السلام عليكم و رحمة الله و بركاته،
الرياضيات أداة أساسية لأي عمل متقن. و النظرة الرياضية للأشياء تكسب الناظر تذوقها و تقييمها بشكل ثاقب و حصيف. و الفن لغة التعبير الحسي عن ما داخل الإنسان. و بذلك تكون محاولة التذوق أهم اعتبارات تقييم عمل فني ما.
و لقد أبدع الفنانون الكثير من الرسومات و النقوشات على السطوح المستوية منذ آلاف السنين، و على السطوح الكروية منذ مئات السنين. و بالرغم من أن الرياضيين يرسمون الأشكال الزائدية منذ أكثر من 100 عام، فقد كان استخدام السطوح الزائدية لأغراض فنية أمراً حديثاً. و قد اعتبر الفنان Escher أول فنان يستخدم كل من الهندسة الاقليدية و الكروية و الزائدية.
اندهش Escher بنموذج دائرة بوانكاريه (في الهندسة الزائدية) من خلال صديقه Coxeter (كان أول لقاء بينهما في عام 1954 في الكونجرس العالمي للرياضيين)
و قد استطاع Escher أن يعيد رسم الأقواس الدائرية في هذا النموذج و يستخدم ذلك لعمل رسمته الخاصة التي احتوت على تصميم عبارة عن أسماك:
و بعد تقويم Escher للعيوب و الانتقادات التي وجهت على الشكل الأخير، نتج التالي
و كل من أقواس العمود الفقري في هذا الشكل تصنع نفس الزاوية A مع الدائرة المحدودة. و قد استخدم علم المثلثاث الزائدية لحساب A:
و قيمتها تساوي تقريباً 79.97 درجة.
و شيء آخر هو أن المتغيرات الثلاثة (k,l,m) حيث تتقابل عدد k من الزعانف اليمنى، l من الزعانف اليسرى، و m أنوف. حيث أن هذا الرسم يكون زائدياً، اقليدياً، او كروياً تبعاً لما إذا كانت القيمة 1/k + 1/l + 1/m أصغر من أو تساوي او أكبر من الواحد.
و رسمة Escher تبين أن المتغيرات هي: (4,3,3).
و الرسمة التالية المتغيرات فيها : (5,3,3):
