أعداد ميرسن الأولية

[ابو يوسف]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

عدد ميرسن أولي هو عدد أولي من الصيغة     بحيث ان p عدد أولي.

لأعداد ميرسن أهمية واستخدام من حيث علاقتها بالاعداد التامة على سبيل المثال كما ان الكثيرين ما زالوا يبحثون عن اعداد ميرسن أولية جديدة مستخدمين في ذلك حواسيب عملاقة ومحاولين التعرف على صيغة عامة تجمع بين تلك الاعداد.

سنتبع اليوم طريقة لاكتشاف ما اذا كان عدد ميرسن معين هو عدد أولي ام لا, وهي طريقة من اكتشاف ادوارد لوكاس الذي عاش في القرن التاسع عشر.

لنفترض اننا نريد معرفة ما اذا كان عدد ميرسن الخامس    هو عدد اولي ام لا. نأخذ العدد الأقل بواحد من 5 (عدد ميرسن الخامس!) وهو العدد 4. نأخذ مربع العدد 4 ونطرح منه 2. في كل مرة نأخذ باقي قسمة العدد الناتج على 31 (عدد ميرسن الخامس يساوي 31) ثم نرفع للقوة 2 ونطرح 2:











لا يوجد باق بعد الخطوة الرابعة (العدد الناتج من طرح 1 من عدد ميرسن) وهذا يعني ان العدد هو عدد أولي حسب طريقة لوكاس.


جرب الطريقة مع عدد ميرسن السابع

[G H Hardy]

السلام عليكم
شكرا لك استاذ
فجهودك ماشاء الله بكل مكان
اخوك
مازن

[فاطمه العلي]

جزاك الله خير
على موضوعك الممتاز ..استاذنا الفاضل

[ابو يوسف]

السلام عليكم

اخوي الكريمين مازن وفاطمة العلي

اشكركما على مروركما الكريم

'>

[زينة سعد الدين]

 
 
 '>
 '>

تحياتي

[زينة سعد الدين]

بسم الله الرحمن الرحيم

نبذة تارخية عن الأعداد الاولية : يعتبر الإغريق هم أول من درس الأعداد الأولية و خصائصها ، حيث كان رياضيو مدرسة فيثاغورس ( 500 ق.م إلى 300 ق.م ) مهتمين بالأعداد و خصائصها السحرية و المنطق العددي ، فقد فهموا فكرة الأولية ، و كانت الأعداد التامة  Pefect  كما هو مبين أدناه باللون الأحمر :

(ما هو العدد التام ؟

 

تعريف : يسمى العدد الصحيح الموجب n  عددا تاما إذا كان هذا العدد مساويا لمجموع كامل عوامله الموجبة بدون العدد نفسه .

مثال : 6 هو أول عدد تام حيث أن : 6 =  1 + 2 + 3)

   و الأعداد المتحابة (Amicable) موضع اهتمامهم كما هو مبين أدناه باللون الأحمر :

 

(الأعداد المتحابة (Amicable) :

تطلق هذه الصفة على كل زوج من الأعداد الصحيحة يكون مجموع العوامل الفعلية المختلفة لأحدهما مساو للعدد الآخر ، مثلا ، العددان 220 و284 لأن

عوامل 284 هي 1 ، 2 ، 4 ، 71 ، 142 ، و هذه تجمع إلى 220 ، كما أن عوامل العدد 220 هي

 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 11 ، 20 ، 22 ، 44 ، 55 ، 110 و هذه مجموعها  284 )

 

 

لقد أثبت العلماء الإغريق القدامى في حوالي 300 ق.م أن هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، فقد أثبت إقليدس ذلك كما في الكتاب الرابع من العناصر و يعد اثباته هذا من الإثباتات الأولى التي استخدمت البرهنة بالتناقض لإثبات نتيجة ما ، كما أثبت العلماء الإغريق أيضا أن الأعداد الأولية تتوزع بطريقة غير منتظمة ( فمن الممكن أن تجد فراغات مطلقة كبيرة بين أي عددين أوليين متتاليين و من الممكن لا )

 

و قدم إقليدس أيضا برهان على النظرية الأساسية في الحساب التي تقول : أي عدد صحيح يمكن كتابته كحاصل ضرب أعداد أولية ، أثبت إقليدس أيضا أنه إذا كان العدد أولي فإن العدد     يكون تاما ، و قد استطاع الرياضي أويلر(Euler- 1747 ) أن يثبت أن جميع الأعداد التامة الزوجية هي من هذه الصورة أي   ، و لا يعرف لحد الآن هل يوجد عدد تام فردي ، و في حوالي (200ق.م) اكتشف الإغريقي إيراتوستين خوارزمية لحساب الأعداد الأولية تسمى غربال إيراتوستين  .

بعد ذلك كان هناك فراغ كبير في تاريخ الأعداد الأولية فيما يسمى بالعصور المظلمة ، و لكن التطور الهام التالي تم بواسطة فيرمات مع بداية القرن السابع عشر حيث أثبت ظنية ألبرت جيرالد التي تقول : أن كل عدد أولي  من الصورة   يمكن كتابته بطريقة واحدة كحاصل جمع مربعين ، و كان بالإمكان اثبات إمكانية كتابة أي عدد كحاصل جمع أربع مربعات  ، كما اكتشف طريقة جديدة لتحليل الأعداد الكبيرة و التي أثبتها بتحليل العدد 2027651281=44041×46161 .

كذلك أثبت ما يعرف بمبرهنة فيرمات الصغيرة التي تقول أنه إذا كان p عدد أولي فإنه لأي عدد صحيح a يكون :

  p modulo  ap= a   أو  ap-1º 1 (mod p)  شرح modulo كما هو مبين باللون الأحمر :  

modulo)  :

     وظيفة رياضية تعطي باقي القسمة ، فمثلا :  8 mod 6 = 2  و تستخدم في الرياضيات الحديثة في دراسة قابلية القسمة فنكتب مثلا : 24 = 3 (mod 7)  ، و ذلك يعني أن في حالة اعتبار المعيار هو 7 فإن 24 فيها ثلاث سبعات و الباقي 3 ، و هناك تفصيلات موسعة لهذه الوظيفة في الرياضيات المجردة .)

.

 

و قد أثبتت هذه النظرية نصف ما يعرف بالفرضية الصينية التي وضعت قبل 2000 سنة و التي تقول أن أي عدد صحيح n يكون أوليا إذا و فقط إذا كان العدد    يقبل القسمة على n . النصف الآخر من هذه الفرضية خاطئ حتى الآن فعلى سبيل المثال العدد :  يقبل القسمة على 341 رغم أن العدد 341 مركب ( 341=31×11) .

و تعتبر مبرهنة فيرمات الصغيرة هذه هي الأساس لكثير من النتائج في نظرية الأعداد ، و كذلك هي الأساس لعدة طرق لمعرفة الأعداد الأولية و التي ما زالت تستخدم حتى الآن في الحواسيب الإلكترونية .

و قد وافق فيرمات في ما توصل إليه مع رياضيي عصره ، و بالخصوص مع مونك مارين ميرسين (Mersenne) ففي أحد رسائله إلى ميرسين تحدث فيرمات عن حدسه في أن العدد      يكون أوليا دائما عندما يكون n من قوى العدد 2 ، مثل ( 1 ، 2 ، 4، 8 ، 16 ، ..... ) و قد تحقق من ذلك بالنسبة للأعداد (n = 1 , 2 , 4 , 8 , 16   ) ، و أوضح بأنه إذا كانت n  ليس من قوى 2 فالنتيجة خاطئة .

و الأعداد من هذه الصورة سميت بأعداد فيرمات ، و قد كان فيرمات مخطئا في حدسه هذا و لم يتم إثبات ذلك إلا بعد أكثر من 100 سنة و ذلك عندما أثبت أويلر أن العدد :

= 4294967297    يقبل القسمة على 641 و بالتالي فهو ليس أوليا .

أما بالنسبة للأعداد من الصورة    فقد استدعت انتباه الرياضيين لسهولة إثبات أنه إذا لم يكنnعددا أوليا ، فيجب أن يكون العدد      مركبا ، و قد سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسين لأنه اهتم بها كثيرا و قام بدراستها ، و في الحقيقة أن الأعداد من الصورة    عندما يكون n أوليا ليست دائما تكون أعدادا أولية ، فعلى سبيل المثال العدد

(   = 2047 = 23 × 89  عددا مركبا ) .

أعداد  ميرسين الأولية : حيث أنها ظلت هذه الصورة لعدة قرون تقدم - و إلى الآن - أكبر الأعداد الأولية المعروفة ، فقد تم إثبات أن العدد  M19  أولي بواسطة كاتالدي (Cataldi) في 1588 ، و ظل هذا العدد هو أكبر عدد أولي لمدة 200 سنة حتى أثبت أويلر أن العدد  M31    هو أولي ، و قد ظل هذا العدد الأولي الأخير هو الأكبر لقرن آخر حتى أثبت ليوكاس (Lucas) أن العدد  M127 ( المكون من 39 رقما  ) أوليا و هذا العدد ظل هو الأكبر حتى ظهور الحواسيب الإلكترونية ، حيث أثبت روبنسون (Robinson) في 1952 و باستخدام الحواسيب الأولى أن الأعداد M521  ، M607  ،  M1279،  M2203 ، M2281  أولية ، و كان حتى 1998 قد تم اكتشاف 37 عددا أوليا من أعداد ميرسين ، و كان أكبرها هو العدد  M3021377  و الذي يتكون من 909521 رقما ، و سيأتي ذكره لاحقا .

كان لأعمال أويلر وقع و أثر كبير في نظرية الأعداد بشكل عام و في الأعداد الأولية بشكل خاص ، حيث تمم مبرهنة فيرمات الصغيرة و وسعها ليقدم دالة فاي لأويلر ، و كما أشرنا في الأعلى استطاع تحليل عدد فيرمات الخامس   كما وجد في تحليله ذلك 60 زوجا من الأعداد المتحابة ، و وضع ما جاء بعد ذلك ( و لم يستطع اثباته ) و هو ما عرف بقانون التعاكس التربيعي .

و كان أويلر أول من أدرك إمكانية دراسة نظرية الأعداد باستخدام أدوات التحليل و الذي أدى إلى اكتشاف مادة التحليل العددي ، و قد استطاع أويلر إثبات أنه ليست المتسلسلة التوافقية  ( Harmonic Series) فقط متباعدة ( divergent )  بل أن المتسلسلة :

 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...  المكونة من مجموع مقلوب الأعداد الأولية أيضا متباعدة ( divergent ) ، و مجموع الحدود n  في المتسلسلة التوافقية يبلغ تقريبا log(n) ، بينما المتسلسلة السابقة تتباعد بشكل بطيء إلى log(log(n)) ، و هذا يعني أن مجموع مقلوبات (  reciprocals ) كل الأعداد الأولية التي تم اكتشافها حتى بالحواسيب الفائقة يساوي تقريبا  4 فقط ، لكن مع ذلك المتسلسلة تبقى تتباعد إلى ∞ .

أما بالنسبة لانتشار الأعداد الأولية و كثافتها فمن النظرة الأولى يبدو أن الأعداد الأولية تنتشر بطريقة عشوائية بعض الشيء بين الأعداد الصحيحة ، فعلى سبيل المثال في 100 عدد السابقة لـ 10000000 يوجد 9 أعداد أولية ، بينما في 100 عدد التالية يوجد عددان أوليان فقط .

مهما يكن في الأعداد الأولية الكبيرة فإن الطريقة التي تنتشر فيها الأعداد الأولية هي منتظمة جدا ، فقد قام ليجاندر ( Legendre) و جاوس (Gauss )  بإجراء حسابات موسعة في كثافة الأعداد الأولية .

لقد أخبر جاوس صديقه أنه لو حصل على 15 دقيقة و هو غير مشغول فسوف يقضيها في حساب الأعداد الأولية الأطفالية ( أول 1000 عدد أولي ) ، و يذكر جاوس أنه حتى نهاية حياته قد حسب ثلاثة ملايين عدد أولي .

كلا من ليجاندر و جاوس وصلا إلى استنتاج و هو أنه لأي عدد n كبير ، فإن كثافة الأعداد الأولية القريبة من هذه العدد تساوي تقريبا  1/log(n) ، و أعطى ليجاندر تقديرا لـ p(n)  ( عدد الأعداد الأولية الأقل من n ) حيث وجد : p(n)=n/(log(n)-1.08366 ، في حين أن جاوس قدم تقديرا على صورة تكامل لوغاريتمي هو :

p(n)=∫(1/log(t))dt حيث أن مدى التكامل من 2 إلى n .

و تسمى العبارة بأن كثافة الأعداد الأولية هي 1/log(n) بمبرهنة الأعداد الأولية ، و قد كانت هناك عدة محاولات لإثباتها تواصلت خلال القرن التاسع عشر بتقدم ملحوظ بواسطة تشبيتشيف (Chebyshev ) ، و ريمان (Riemann) و هذا الأخير ربط النظرية بما سماه فرضية ريمان ، و سأحاول أن أغض الطرف عن هذه الفرضيات و البراهين عليها لأنها بحوث متقدمة و متخصصة إلى حد ما ، و ما زال هناك العديد من الأسئلة المفتوحة تتعلق بالأعداد الأولية ، و بعضها ما زال من مئات السنين كمسألة العدد التام الفردي .

أما بالنسبة لكيفية معرفة و إكتشاف الأعداد الأولية فتوجد طرق كثيرة أقدمها و أسهلها هو ما يعرف بغربال إراتوستين ( Sieve of Eratosthenes ) و طريقة القسمة العادية (trial division ) ، حيث ما زالتا هاتان  الطريقتان هما الأسهل لإيجاد الأعداد الأولية الصغيرة جدا ( الأقل من 1000000 ) .

أما بالنسبة لإيجاد الأعداد الأولية الكبيرة فهناك طرق خاصة تستخدم ، و هذه الطرق هي حالات خاصة من نظرية  لاجرانج من نظرية المجموعات .

و نشير هنا إلى مفهوم وضع في 1984 بواسطة صمويل ييت و هو : Titanic Primes  ، أي الأعداد الأولية الهائلة ، و عرفها بأنها الأعداد المكونة من 1000 رقم على الأقل ، و كان عدد هذه الأرقام يومها 110 أرقام ، أما الآن ( أي بعد 17 سنة فقط ) فإن عددها يفوق ذلك العدد بأكثر من 1000 مرة !  و مع استمرار تقدم الحواسيب الإلكترونية التي تعطي فرص أكبر للبحث عن أعداد أولية أكبر فإن هذا العدد يتزايد باستمرار ، و نتوقع بعد مدة قصيرة رؤية أول عدد أولي ذو 10 ملايين رقم .


ولي عودة بإذن الله

تحياتي : زينة

[ابو يوسف]

جزاك الله كل خير اختي الكريمة زينة

وبانتظار عودتك

[زينة سعد الدين]

أعداد توين الأولية :

أعداد توين الأولية هي الأعداد الأولية من الصورة p و p+2 ( يعني أن الفرق بينهما 2 ) ، و هي أعداد لا نهائية و إن كان ذلك لم يتم إثباته لحد الآن ، و نظرا لأن اكتشاف هذه الأعداد يستوجب اكتشاف عددين أوليين متتالين ، فإننا نجد أن أكبر عددين توين أصغر بكثير من أكبر عدد أولي .

 

و أول أعداد من أعداد توين هي :  ( 3 ، 5 ) ، ( 5 ، 7 ) ، ( 11 ، 13 ) ، ( 17 ، 19 ) .

 



العدد 1 ليس عدداً أولياً بسبب :
من تعريف العدد الأولي نجد أنه هو العدد أكبر من الواحد ، ليس له قواسم إلا الواحد و العدد نفسه ، فالواحد لا يدخل في تعريف العدد الأولي و بالتالي هو ليس عددا اوليا .

الهدف من الأعداد الأولية ، حيث أن الهدف هو تجزئة الأعداد المركبة إلى أعداد أصغر منها ، و الأعداد الأولية موضع الإهتمام من العلماء هي هذه التي لا تتجزأ و تعتمد عليها بقية الأعداد ، و بالتالي الواحد يخرج عن دائرة الإهتمام .

الواحد هو القاسم المشترك الأوحد لجميع الأعداد ، فهو عدد الوحدة الذي تكون جميع الأعداد الأخرى من مضاعفاته .






غربال إيراتوستين :

 

              كلمة غربال تعني طريقة للتصفية أو التنقية ، و تنسب هذه الطريقة للعالم الإغريقي إيراتوستين حيث اكتشفها ، و هي أسهل الطرق المستخدمة في الكشف عن الأعداد الأولية و يستطيع الطالب في المرحلة الإبتدائية العليا أو الإعدادية استخدامها ، و تزيد صعوبتها كلما كبرت الأعداد حتى تصبح غير فعالة مع الأعداد الكبيرة ، لذا تكون فعالة في الأعداد الصغيرة جدا ( الأقل من 1000000) .

ولي عودة بإذن الله

تحياتي : زينة
   '>  '>

[زينة سعد الدين]

شكرا أخ أبو يوسف

تحياتي

[زينة سعد الدين]

غربال إيراتوستين :

   و تقول هذه الطريقة أنه لإيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من n  اكتب في قائمة جميع هذه الأعداد الأصغر من n  ثم استبعد جميع  مضاعفات الأعداد الأولية بحيث تبدأ من مضاعفات 2 ثم 3 ثم 5 ثم 7 و هكذا فالأعداد المتبقية هي الأعداد الأولية و الجدول التالي يوضح مثال لغربال إيراتوستين المستخدم في الأعداد الأقل من 100 :

 

[G H Hardy]

السلام عليكم
شكرا اخت زينه
ولو ان غربال ايراتوستين نسميه مرشحه الشخص نفسه
شكرا مره اخرى ونحن نتابع ماتطرحيه

[أغلى الجواهر]

يعطيكم العافية أخي أبويوسف وأختي زينة

وأسمحولي أشاركم بقصة العالم الذي حظى بالحفاوة وسحب البساط من تحت رجلين العالم
ميرسين وهو العالم كول وهذه القصة عن العدد   1   -  (  67^2 )
حيث زعم ميرسن أن هذا العدد هو عدد أولي لكن كول أثبت فيما بعد أن هذا العدد ليس من
الأعداد الأولية وحال تمكن هذا العالم من تصحيح  الخطأ الذي وقع فيه ميرسن دعا كبار العلماء
إلى عقد جلسة بعنوان (( تحليل الأعداد الكبيرة))
وفي الجلسة : توجه كول ماشياً نحو السبورة دون أن ينبس بأي كلمة وقام بحساب
 (  67^2 )  مطروحاً منها واحد بحذر شديد وبدقة تامة.
ومن ثم قام بإيجاد حاصل ضرب عددين هما 193707721 , 761838257287
وكانت المفاجئة أن كلتي النتيجتين المكتوبتين على السبورة متساويتين
كول بصمت مشي إلى مقعده وبدأ الجمهور بالتصفيق (( يقال أن هذا هو أول الكلام))
واستغرق كول لإيجاد هذا التحليل  3 سنوات من يوم الأحد حسب ما قال
( لكن التاريخ يقول أنه استغرق 21 سنة لإيجاد ذلك التحليل)

يالله أحسبوها لوحدكم كيف 3 سنوات من يوم الأحد تساوي 21 سنة ؟!! هل كان كول يكذب أم أنه لغز رياضي يحتاج إلى حل ؟؟؟

هذا وتحياتي لكم  
أختكم أغلى الجواهر

[ابو يوسف]

3 سنوات من يوم الاحد تساوي 365 يوما * 3 أيام احد

وهذه تستغرق 21 عاما

بمعنى اخر الحديث هنا يدور حول ايام الاحد فقط وبما ان يوم الاحد يشكل سبع ايام الاسبوع فمعنى ذلك ان الامر يستغرق 3*7 ويساوي 21 عاما

[أغلى الجواهر]

ما شاء الله عليك أخ أبو يوسف
أجابتك صحيحة
تحياتي لك