوجيه للاشكال
أ-الخصائص التبولوجيه
كما يعلم الجميع صيغة اويلر الهندسيه لاي مجسم بسيط وهي تعطي العلاقه بين عدد رؤوس وحواف ووجوه المجسم وثابت  ومجال صحة هذه الصيغه يتعدى مجسمات الهندسه الاوليه بوجوهها المسطح وحوافها المستقيمه وينطبق الحال كذلك على أي مجسم بسيط ذي وجوه وحواف منحنيه او متقوسه كما ينطبق على أي جزء من سطح كره تحده اقواس زد على ذلك باننا إن تخيلنا سطح مجسم من مطاط تثب صحة صيغة اويلر اذا تغير الشكل نتيجة مط مثلا
وسبب ذلك " إن الصيغه تهتم بالحواف والرؤوس والوجوه وليس بالاطوال او المساحات او أي مفهوم من مفاهيم الهندسه الاوليه
ويجب التذكير هنا إن الهندسه الاوليه تتعامل مع المقادير الطول والزاويه والمساحه وهي التي لا تتغير بالحركه المتماسكه بينما تتعامل الهندسه الاسقاطيه بمفاهيم (نقطه, خط, سقوط , نسب تقاطعيه) والتي لاتتغير بالتحويلات الاسقاطيه
وما التحركات اولاسقاط إلى حالتين مما يسمى بالتحويلات التبولوجيه فالتحول التبولوجي للشكل الهندسي
فالتحول التبولوجي من الشكل أ إلى الشكل أ# يعطي بالمقابله ب إلى ب# بين النقاط ب من أ والنقاط  ب# من أ# والتي لها لها الخاصتان التاليتان:
1-   المقابله وحيده ومعكوسه أي كل نقطه من شكل أ يقابلها نقطه وحيده من أ# وبالعكس.
2-   المقابله متصله في الاتجاهين وهذا يعني اننا اذا اعتبرنا النقطتين مثل ب , جـ من أ وحركنا ب لتصبح المسافه قريبه بينها وبين جـ أي تقترب للصفر  فان المسافه بين ب# و جـ# من أ# تقترب من الصفر ايضا وبالعكس

إن ثبات اية خاصيه لشكل هندسي أ عندما يتحول إلى شكل اخر بواسطة تحويل تبولوجي تدعى خاصيه تبولوجيه للشكل الهندسي أ والتبولوجيا هي فرع من الهندسه الذي يعني فقط بالخصائص التبولوجيه للاشكال
لنتصور احد الخطاطين قد قام بنسخ شكلا ما باليد وبحرية تصرف وكان مدركا لعمله لكنه لم يكن خبيراً  فيه ورسم المستقيمات منحنيا وغير الزوايا والمساحات فضاعت الخصائص المتريه والاسقاطيه للشكل فانه رغم ذلك كله يبقى الشكل
محتفظا بخصائصه التبولوجيه وهناك خاصيه اخرى وهي الترابط فضلت عدم الحديث عنها لانه يحتاج قليلا من تناول التبولوجيا بشكل محكم.
اتمنى إن يكون الموضوع واضح
تحياتي
سير بنروز

[G H Hardy]

ملاحظه
علاقة اويلر
اذا كان ر عدد رؤوس الجسم ح عدد حوافه و عدد وجوهه فان
ر-ح+و=2

[G H Hardy]

شكل 2
والرسمه تحاكي عقده
وانا اسف لان العمل غير واضح
تحياتي

[الأحيائي الصغير]

الله يعطيك ألف ألف عافية أخي العزيز مازن

و جزاك الله كل خير أخي الحبيب

 '>

[G H Hardy]

السلام عليكم
اهلا باستاذنا الغالي ابوابراهيم
وشكرا على مرورك الكريم
تحياتي
مازن

[زينة سعد الدين]

مشكور أستاذ مازن على المعلومات وبصراحة أول مرة أعرفها
     
تحياتي : زينة
   

[G H Hardy]

شكرا اخت زينه
واكرر مره اخرى انا لست استاذ  '>
انما انا مازن
تحياتي لكم

[زينة سعد الدين]

roger Penrose   اسفه  بس والله مش زابطة  معي  

بحاول بس عفوياً  بتطلع معي أستاذ ....؟  مش عارفة ليش

      لك مني خالص تحياتي واحترامي

[G H Hardy]

'>

[ابو يوسف]

السلام عليكم

شكرا جزيلا لك استاذ مازن

جزاك الله كل خير

'>

[maths]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته،

عرض واضح و مرن جداً للموضوع الجميل.
جزاك الله خيراً

لقد قرأت مرة أن التبولوحيا تسمى بالهندسة اللاكمية أو اللامقدارية حيث أنها تدرس العلاقات بين الأشكال و الأجسام غير المرتبطة بالقياسات.

[G H Hardy]

السلام عليكم
شكرا استاذ ابويوسف
الاخت ماثز
هذا ماحاولت الوصول اليه ان التبولوجي يهتم بصفات غير الصفات الهندسيه التي نتكلم عنها
وهناك نظريه شيقه بالرياضيات اعتقد انها تندرج تحت التبولوجي وهي نظرية الالوان الاربعه لعلي ان وجدت شيء اذكره
وقد يشعر القاريء ان هذه الصفات الت تتناولها التبولوجيا غير ذات فائده او انها ترف رياضي
وهذا ليس صحيح
فلدراسة التحليل الحقيقي لاغنى عن دراسة بعض مفاهيم التبولوجيا كالفضاءات المتراصه
او لدراسة التحليل المركب عندما نتكلم عن مفاهيم مثل قرص مفتوح عن دراسة نهايات الدوال بالمتغيرات المركبه
او لدراسة الهندسه التفاضليه
وهذه كلها مواضيع كبيره تحتاج الى متخصص لكي يفتي فيها
لكن نحن حاولنا تقديم مفهو بشكل تقليدي بسيط
لكي نعرف شيء عن التبولوجيا والتي ذكرتها في مقال ماهو الاتصال
اشركم جزيل الشكر
تحياتي
مازن

[ام عدنان]

السلام عليكم
شكرا لك استاذنا الكريم
معلومات شيقة واكثر من مفيدة لان التوبولوجي كلمة غريبة نوعا ما بالنسبة لغير الرياضيين لكنك شرحتها بشكل مبسط وشيق
اريد فقط ان اتاكد من معلومة تقول : ان التوبولوجي او الطوبولوجي معناه الحرفي هندسة المكان وهو تعميم للهندسة حيث نستطيع ان نغير ابعاد الفراغات ودوال المسافة لنحصل على فضاءات توبولوجية جديدة
فهل المعلومة دقيقة
ولك مني جزيل الشكر

[G H Hardy]

السلام عليكم
الاخت ام عدنان

QUOTE

ان التوبولوجي او الطوبولوجي معناه الحرفي هندسة المكان وهو تعميم للهندسة حيث نستطيع ان نغير ابعاد الفراغات ودوال المسافة لنحصل على فضاءات توبولوجية جديدة

معناه الحرفي رياضيا هي مجموعه تحقق شروط معينه نطلق عليها تبولوجي او فضاء تبولوجي
لكن هو بشكل بسيط واحد اوجهه هو دراسة الاشكال الهندسيه بخواص مختلفه عما ندرسه في الهندسه الاقليديه تحت انواع من الحركه المسموح بها
مثلا لو قلت لك هناك مربع ودائره اعتقد هندسيا ليس بينهما تكافيء (بشكل غير دقيق والا يمكن اعتبار طول المحيط خاصيه هندسيه)
لكن تبولوجياً نستطيع بحركه من الحركات المرنه ان نحول المربع الى دائره (لو افترضنا ان محيط المربع مطاط مرن جدا)
اما قولك ان التبولوجي هندسة مكان بحيث انا نغير ابعاد الفراغ ودوال المسافه لنحصل على تبولوجي جديد انا لا اعلم ما المقصود بتغيير ابعاد الفراغ بشكل واضح
لكن عندما يكون لدينا فضاء تبولوجي نستطيع ان نولد اخر وذلك بمفاهيم رياضيه لست متخصصا فيها بقوه
وحقيقة الامر عندما تقراين كتاب تبولوجي لايظهر لك كلامي هذا واضحا
فكله دراسة مجموعات بشكل كثيف بشروط معينه
اما دوال المسافه التي قلتي نغيرها
نحن نعرف حاليا دالة المسافه وهي المقياس او الطول في الفضاء الاقليدي
وهناك دوال في الاحتمال كذلك دوال قياس
وهذا يدخل في باب كبير اسمه نظرية القياس يعطيك تفصيل جيد عن ذلك
لكن هذا مستوى مافوق الجامعي
وهناك ايضا دالة الطول في فضاء الدوال المتصله (فضاء هلبرت) ولها صيغه معينه تعطيك الطول بين دالتين
لكن تغيير دالة المسافه هذا لا اعلم ما المقصود فيه صراحه
اتمنى ان اكون افدت
وربما  لاحقا نستعرض التبولوجيا بشكل رياضي لا اقول محكم لان المحكم عند قلة من الناس
ولكن بما استطيع تقديمه
شكرا لكم

[ام عدنان]

شكرا للايضاح استاذ مازن
ربما لم يكن كلامي عن دالة القياس وافيا حيث كنت اقصد المتري او metric
وهي الدالة التي تعطينا البعد بين اي نقطتين وهذه الدالة يمكن تغييرها ضمن شروط معينة لتولد لنا فضاء توبولوجيا جديدا فالفضاء التوبولوجي هو عبارة عن متري والمجموعات المفتوحة المتولدة بواسطته وهذا الكلام بشكل مبسط جدا
فمثلا هناك المتري المعتاد وهو الدالة التي تعطينا البعد بين نقطتين في الفضاء الاقليدي وهناك المتري المتقطع وtaxicab metricوغيرها كثير
انا لا اريد الخوض في التفاصيل لانني اخشى الوقوع في الخطا لان عهدي بالتوبولوجي بعيد جدا وما ذكرته هو مجرد مقتطفات من الذاكرة فارجو المعذرة والتصحيح ان كان في كلامي خطا
لكنني احببت الكتابة في الموضوع لان التوبولوجي هو احد العلوم الرائعة التي تفتح افق الانسان وتريه كم ان تفكيره ضيق ومحدود وكيف يمكن ان يتحول شيء عادي ومالوف جدا الى شيء اخر مختلف تماما بمجرد تغيير بسيط في الطريقة التي ننظر اليه بها
هذا مع جزيل شكري للاستاذ مازن الذي طرح الموضوع بطريقة جديدة ومبسطة بعيدا عن المعادلات والدوال الرياضية وما زلنا نطمع منك في المزيد