السلام عليكم
اليوم سنتكلم عن معادله وسنستخدم نتائج ومبرهنات ساتكلم عنها خلال السياق مثل تعامد الدوال وبعض النتائج من الجبر الخطي والمعادلات التفاضليه العاديه وبعض النتائج من التحليل المركب الخفيف
المهم معادلة شتورم ليوفيل مهمه جدا لوصف ظواهر طبيعيه كثيره لا اعلمها بطبيعة الحال سوى اني ساتكلم عن المعادله وطبيعة حلولها من وجهة نظر رياضيه بحته
بسم الله
تعرف مسالة شتورم ليوفيل بانها معادله من الرتبه الثانيه متجانسه على الشكل
\prime+(p\zeta-q)y=0)
مع الشروط الحديه
+\alpha_2y(a)=0 \\ \beta_1y\prime(b)+\beta_2y(b)=0)
والقيم الفا وبيتا لاتساوي الصفر وهي قيم لاتعتمد على على القيمه زيتا ويقال لنظام المعادلات
+\alpha_2y(a)=0....1 \\ \beta_1y\prime(b)+\beta_2y(b)=0....2)
بنظام شتورم ليوفيل
ولاحظ ان الحل التافه يعطي نتيجه هنا
وكذلك لاحظ ان القيم الذاتيه لزيتا والخاصه فان للنظام حل وسنرى انه يوجد عدد لانهائي منها اي
سنرم للحل المقابل لزيتا n بالرمز y_n(x)n وسنقول ان الداله y_n هي الداله الذاتيه المقابله للقيمه الذاتيه زيتا n
ملاحظه 2 اذا كانت الدوال r,q,p ومشتقة r دوال حقيقيه متصله على الفتره [a,b] وكان الدوال p,r اكبر من الصفر لكل قيم x داخل الفتره فان النظام له حل ويعرف بمسالة شتورم ليوفيل العاديه
ملاحظه
اذا غاب احد الشروط الحديه فان المساله تكون شاذه وتسمى مسالة شتورم ليوفيل الشاذه
نظريه
ان جميع القيم الذاتيه لمسالة شتورم ليوفيل العاديه اعداد حقيقيه وان الدوال الذاتيه المقابله لقيم ذاتيه مختلفه متعامده بالنسبه لدالة الوزن P اي نا
y_n(x)y_m(x)dx=0)
اليوم سابرهن هذه القضيه وهي موضوعي بالدرجه الاولى وربما لاحقا اكتب امثله
ليكن زيتاm وزيتا n قيمتين ذاتيتين لمسالة شتورم ليوفيل ولتكن y_m,y_n هي الدوال الذاتيه المقابله لهاتين القيمتين عندئذ يكون
=qy_n-(ry_n\prime)\prime.....3 \\ \zeta_mPy_m(x)=qy_m-(ry_m\prime)\prime....4)
والان بالطرح لحذف الداله q ثم ساستمر بالبرهان واعذروني على كثرة المعادلات لكن هناك نتائج لو فسرتها لاستغرق الوقت طويلا لكن ساتعرض لها على السريع
\prime y_n-(ry_n\prime)\prime y_m)
Py_my_n=(ry_m\prime)\prime y_n-(ry_n\prime)....5\prime y_m)
باضافة حد وطرحه (اكتشف الحد)
Py_my_n=((ry_m\prime) y_n)\prime-((ry_n\prime)y_m)\prime)
Py_my_n=\frac{d((ry_m\prime) y_n)-((ry_n\prime)y_m)}{dx})
\Bigint_a^bPy_my_n=\Bigint_a^b\frac{d((ry_m\prime) y_n)-((ry_n\prime)y_m)}{dx}dx)
على السريع نحذف المؤثرات التفاضله ونكامل مباشره لنحصل على
\Bigint_a^bPy_my_n=ry_m\prime y_n-ry_n\prime y_m|_a^b)
\Bigint_a^bPy_my_n=r(b)[y(b)_m\prime y_n(b)-y_n(b)\prime y_m(b)]- \\ r(a)[y(a)_m\prime y_n(a)-y_n(a)\prime y_m(a)])
\Bigint_a^bPy_my_n=r(b)\|\array{y_n(b)&y_m(b)\\y_n(b)\prime &y(b)_m\prime }\|-r(a)\|\array{y_n(a)&y_m(a)\\y_n(a)\prime &y(a)_m\prime }\|)
والان لدينا
+\alpha_2y_n(a)=0 \\ \alpha_1y_m\prime(a)+ \alpha_2 y_m(a)=0 \\ \beta_1y_n\prime(b)+\beta_2y_n(b)=0 \\ \beta_1y_m\prime(b)+\beta_2y_m(b)=0)
وبما ان الفا وبيتا قيم لاتساوي الصفر فان للنظام 6 وهو اول معادلتين والنظام 7 اخر معادلتين من اخر اربع معادلات حل غير التافه اذا وفقط اذا كان
&y_m(b)\\y_n(b)\prime &y(b)_m\prime }\|=0 \\ \|\array{y_n(a)&y_m(a)\\y_n(a)\prime &y(a)_m\prime }\|=0)
وبهذا نكون برهنا ان
\Bigint_a^bPy_my_n=0 \\ \longrightarrow\Bigint_a^bPy_my_n=0 \\ becuse \zeta_n\not{=}\zeta_m)
اي ان حلول المساله متعامده هذه القضيه الاولى
الان سنبرهن ان القيم الذاتيه اعداد حقيقيه لنفرض ان القيمه مركبه على الشكل
قيمه ذاتيه لمسالة شتورم ليوفيل وان y(zeta,x)m هل الداله الذاتيه المقابله للقينه الذاتيه زيتا حيث
=u(\zeta,x)+iv(\zeta,x))
بما ان
=\frac{d\bar y}{dx})
+[\zeta p-q]y=0 \\ \Large\alpha_1y\prime(a)+\alpha_2y(a)=0 \\ \beta_1y\prime(b)+\beta_2y(b)=0)
بقي جزئيه اكلمها بعد لاحقا
تحياتي
